4.4带进位的反馈移位寄存器序列

第四节

带进位的反馈移位寄存器序列

内在的线性结构是LFSR序列的致命弱点. 上一节中介绍的组合生成器, 前馈生成器以及钟控生成器的提出目的非常明确, 都是为了破坏LFSR序列的线性结构以得到好的非线性序列.

近年来, 几类好的非线性序列生成器逐渐受到国际学者的关注. 由于非线性序列生成器可自然产生非线性结构好的序列, 以它为基础构造伪随机序列比在LFSR基础上进行非线性改造相对要容易和安全.

带进位的反馈移位寄存器(Feedback with Carry Shift Register, 简称FCSR)由两位美国学者Klapper A.和Goresky M.于1993年提出. 其本质特征是利用整数的进位运算生成一类非线性序列. 本节主要介绍FCSR序列的基本性质. 应特别注意的是, 在本节中的加法都指整数环Z中的加法.

一般地, 形如α =0i ∞

=∑a i 2i

的形式幂级数称为2-adic 整

数, 其中a i ∈{0, 1}; 所有这些形式幂级数的全体, 按自然的进位加法和乘法构成环, 称为2-adic 整数环, 记为Z 2.

2-adic 数与有理分数导出序列

因为对任意非负整数n , 有唯一的2-adic (或2进制展开n = n 0 + n 12 + … + n t 2t

, 其中n i ∈{0, 1}, n t = 1, t = ⎣log 2(n )⎦, 且−1 = 0i ∞=∑2i , 故整数环Z 是2-adic 整数

环Z 2的子环. Z 2中的零元素就是0, 单位元就是1.

此外, 由于2-adic 数α =0i ∞=∑a i 2i

在Z 2中是(乘法)可

逆当且仅当a 0 = 1. 从而奇数在Z 2中可逆. 所以, 对奇数q 和任意整数n , 分数n /q 可自然视为Z 2中的元素, 若记n /q = 0i ∞=∑a i 2i

, 则称序列(a 0,a 1,…)为有理数

n /q 的导出序列.

定理4.23 设q 是奇数, p 是整数, p /q =0i ∞=∑a i 2i

, 则

p /q 的导出序列a = (a 0,a 1,…)是准周期的. 反之, 设a = (a 0,a 1,…)是二元准周期序列, 则存在有理分数 p /q , 其中q 是奇数, 使得p /q = 0i ∞=∑a i 2i

. 进一步, a 是周期序

列当且仅当−1 ≤ p /q ≤ 0.

定理4.24若p和q互素, 0≤−p

q

(2).

注4.7ord

q (2)表示2模q的乘法阶, 即最小的正

整数s使得同余式2s≡1(mod q)成立.

设q∈Z为正奇数, r=⎣log2(q+1)⎦,

q+1=q

12+q

2

22+…+q

r

2r

其中q

i ∈{0,1}且q

r

=1. 连接数为q的FCSR, 如

图所示

基本概念和性质

其中∑表示整数加法, m n 是进位(也称记忆), (m n ; a n +r −1, a n +r −2, …, a n )是FCSR 的一个状态.

a n +r −1a n +r −2

…a n +1a n q r q r −1q 2q 1Σ

m n div 2 mod2

……

具体实施过程如下:

(1) 设(m 0; a r −1, a r −2, …, a 0)是FCSR 的初态,

(2) 若已产生(m n ; a n +r −1, a n +r −2, …, a n ), 计算整数

和σn =1r

k =∑q k a n +r −k + m n (n ≥ 0);

(3) 右移一位, 输出寄存器最右端的a

n

;

(4) 令a

n+r =σ

n

(mod 2), 放入寄存器的最左端;

(5) 令m

n+1=(σ

n

−a

n+r

)/2=⎣σ

n

/2⎦.

定理4.25设FCSR 的连接数为

q = q 0 + q 12 + q 222 + … + q r 2r

,

其中q 0 = −1, a = (a 0,a 1,…)是以(m 0; a r −1,…,a 0)为初态的输出序列, α = 0i ∞=∑a i 2i , 则α = p /q , 其中

p = 10r k −=∑0k i =∑q i a k −i 2k − m 02r

.

推论4.4 设a是以q为极小连接数的FCSR序

(2).

列, 则per(a)=ord

q

定理4.26 设a=(a

0,a

1

,…)是以q为连接数的周

期FCSR序列. 记γ=2−1∈Z/(q), 则存在A∈Z/(q), 使得

a

i

=A⋅γi(mod q)(mod 2), i≥0,

其中A⋅γi(mod q)(mod2)表示A⋅γi先模q得到0到q −1之间的数, 再模2得到0或1. 进一步, a就是−A/q的导出序列.

l-序列

定义4.10 设序列a以q为连接数, 若

per(a)=ϕ(q), 则称a是以q为连接数的极大周期FCSR序列, 简称l-序列.