高数 第十一章 无穷级数第二讲 常数项级数审敛法--正项级数

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第二讲 常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法
授课题目(章节):
§11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法
教学目的与要求:
1.了解正项级数收敛的充要条件;
2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法;
3.掌握正项级数的比值审敛法;
4.掌握p 级数的收敛性。

教学重点与难点:
重点:比值审敛法
难点:比较审敛法 讲授内容:
定义 若0(1,2,......)n u n ≥=则称
1
n
n u

=∑为正项级数
性质 (1)正项级数的部分和数列{}n s 单调递增,即1231n n s s s s s +≤≤≤≤≤
(2)正项级数
1
n
n u

=∑收敛的充要条件是部分和数列{}n s 有界
证明 (1)
11
0(1,2,),n n n n u n s s u ++≥==+
1n n s s +∴≥ (2)若
1
n
n u

=∑收敛,则{}n s 收敛,故{}n s 有界;
若{}n s 有界,又{}n s 单调递增,故{}n s 收敛,从而1
n
n u

=∑收敛。

正项级数审敛法 一、比较法
定理1(比较审敛法)
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑均为正项级,
且(1,2,)n n u v n ≤=

1
n
n v

=∑收敛,则
1
n
n u

=∑收敛;若
1
n
n u

=∑发散,则
1
n
n v

=∑发散。

证明 设级数
1
n
n v

=∑收敛于和σ,则级数
1
n
n u

=∑的部分和
1212n n n s u u u v v v σ=+++≤+++≤
即部分和数列{}n s 有界,故级数1
n
n u

=∑收敛;
反之,设
1
n
n u

=∑发散,若
1
n
n v

=∑收敛,由上面已证明的结论将有
1
n
n u

=∑收敛,与
假设矛盾,故若
1
n
n u

=∑发散,则
1
n
n v

=∑发散。

推论
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑均为正项级数,且(,0)n n u kv n N N k ≤>>为自然数,

1
n
n v

=∑收敛,则
1
n
n u

=∑收敛;若
1
n
n u

=∑发散,则
1
n
n v

=∑发散。

例1 讨论p -级数111
123
p p p n
++++
+的收敛性,其中常数0.p >
解 设1p ≤,则
11
p n n
≥,调和级数发散,故由比较法知,当1p ≤时,p -级数发散;
设1p >,可证部分和11,(2,3,)1
n s n p <+
=-
即数列{}n s 有界,故当1p >时,p -级数收敛。

比较法的步骤:(1)选取参照级数(2)推测收敛性(3)证明结论 例2判定下列级数的收敛性
(1)311n n n ∞
=+∑ (2
)n ∞= (3)21sin 2n
n n ∞=∑ (4)11ln(1)n n ∞
=+∑ 解 (1)33321
12n n n u n n n n =≤=++,又2
11n n ∞
=∑收敛,故原级数收敛 (2
)1n u n =
>=,又11
n n

=∑发散,故原级数发散 (3)n u =2sin 122n n n ≤,又11
2n
n ∞=∑收敛,故原级数收敛 (4)11
ln(1)n u n n =
>+,又11n n

=∑发散,故原级数发散 定理2 (比较法的极限形式)
1
1
,n n n n u v ∞∞
==∑∑均为正项级,lim
n
n n
u l v →∞= (1)若l 为正数,则
1
1
,n n
n n u v
∞∞
==∑∑的收敛性相同;
(2)若0l =,则当
1
n
n v

=∑收敛时,必有
1
n
n u

=∑收敛;
(3)若l =+∞,则当
1
n
n v

=∑发散时,必有
1
n
n u

=∑发散。

例3 由比较法的极限形式,判定下列级数的收敛性 (1

n ∞
= (2
)1
cos )n n π∞
=-
解 (1
)1n n n
→∞
== 又
1
1
n n ∞
=∑发散,故原级数发散 (2)2
2
2
1cos
2sin
()22n n
n
n
π
π
π-→∞
所以取参照级数为
32
1
1
n n

=∑
因为3
2
21lim lim cos )12n n n u n n ππ→∞→∞=-=,又级数3211n n

=∑收敛,故原级数收敛
二、比值法 定理3
1
n n u ∞
=∑为正项级数,1
lim
n n n
u u ρ+→∞=
(1)若1ρ<,则
1
n
n u

=∑收敛;
(2)若1ρ>+∞或为,则
1
n
n u

=∑发散;
(3)若1ρ=,则
1
n
n u

=∑可能收敛可能发散。

例4 由比值法判定下列级数的收敛性
(1)12n n n ∞
=∑ (2)1
1
sin 3n n n ∞
=∑
解 (1)112lim lim 2112n n n
n n n
u n
u n ++→∞→∞=⋅=>+,故级数发散
(2)111
11
(1)sin
133lim
lim
lim 1113sin 33n n n n n n n
n
n
n u u n +++→∞→∞
→∞+===<,故级数收敛
例5 证明 22!lim cos
05
n n n n n n π
→∞= 证明 设n u =22!cos 5n n n n n π
,只须证正项级数1
n n u ∞
=∑收敛
因为n u =22!2!
cos
5n n n n n n n n v n n
π≤=
又11(1)2(1)!2
lim lim 1(1)2!n n n n n n n n
v n n v n n e +++→∞→∞+=⋅=<+ 所以由比值法知
1
n
n v

=∑收敛,故
1
n
n u

=∑收敛
由收敛的必要条件可知22!lim cos
05
n n n n n n π
→∞= 三、根值法 定理4
1
n
n u

=∑
为正项级数,n ρ=(1)若1ρ<,则
1
n
n u

=∑收敛;
(2)若1ρ>+∞或为,则
1
n
n u

=∑发散;
(3)若1ρ=,则
1
n
n u

=∑可能收敛可能发散。

例6 判定
1
1
(ln )n
n n ∞
=∑级数的收敛性 解
1
lim
01ln n n n
→∞==<,故级数收敛
课外作业:P206-4。

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