第五章差分法和变分法解决平面问题

ζ x Φ , ζ y Φ , η xy Φ . 2 2 xy y x
2 2 2
(c )
第五章
用差分法和变分法解平面问题
差分法求解
差分法求解：
1.应力公式(c)的差分表示。对于o点，
2 Φ 1 (σ y )0 ( 2 )0 2 (Φ1 Φ3 2Φ0 ), x h 2 Φ 1 (τ xy )0 ( )0 2 (Φ5 Φ7 Φ6 Φ8 )。 xy 4h Φ 1 (σ x )0 ( 2 )0 2 (Φ2 Φ4 2Φ0 ), y h
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用差分法和变分法解平面问题
近似解法
对于工程实际问题，由于荷载和边界 较复杂，难以求出函数式的解答。为此， 人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要 有变分法、差分法和有限单元法。
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用差分法和变分法解平面问题
差分法
差分法是微分方程的一种数值解法。 它不是去求解函数 f (x)，而是求函数在一 些结点上的值 f 1, f 2 。 f
（4）求出边界外一行虚结点的 Φ 值； （5）按式(d)求各结点的应力。
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思考题
1、将应力函数 Φ 看成是覆盖于区域A和边
界s上的一个曲面，则在边界上，各点
的 Φ 值与从 A（基点）到B面力的合力
距有关， 的一阶导数值与A到B的面力 Φ
的合力（主矢量）有关；而在区域内，
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边界条件
Φ Φ ⑵由全微分dΦ d x d y 求边界点的 ΦB . x y
通过分部积分 u d v d(uv) v d u, 从A到B积分，得
Φ Φ ΦB ΦA ( xB x A )( ) A ( yB y A )( ) A x y
(i )
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边界条件
Φ ( )B. y
式(i)的物理意义是： 第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量； 第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量 改号; 第三式表示从A到B边界上面力对B点的力距， 图中以顺时针向为正。 Φ 因此，可以按物理意义直接求 ΦB , ( x ) B 和
式(d)称为向后差分公式。
(d )
线性的向前或向后差分公式，主要 用于对时间导数的公式中。
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用差分法和变分法解平面问题
例1 稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应 满足下列方程和边界条件：
T 0, （在A中）,
2
(a)
Ts Tb,
T ( ) s qb , n
（在 S1 上）, （在 S 2 上）.
应力分量与 Φ 曲面的曲率、扭率有关。
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问题
§5－3应力函数差分解的实例
正方形深梁,上边受均布荷载 q，下边 两角点处有支承反力维持平衡，试求其应 力。
此题无函数式解答。应用差分法求解。
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解出
（度）. Ta 28.53, Tb 25.13
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思考题
1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分
公式的区别。
2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出三
阶导数
3 f 的差分公式。 x 2y
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用差分法和变分法解平面问题
来自百度文库
按 Φ求解
§5-2
应力函数的差分解
f 1 f 2 3 f ( x) f ( xo ) ( )o ( x xo ) ( 2 )o ( x xo ) o(x ). x 2! x
2
(a)
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抛物线差分公式
抛物线差分公式─略去式(a)中 x3 以上项， 分别用于结点1、3， 结点1， x1 x0 h, f h2 2 f f 1 f o h( ) o ( 2 )o ; x 2 x 结点3， x3 x0 h,
(b)
式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出 高阶导数公式。
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抛物线差分公式
应用泰勒级数导出差分公式，可得出
统一的格式，避免任意性，并可估计其误
差量级，式(b)的误差为 o(x 3 ) 。
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线性差分公式
线性差分公式─在式(a)中仅取一、二项时， 误差量级为 对结点1， 得：
B B ΦB ( y B y ) f x d s ( x xB ) f y ds. A A
B Φ ( ) B f x d s, A y B Φ ( ) B f y d s, A x
Φ Φ ( 、x ) A ( 、) A y
2
(
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相容方程
2.相容方程(a)的差分表示，
( Φ) 0 0 化为： 20Φ0 8(Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 ) 2(Φ5 Φ6 Φ7 Φ8 )
4
(Φ9 Φ10 Φ11 Φ12 ) 0.
(e)
Φ 对每一内结点， i 为未知，均应列出式 (e)的方程 。
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边界条件
⑴ 应力边界条件用 Φ表示 取出坐标 的正方向作为边界线s 的正 dy 向（图中为顺时针向），当移动ds 时， 为正，而dx 为负，∴外法线的方向余弦为
dy l cos α , ds dx m sin α . ds
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y
y
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由于 ( T ) 2 T
y
10
T0 所以得 , 2h
这时，边界点2的 T2 是未知的，对2点 须列出式（d）的方程。此方程涉及到 T1 0 值，可将式（e）代入。
T1 0 T0
2h( q y ) 2
.
(e)
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将微分方程用差分方程（代数方程）代替， 于是，求解微分方程的问题化为求解差分 方程的问题。
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导数差分公式
导数差分公式的导出： 在平面弹性体上划分等间距h 的两组 网格，分别∥x 、y 轴。网格交点称为结 点，h称为步长。
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用差分法和变分法解平面问题
应用泰勒级数公式 将 f (x)在 xo点展开，
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相容方程
对边界内一行结点列式(e)方程时， 需要求出边界点和边界外一行结点（虚结 点）的 Φ 值。
的 Φ 、 Φ
为了求虚结点的 Φ 值，需要求出边界点
x
y
值。
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边界条件
3.应用应力边界条件(b)，求出边界点
Φ、 Φ 值。 的 Φ、 y x
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边界条件
⑷ 由式(i)的第三式，可求出边界点的 ΦB
值; 由式(i)的前两式，可求出边界点
的
Φ ( )B x
、 Φ ) (
y
值，然后再求出边
B
界外一行虚结点的 Φ 值。
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求解步骤
4.应力函数差分解的步骤 （1）在边界上选定基点A， 令
边界条件
将上式和式(d)代入式(b)，得
dy Φ dx Φ ( 2 ) ( ) fx, d s y d s xy
2 2
dx Φ dy Φ ( 2 ) ( ) fy. d s x d s xy
2 2
即
d Φ d Φ ( ) fy. ( ) f x , d s y d s x
2 。) o( x
f f1 f 0 h( ) 0 , x
f 1 ( ) 0 ( f1 f 0 ) , x h
式(c)称为向前差分公式。
(c )
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f 对结点3，f 3 f 0 h( ) 0 , 得： x
f 1 ( ) 0 ( f 0 f 3 ), x h
(f)
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边界条件
再将式(f )对s 积分，从固定的基点A到边
界任一点B，得
B Φ Φ ( ) B ( ) A f x ds, A y y (g) B Φ Φ ( ) B ( ) A f y ds. A x x 式( f )、(g)分别是应力边界条件的微分、积 分形式。

B
A
( yB y) f x d s ( x xB ) f y d s.
A
B
(h)
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边界条件
⑶∵A为定点， A 、 A 和 Φ A x y
均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式 不影响应力，∴可取 [ΦA , ( Φ ) A , ( Φ ) A ] 0, x y 故边界结点的 Φ和导数值，由式(g)、(h)简 化为
Φ Φ 然后计算边界上各结点的Φ 、x 、 y ；
Φ Φ ， ΦA ( ) A ( ) A 0 x y
（2）由边界结点的
Φ Φ 、 值，求出边界 x y
外一行虚结点的 Φ 值；
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求解步骤
（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，
联立求各结点的 Φ 值；
(b) (c)
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用差分法和变分法解平面问题
稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉
斯方程；在 S1 上的第一类边界条件是已
知边界上的温度值；在 S 2 上的第二类边
界条件是已知热流密度值，其中 是导
热系数。
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用差分法和变分法解平面问题
现在我们将式(a)、(b)、(c)转化为 差分形式。应用图5－1网格，和抛物线 差分公式，
例2
稳定温度场问题的差 40 分解。设图中的矩形 域为6m×4m ，取网 格间距为h=2m，布 32 置网格如图，各 边界点的已知温度值 24 如图所示，试求内结 点a、b的稳定温度 值。
35 30 25
a
b
22
22
20
17
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用差分法和变分法解平面问题
解：对a、b列出方程如下：
4Ta (3235 22Tb) 0, 4Tb (Ta 30 20 22) 0。
对于单连体，按应力函数 Φ 求解时， 应满足: Φ
(1)
4Φ 0;
( A)
(a) (b)
(lζx mηyx ) s fx, (2) (S Sζ ) (mζy lηxy ) s fy.
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按Φ 求解
（3）求出Φ 后，由下式求应力（假设无 体力）:
第一节 第二节
差分公式的推导 应力函数的差分解
第三节
第四节 第五节 第六节
应力函数差分解的实例
弹性体的形变势能和外力势能 位移变分方程 位移变分法
第七节 位移变分法例题 例题 习题的提示和答案 教学参考资料
第五章
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近似解法
§5-1 差分公式的推导
弹性力学的基本解法是，根据静力平衡 条件、形变与位移之间的几何条件和形变与 应力之间的物理条件，建立微分方程和边界 条件。 因此，弹性力学问题属于微分方程的 边界问题。通过求解，得出函数表示的精 确解答。
第五章
用差分法和变分法解平面问题
（1）将 ( 2T )0 0化为差分公式，得
4T0 (T1 T2 T3 T4 ) 0;
(d )
（2）若x边界516上为第一类边界条件，则
T 1 已知。
（3）若y边界627上为第二类边界条件，已 知 (q y ) 2 ，则 ( T ) (q ) , 2 2
f (x)
f1 f 2 f3
o
x1 x2 x3
x
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用差分法和变分法解平面问题
差分法
差分法的内容是： 将微分用有限差分来代替，
d x x x2 x1 , d f f f 2 f 1; 将导数用有限差商来代替，
d f f f 2 f1 ; d x x x2 x1
f h2 2 f f 3 f 0 h( ) 0 ( 2 ) 0。 x 2 x
第五章
用差分法和变分法解平面问题
抛物线差分公式
从上两式解出o点的导数公式，
f 1 ( )0 ( f1 f 3 ), x 2h 2 f 1 ( 2 ) 0 2 ( f1 f 3 2 f 0 )。 x h