伸缩变换观点下的椭圆

利用伸缩变换

解决圆锥曲线中的

线性问题

作者：赵呈海

天津市第一〇二中学

指导教师：马萍天津市第一〇二中学

严虹天津市第一〇二中学

纪洪伟天津市第一〇二中学

张倩天津市第一〇二中学

利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题

赵呈海天津市第一〇二中学

摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。

关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。

我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。这就是解析几何（坐标几何）。

解析几何，高考永恒的重点、难点。圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。

“数、形翻译”的能力是解析几何的核心素养。这是因为，归根结底，解析几何还是在研究几何问题。在利用坐标方法解决几何问题时，我们一般要把几何关系“翻译”成代数的语言。这种“翻译”能力的建立，要求学生对坐标系有深刻的理解，灵活运用代数与几何间的各种“桥梁”将二者建立联系、相互表达。在高中范围内，学生可以通过练习不断培养这种能力，逐渐丰富“翻译”的经验。

坐标方法固然优点重重，但是在使用“代数化”思路解决问题的程序中无法避免地会伴随计算的问题。计算往往是圆锥曲线这一难点的切实所在。其实，如果单纯只是运算的“量大”还是可以通过高强度的训练得到有效改善。但对于一些题目，即便是计算能力非常出色的学生也需要消耗大量的时间，甚至反复多次才能得解。这是由于“算理不明”所致，如果学生选择的计算策略不合理，就会走入死胡同，将运算变成了硬解，即便耗费大量努力，最终还是无法得解。可令人烦恼的，许多二次曲线中的计算涉及“算理”问题，然而，对于明晰“算理”的培养，绝不是一朝一夕所能够完成的小工程，那需要绝对大量的经验积累和一定程度的数学天赋。显然，仅凭高中教学来解决这个问题是不现实的。

为应对高考圆锥曲线计算难的问题，笔者试图在解析几何的相关领域寻找一种较为普适的方法，从而系统地解决一类问题。于是发现，利用平面伸缩变换是不错的处理方法。

方法对照：

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32343443234,34342321121341243480124834134,,,134;3231012016222222122121221212222221212222212212222222112222

22-=⋅=+--⋅=⋅+++⋅=⋅⋅=⋅=⇒=++=-+=-⋅=-+⨯+⨯=⎪⎪⎩

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OA AOB k k m k m k m x x m x x km x x k x x y y k k m t t k k m k m x x m x x k k m S k m x x k kmx x x m kmx x k m

kx y y x y x B y x A II y x C I OB OA AOB O II C I B A B A C m kx y l x P b a b y a x C ，得：由令解得：令：由韦达定理：联立：设常规方法：

；：椭圆方程略解：不是请说明。？若是，求出该定值；的斜率之积是否为定值与，试判断直线的面积为

为坐标原点，若△设的方程；

求椭圆两点均不在坐标轴上、两点、交于与椭圆：轴，直线的连线垂直于与椭圆右焦点，上一点：已知椭圆新华中学校模例：

△显然，方法1计算复杂，对“算理”的要求不好拿捏。必修四学习三角函数时我们曾接触伸缩变换，这里不妨试试。

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34311sin 2

12sin sin 2112

132,1:134,3222222-=⋅=⋅∴-=⋅⇒'⊥'=⇒==⋅'⋅'=∴=='='=⋅=

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⎪⎪⎨⎧='='''''''''B O O A OB AO B O O A B O A AOB B O A k k k k k k B O O A B O O A S r B O O A S S B B A A y x C y x C y y x x 即：，在单位圆内：，对应地对应地变换为单位圆：将椭圆：由平面伸缩变换伸缩变换：△△△θθθϕ不难发现，利用平面伸缩变换可以将椭圆“还原”成圆，这样就提高了它的“几何特征”，从而使问题变得更加清晰，执行起来也更加简便，有效地“回避”了繁杂的计算，从解题的结构来看，这无疑是一种优美的解法。

为了完善利用伸缩变换解题的结构体系，下面从平面伸缩变换的定义，性质，适用条件，意义以及例题这五个方面逐步建立这一体系。

1.伸缩变换：

()()()()()

I

y x P y x P y

y x x y x P =⋅*'''⎩⎨⎧='='--11,,,4-4ϕϕϕϕϕμλϕ的逆变换，表示变换注：变换缩变换。坐标伸缩变换，简称伸为平面直角坐标系中的则称，对应到点的作用下，点：一点，在变换任意

是平面直角坐标系中的：设点选修定义