(2)由S ＝a 2
4，得12ab sin C ＝a
2
4，故有
sin B sin C ＝1
2sin 2B ＝sin B cos B ，
因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ， 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝
π
2
±B .
当B＋C＝
π
2
时，A＝
π
2
；
当C－B＝
π
2
时，A＝
π
4
.
综上，A＝
π
2
或A＝
π
4
.
解三角形的一般方法
(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．
(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.
1．如图，在△ABC中，∠B＝
π
3
，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝
1
7
.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
[解](1)在△ADC中，
因为cos∠ADC＝
1
7
，
所以sin∠ADC＝
43
7
.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B
＝
43
7
×
1
2
－
1
7
×
3
2
＝
33
14
.
(2)在△ABD中，由正弦定理，得
BD＝
AB sin∠BAD
sin∠ADB
＝
8×
33
14
43
7
＝3.
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B
＝82＋5
2
－2×8×5×12＝49.
所以AC ＝7.
判断三角形的形状
ABC B b a c ABC 思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．
[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理， 得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.
∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C . 展开整理得
32sin C ＋1
2
cos C ＝1. ∴sin(C ＋30°)＝1. ∵0°法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝
a ＋c
2
，
∴⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22
＝a 2＋c 2－2ac cos 60°， 化简得(a －c )2
＝0. ∴a ＝c . 又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c .
∴△ABC 为等边三角形．
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法
求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．
2．在△ABC 中，若
b cos C
c cos B ＝1＋cos 2C
1＋cos 2B
，试判断△ABC 的形状．
[解] 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2
C 2cos 2B ＝cos 2
C cos 2B ＝
b cos C
c cos B ， 得
cos C cos B ＝b
c
. 可有以下两种解法．
法一：(利用正弦定理，将边化角)
由正弦定理得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin B
sin C
，
即sin C cos C ＝sin B cos B ， 即sin 2C ＝sin 2B . ∵B ，C 均为△ABC 的内角， ∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°. 即B ＝C 或B ＋C ＝90°.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二：(利用余弦定理，将角化边)
∵b c ＝cos C
cos B
， ∴由余弦定理得a 2＋b 2－c 2
2ab a 2＋c 2－b 22ac
＝b
c ，
即(a 2
＋b 2
－c 2
)c 2
＝b 2
(a 2
＋c 2
－b 2
)． ∴a 2c 2
－c 4
＝a 2b 2
－b 4
， 即a 2b 2
－a 2c 2
＋c 4
－b 4
＝0.
∴a 2
(b 2
－c 2
)＋(c 2
－b 2
)(c 2
＋b 2
)＝0， 即(b 2
－c 2
)(a 2
－b 2
－c 2
)＝0. ∴b 2
＝c 2
或a 2
－b 2
－c 2
＝0， 即b ＝c 或a 2
＝b 2
＋c 2
.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
正、余弦定理的实际应用
