阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●数法+题型和题法系统讲座

二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座

一、二阶变系数微分方程常数变易法

已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，

求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y

解答方法：令()()

()()y x p x y q x y f x '''++=

【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。

解：22111

x y xy y x y y y x x x

''''''-+=⇒-

+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111

y y y x x x

'''-+=，求得

()1212212ln 1

1ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1

ln ln 2

y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx x

x x x x x x

x c x c x x x x =++⋅

⋅

=+-+++=++

⎰

⎰

已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，

求()()()(

)y x p x y q x y f x '''++=的通解y

解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。 【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。

【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。 解：()()1; 2y u x y u x x y xu u y u xu '''''''==⇒=+=+

()

21

3

2

2

*

3

120 ; u u x cx c y ux x cx c x y x y x

''=⇒=++⇒==++==

已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，

求()()()0y x p x y q x y '''++=的另一个特解2y 及通解()Y x 。

解答方法1：

()()()0y x p x y q x y '''++=可求得通解()u x ，再代入 ()1y u x y =。 解答方法2（普适降阶法）：令()21y y z x dx =⎰代入()()()0y x p x y q x y '''++=可求得

【例4】已知1x y e =是方程()()()212120x y x x y y '''--++=的一个特解，求此方程的另一个特解2y 和通解()Y x 。

解：令()()();2x x x y u x e y e u u y e u u u '''''''=⇒=+=++代入()()()212120x y x x y y '''--++=

⇒()()()()()()()

()

; 12322123021230212122121

u p u p x

x x x x x x u x u x p x p p c x e u c x e dx c xe e c y ue c e c x y x ''''

==----'''''-+-=−−−−→-+-=⇒=-⇒=-=-++⇒==++⇒=+⎰ 二、二阶变系数微分方程的平移法

【例5】 Riccati 方程'2()()()y a x b x y c x y =++ （

1） 只有在已知其中一个特解*()y x 时，才有解 '2()()()y a x b x y c x y ***=++ 1）得

'

*2[2()()]()x

z C x y b x z C x z =++ 这是一个伯努利方程，再令1w z -=

()*

*

'*()()'[2()()][2()()][2()()]()

()()()[()][]x p x dx p x dx C x y b x dx C x y b x dx w C x y b x w C x y p x y Q x y x Q x e dx c e w c x e dx a e -+-+=-+-⎰⎰=+⇒=+⎰⎰

=-+⎰⎰

【例6】'222x x x y e e e y y =+-+

解：观察*x y e =是原方程的一个特解， 令2211

x dz dz y e z z dx c x z dx z z C x

=+⇒

=⇒=⇐-+=→=

- 1x y e C x

⇒=+

- 类似的题有（1）'22*1

12 (: , )x x x x x x

e y e e y y answer y e y e e c

-=-+-==+

+ （2）2'221x y xy x y =++ ()*111

(: , )ln answer y y x x c x x

=-=-+

- 希望同学们自己联系完成结论。 【例7】'''23x x y y e y e --++=的解法。 解：无法观察其特解，上述方法不能用

21110x y y e y -'''⇒++=

()11121112

2

21

12dy dy dy

dt t dx dt dx dt

d y dy dy d dt d t t t dx dt dt dx dt dt d y dy t t

dt dt

⇒

=⋅=-⎛⎫⎛⎫

⇒=-⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 222

211111112

21

1112211212000cos sin cos sin cos sin x

x x x x x

d y dy dy y y e

y t t t t y dt dt dt

d y y y c t c t

dt

y c e c e y e c e c e ------'''++=⇒+-+=⇒+=⇒=+⇒=+⇒=++

三、二阶变系数微分方程级数法（重点） 【例8】()()240, 00, 01y xy y y y ''''--===， 解：