高数 第十一章 无穷级数第二讲 常数项级数审敛法--正项级数

第二讲 常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法
授课题目（章节）：
§11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法
教学目的与要求：
1.了解正项级数收敛的充要条件；
2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法；
3.掌握正项级数的比值审敛法；
4.掌握p 级数的收敛性。

教学重点与难点：
重点：比值审敛法
难点：比较审敛法 讲授内容：
定义 若0(1,2,......)n u n ≥=则称
1
n
n u
∞
=∑为正项级数
性质 （1）正项级数的部分和数列{}n s 单调递增，即1231n n s s s s s +≤≤≤≤≤
（2）正项级数
1
n
n u
∞
=∑收敛的充要条件是部分和数列{}n s 有界
证明 （1）
11
0(1,2,),n n n n u n s s u ++≥==+
1n n s s +∴≥ （2）若
1
n
n u
∞
=∑收敛，则{}n s 收敛，故{}n s 有界；
若{}n s 有界，又{}n s 单调递增，故{}n s 收敛，从而1
n
n u
∞
=∑收敛。

正项级数审敛法 一、比较法
定理1（比较审敛法）
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑均为正项级，
且(1,2,)n n u v n ≤=
若
1
n
n v
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
n
n v
∞
=∑发散。

证明 设级数
1
n
n v
∞
=∑收敛于和σ，则级数
1
n
n u
∞
=∑的部分和
1212n n n s u u u v v v σ=+++≤+++≤
即部分和数列{}n s 有界，故级数1
n
n u
∞
=∑收敛；
反之，设
1
n
n u
∞
=∑发散，若
1
n
n v
∞
=∑收敛，由上面已证明的结论将有
1
n
n u
∞
=∑收敛，与
假设矛盾，故若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
n
n v
∞
=∑发散。

推论
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑均为正项级数，且(,0)n n u kv n N N k ≤>>为自然数，
若
1
n
n v
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
n
n v
∞
=∑发散。

例1 讨论p -级数111
123
p p p n
++++
+的收敛性，其中常数0.p >
解 设1p ≤，则
11
p n n
≥，调和级数发散，故由比较法知，当1p ≤时，p -级数发散；
设1p >，可证部分和11,(2,3,)1
n s n p <+
=-
即数列{}n s 有界，故当1p >时，p -级数收敛。

比较法的步骤：（1）选取参照级数（2）推测收敛性（3）证明结论 例2判定下列级数的收敛性
（1）311n n n ∞
=+∑ （2
）n ∞= （3）21sin 2n
n n ∞=∑ （4）11ln(1)n n ∞
=+∑ 解 （1）33321
12n n n u n n n n =≤=++，又2
11n n ∞
=∑收敛，故原级数收敛 （2
）1n u n =
>=，又11
n n
∞
=∑发散，故原级数发散 （3）n u =2sin 122n n n ≤，又11
2n
n ∞=∑收敛，故原级数收敛 （4）11
ln(1)n u n n =
>+，又11n n
∞
=∑发散，故原级数发散 定理2 （比较法的极限形式）
1
1
,n n n n u v ∞∞
==∑∑均为正项级，lim
n
n n
u l v →∞= （1）若l 为正数，则
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑的收敛性相同；
（2）若0l =，则当
1
n
n v
∞
=∑收敛时，必有
1
n
n u
∞
=∑收敛；
（3）若l =+∞，则当
1
n
n v
∞
=∑发散时，必有
1
n
n u
∞
=∑发散。

例3 由比较法的极限形式，判定下列级数的收敛性 （1
）
n ∞
= （2
）1
cos )n n π∞
=-
解 （1
）1n n n
→∞
== 又
1
1
n n ∞
=∑发散，故原级数发散 （2）2
2
2
1cos
2sin
()22n n
n
n
π
π
π-→∞
所以取参照级数为
32
1
1
n n
∞
=∑
因为3
2
21lim lim cos )12n n n u n n ππ→∞→∞=-=，又级数3211n n
∞
=∑收敛，故原级数收敛
二、比值法 定理3
1
n n u ∞
=∑为正项级数，1
lim
n n n
u u ρ+→∞=
（1）若1ρ<，则
1
n
n u
∞
=∑收敛；
（2）若1ρ>+∞或为，则
1
n
n u
∞
=∑发散；
（3）若1ρ=，则
1
n
n u
∞
=∑可能收敛可能发散。

例4 由比值法判定下列级数的收敛性
（1）12n n n ∞
=∑ （2）1
1
sin 3n n n ∞
=∑
解 （1）112lim lim 2112n n n
n n n
u n
u n ++→∞→∞=⋅=>+，故级数发散
（2）111
11
(1)sin
133lim
lim
lim 1113sin 33n n n n n n n
n
n
n u u n +++→∞→∞
→∞+===<，故级数收敛
例5 证明 22!lim cos
05
n n n n n n π
→∞= 证明 设n u =22!cos 5n n n n n π
，只须证正项级数1
n n u ∞
=∑收敛
因为n u =22!2!
cos
5n n n n n n n n v n n
π≤=
又11(1)2(1)!2
lim lim 1(1)2!n n n n n n n n
v n n v n n e +++→∞→∞+=⋅=<+ 所以由比值法知
1
n
n v
∞
=∑收敛，故
1
n
n u
∞
=∑收敛
由收敛的必要条件可知22!lim cos
05
n n n n n n π
→∞= 三、根值法 定理4
1
n
n u
∞
=∑
为正项级数，n ρ=（1）若1ρ<，则
1
n
n u
∞
=∑收敛；
（2）若1ρ>+∞或为，则
1
n
n u
∞
=∑发散；
（3）若1ρ=，则
1
n
n u
∞
=∑可能收敛可能发散。

例6 判定
1
1
(ln )n
n n ∞
=∑级数的收敛性 解
1
lim
01ln n n n
→∞==<，故级数收敛
课外作业：P206-4。