中级微观经济学-第六章利润最大化与成本最小化

w
2fx(~x21
,
x~2
).
利润函数为： py w1x1 w2x~2.
（二）短期等利润线
1、 等利润线包含了所有能够产生$ 利润的生产计划。 等利润线的函数为：
py w1x1 w2x~2.
短期等利润线
$ 等利润线包含了所有能够产生$ 利 润的生产计划。
$ 等利润线的函数为：
例如 py w1x1 w2x~2.
第六章
利润最大化与 成本最小化
第一节利润最大化
一、经济利润
1、条件：
一个厂商利用生产要素j = 1…,m来生产 产品 i = 1,…n。 产出水平为y1,…,yn。 投入水平为x1,…,xm. 价格水平为p1,…,pn. 投入要素价格为w1,…,wm.
竞争性厂商
竞争性厂商为厂出品价格p1,…,pn的接受 者，所有投入要素的价格w1,…,wm都固 定不变。
（1）短期技术集
y
当时 x2 x~2. 的短期生产函数和技术集
y f(x1, x~2 )
技术上无 效率的计划
x1
（2）短期利润最大化
y
y
f(
x1,
x~2
)
斜率 w1 p
x1
y y*
x*1
斜率 w1 p
x1
（3）短期利润最大化条件
y
给 生定 产计p,划w为1 和：x(2x*1,
y y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 ) y f(x1, x2 )
要素2的边际产品下降。
投入要素2上升导致要素1的生产力上升。x1
y
y*( 3x2 ) y*( 2x2 ) y*(x2 )
注意：
p MP1 w1 0 对于每个短期生产计 划。
y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 )
xx~~22
, ,
短期利润最大化
y* ).
y*
斜率 w1 p
x*1
x1
短期利润最大化
y
给定 p, w1 和 x2 x~2, 短期利润最大化 生产计划为： (x*1, x~2, y* ).
最大可能利润为：
.
y*
斜率 w1 p
x*1
x1
短期利润最大化
在短期利润最大化生产计划里，短期生产函数 y 的斜率和最大的等利润线的值是相等的。
(x*1
)
2/
3
x~12/
3
w1
对于给定的
x1
(x*1) 2/3
3w1 px~12/ 3
.
也即
( x*1 ) 2/ 3
px~12/ 3 3w1
因此
x*1
px~12/ 3 3w1
3/2
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2 .
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
x*1
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2
y f(x1, x2 )
x*1(
x2x) *1(
x*1( 2x2 )
3x2
)
x1
y
y*( 3x2 ) y*( 2x2 ) y*(x2 )
p MP1 w1 0 对于每一个生产计划 。
y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 )
y f(x1, x2 )
要素2的边际产品下降， 因此
x*1(
y x11/3x~12/3 那么厂商对于可变要素1的短期 需求函数为：
短期供给为：
x*1
p 3w1
3/
2
x~12/
2
y*
p 3w1
1/ 2
x~12/ 2 .
x*1 随着w1上升而下降。 y* 随着w1上升而下降。
三、长期利润最大化
现在允许厂商改变所有投入要素的投入 量。 由于没有投入要素的投入量是固定的， 因此没有固定成本。
x*1
p 3w 1
3/ 2
x~12/ 2
短期供给为：
y*
p 3w1
1/
2
x~12/
2
.
x*1 随着p上升而上升。 y* 随着p上升而增加。
（2）可变要素价格
假如可变要素价格w1 改变，那么短期利 润最大化生产计划会有什么变化？
①短期等利润线方程
短期等利润线的方程为：
y
w1 p
x1
w 2x~ 2 p
可变要素的需求曲线向外移动）。
y x11/3x~12/3 那么厂商对于可变要素1的短期 需求函数为：
x*1
p 3w 1
3/ 2
x~12/ 2
短期供给为：
y*
p 3w1
1/ 2
x~12/ 2 .
x*1 随价格p上升而上升。
③柯布-道格拉斯的例子
需y 求 x函11/数3x~为12/3：那么厂商对于可变要素1的短期
x1
投入要素2上升导致要素1的生产力上升
y y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 ) y f(x1, x2 )
x1
要素2的边际产品下降
y y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 ) y f(x1, x2 )
要素2的边际产品下降。
投入要素2上升导致要素1的生产力上升。x1
x2x) *1(
x*1( 2x2 )
3x2
)
x1
y p MP1 w1 0 对于每一个生产计划
y*( 3x2 ) y*( 2x2 )
y*(x2 )
y f(x1,3x2 )
y f(x1,2x2 )
y f(x1, x2 )
要素2的边际利润递减。
x*1(
x2x) *1(
x*1( 2x2 )
3x2
2、经济利润
生产计划(x1,…,xm,y1,…,yn) 的经济利润 为：
p1y1 pnyn w1x1 wmxm.
经济利润
产出和投入都是流量。
例如 x1 可能为每小时使用的劳动量。 y3 可能为每小时生产的汽车数量。 因此利润也是一个流量；例如，每小时 所挣利润的美元价值。
经济利润
如何评估一家厂商？ 假如厂商定期的经济利润为0, 1, 2, … 且 r 为利率。 厂商经济利润的现值为：
1/ 2
x~12/ 2
w1
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2
w 2x~2
p
p 3w1
1/ 2
x~12/ 2
w1
p 3w1
p 3w1
1/ 2
w 2x~2
py* w1x*1 w 2x~2
p
p 3w 1
1/ 2
x~12/ 2
w1
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2
w
2x~ 2
p
p 3w 1
（1）产品物价变化：
假如产出价格p改变，短期利润最大化生 产函数会发生什么变化？
①短期等利润线方程
短期等利润线方程为：
y
w1 p
x1
w 2x~ 2 p
商品价格p上升导致 -- 斜率下降且 -- 垂直截距下降
②短期利润最大化的比较静态分析
y
y f(x1, x~2 )
y*
斜率 w1
w1 导致 -- 斜率上升，且 -- 垂直截距不变。
②短期利润最大化的比较静态分析
y
y f(x1, x~2 )
y* Slopes w1 p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
y
y f(x1, x~2 )
y*
斜率 w1
p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
长期利润最大化
x1 和 x2 都为可变变量 考虑一个厂商在给定的x2值条件下选择 最大化利润的生产计划，现在改变x2的 值来寻找最大化可能利润
(一)长期等利润线方程
长期等利润线方程为：
y
w1 p
x1
w 2x 2 p
x2 上升导致 -- 斜率不变，且 -- 垂直截距上升
（二）生产函数与生产力
y
y f(x1, x2 )Baidu Nhomakorabea
得到
x~ 2
x*2
p3
27w1w
2 2
.
长期利润最大化时要素1的投入量为多少?
x*2
p3
27w1w
2 2
得到
代入
x*1
p 3w 1
3/ 2
x~12/ 2
2、短期利润最大化;柯布道格拉斯的 例子
短期生产函数为： y x11/3x~12/3.
投入变量1的边际产品为：
MP1
y x1
1 3
x1
2/
3x~12/
3
.
利润最大化条件为：
MRP1
p
MP1
p 3
(x*1
)
2/
3
x~12/
3
w1.
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
解得
p 3
(x*1
)
2/
3
x~12/
1/ 2
w 2x~2
2p 3
p 3w1
1/
2
x~12/
2
w 2x~2
4p3 27w1
1/
2
x~12/ 2
w 2x~ 2 .
2、长期利润
4p3 27w1
1/
2
x~12/
2
w 2x~2.
长期利润最大化时要素2的投入水平是多少？
0
x~2
1 2
4p3 27w1
1/
2
x~ 2 1/
2
w2
y
w1 p
x1
w 2x~ 2 p
.
2、短期等利润线特点
y
w1 p
x1
w 2x~ 2 p
斜率为：
w1 p
垂直截距为：
w2x~2 . p
3、短期等利润线移动
y
斜率 w1 p
x1
（三）短期利润最大化
1、短期利润最大化
厂商面对的问题是在受到生产计划选择 的限制下，如何选择生产计划使得它逼 近最高的可能等产量线， Q: 这些限制条件是什么？ A: 生产函数
1/ 2
x~12/ 2
w1
p 3w1
p 3w1
1/ 2
w
2x~ 2
2p 3
p 3w1
1/
2
x~12/
2
w 2x~2
py* w1x*1 w2x~2
p
p 3w1
1/
2
x~12/
2
w1
p 3w1
3/
2
x~12/
2
w 2x~2
p
p 3w1
1/
2
x~12/
2
w1
p 3w1
p 3w1
x*1
p 3w 1
3/ 2
x~12/ 2
短期供给为：
y*
p 3w1
1/
2
x~12/
2
.
因此短期利润为：
短期利润
py* w1x*1 w2x~2
p
p 3w1
1/ 2
x~12/ 2
w1
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2
w 2x~ 2
py* w1x*1 w 2x~2
p
p 3w1
为当生产要素2固定在 x~2单元时，厂商生 产要素1的短期需求
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
x*1
p 3w1
3/ 2
x~12/ 2
为当生产要素2固定在 x~2单元时，厂商生 产要素1的短期需求
厂商的短期产出水平为：
y*
(x*1)1/3 x~12/3
p 3w1
1/
2
x~12/
2
.
3、短期利润最大化的比较静态分析
y*
斜率 w1 p
x*1
x1
短期利润最大化
在短期利润最大化生产计划里，短期生产函数 y 的斜率和最大的等利润线的值是相等的。
y*
MP1
w1 p
斜率 w1 p
at (x*1, x~2, y* )
x*1
x1
短期利润最大化
MP1
w1 p
p MP1 w1
p MP1 为投入要素1的边际收益， 也即投入 要素1改变量导致收益的增加量。 假如p MP1 w1 那么利润随着x1增加而增加， 假如p MP1 w1 那么利润随着x1 的增加而减少。
)
x1
（三）长期利润最大化
利润会随着x2的增长而增长，只要边际 利润满足如下不等式。
p MP2 w2 0.
利润最大化时的投入要素2因此满足下式
p MP2 w2 0.
1、长期利润最大化的实现条件
利润会随着x2的增长而增长，只要边际 利润满足如下不等式。
p MP2 w2 0.
利润最大化时的投入要素2因此满足下式
y
y f(x1, x~2 )
y*
斜率 w1 p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析结论
厂商可变要素价格w1上升会导致 t – 厂商的产出水平下降 (厂商的供给曲线
向内移动), 且 – 厂商可变要素的投入量下降 (厂商关于
可变投入要素的需求曲线的斜率降低) 。
③柯布-道格拉斯的例子
3
w1
对于给定的
x1
(x*1) 2/3
3w1 px~12/ 3
.
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
解得 也即
p 3
(x*1
)
2/
3
x~12/
3
w1
对于给定的
x1
(x*1) 2/3
3w1 px~12/ 3
.
( x*1 ) 2/ 3
px~12/ 3 3w1
短期利润最大化;柯布道格拉斯的例 子
解得
p 3
p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
y
y f(x1, x~2 )
y*
斜率 w1
p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析
y
y*
y f(x1, x~2 )
斜率 w1 p
x*1
x1
短期利润最大化的比较静态分析结论
工厂产品价格p上升导致 – 厂商的产出水平上升 (厂商的供给曲线
向上移动), 且 – 厂商的可变要素投入量增加 (厂商对于
PV
0
1 1r
2 (1 r)2
经济利润
竞争性厂商要最大化它的现值。 如何实现？
二、短期经济利润最大化
（一）短期经济利润
假设厂商出于一个短期环境中且 x2 x~2.
短期生产函数为： y f(x1, x~2 ).
经济利润
假设厂商出于一个短期环境中且 x2 ~x2.
短期生产函数为： y
固定成本为： FC
p MP2 w2 0.
且 p MP1 w1 0 在任何短期都满足， 因此
长期利润最大化计划的要素投入水平满 足
p MP1 w1 0 且 p MP2 w2 0.
也即, 边际收益等于所有要素的边际成本 之和。
2、长期利润最大化——柯布-道格拉斯
柯布-道格拉斯的短期利润
y x11/3x~12/3 那么产商对于可变要素1的 短期需求为：