第二章稳态导热

B.C
d 2t dx2
qv
0
x0 dt0 dx
δδ
q’
q’’
x
dth(t
dx
tf
)
h tf
h tf
x dx
平板中的温度分布：
t2 qv (2x2)qh vtf
具有均匀内热源的平壁
任一位置 x 处的热流密度：
q
dt dx
qv x
说明
t2 qv (2x2)qh vtf
q
dt dx
qv x
✓ 与无内热源的平壁解比较：
R
t
λl,2
w3
R λl,3
tw4
通过N层圆筒壁单位长度的热流量：
ql
n
tw1 tw,n1 1 ln( di1 )
i1 2i
di
通过N层圆筒壁的总热流量：
n
tw1 tw,n1 1 ln(di1 )
i1 2il
di
t
λ1 λ2λ3
tw1
tw2
tw3
tw4
ф
r1 r2 r3 r4
r
ΦL
tw1
对于多层圆通壁的导热问题， 可根据热阻叠加原理，求得通过 多层圆筒壁的导热热流量：
ql
tw1 tw4 Rl1 Rl2 Rl3
tw1 tw4
1
21
ln
d2 d1
1
22
ln
d3 d2
1
23
ln
d4 d3
t
λ1 λ2λ3
tw1
tw2
tw3
tw4
ф
r1 r2 r3 r4
r
ΦL
tw1
R λl，1 tw2
dt dr
| r r1
=h1(tf1t|rr1)
dt dr
|r r 2
=h2 (t
|r r 2
t
f
）
2
各过程的热流量分别为：
ql|rr1h12r1(tf1tw 1)
ql
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
q l r r2 =h22r2 tw2tf2
稳态导热过程中：
ql |rr1ql |rr2ql
确定（1）平壁内的温度分布； （2）通过此平壁的热流密度。
导热微分方程 d 2 t 0
dx 2
边界条件 ddtx|x0h1(tf1t|x0)
d d
t x
| x
h2(t|x
tf2)
稳态导热过程，各处热流密度相同
q tw1 tw2
q | x0 =h1 tf1tw1
q | x =h2 tw2tf2
tw1 R λl,1 tw2
R
t
λl,2
w3
R λl,3
tw4
R h2
t f2
5. 临界热绝缘直径
➢ 热流体通过管道壁和保温层传给冷流体传热
过程的热阻为： R lh 1 1 d 1211ln d d 1 221 inlsn d d 2 xh 21 d x
➢ 对应于总热阻Rl 为极小值时的保温 层外径称为临界绝 缘直径。
Aq A dt dr
( 2 rl ) t w 1 t w 2 1 ln( r2 ) r r1
t w1 tw 2
tw1 tw 2
1 ln( r2 )
1 ln( d 2 )
2 l r1
2 l d 1
整个圆筒壁的导热热阻：
R21llnd d(1 2) K/W
q tw1 tw2 1
但通过整个圆筒壁的总热流量不变。
➢ 对无内热源的一维圆筒壁导热， 单位长度圆筒壁的热流量是相等的。
λ
tw1
r1
dr r
r2
tw2 ф r
3. 第三类边界条件下单层圆筒壁的导热
假设： 假设；空心圆筒壁 l，内外径
r1, r2, 且 l>>d2，λ=常数，无内热源，
在r= r1一侧流体温度tf1。对流换热 表面传热系数h1；在r= r2一侧流体 温度tf2，对流换热表面传热系数h2
。 tf1> tf2
确定（1）圆筒壁内的温度分布； （2）通过此平壁的单位长度 热流量。
导热数学描述（导热微分方程+边界条件） 导热微分方程： d r dt 0
dr dr
边界条件：
dt dr
|r
r1
=h1(tf1t
|rr1)
dt dr
|rr2
=h2(t
|rr2
t
f
）
2
d dr
r
dt dr
0
i1
A
tw4
通过n层平壁的热流密度:
ф
q
t w 1 t w ,n 1
n
0 δ1 δ2 δ3 x
Φ
R ,i
i 1
tw1 R λ1 tw2 R λ2 t w3 R λ3 tw4
tw ,i 1 tw 1 q R ,1 R ,2 R ,i
3. 第三类边界条件下单层平壁的导热
假设：厚度为δ的单层平壁 ，无内热源，导热系数为常 数。在x=0处界面侧流体温度 tf1。对流换热表面传热系数 h1；在x= δ处界面侧流体温 度tf2，对流换热表面传热系 数h2。
不大时可按一维导热计算，否则应按二维、三维
计算。
t
R
复合平壁的导热：
当B、C、D三部分导 热系数相差不大时， 可以设想把A、E两 层也分别划为与B、 C、D相对应的三部 分，形成三个并列的 多层平壁。
复合平壁的导热的总热阻：
R 1
1 1
1
R A 1R BR E 1 R A 2R CR E 2 R A 3R D R E 3
ln(r2 ) r r1
t
λ
tw1
r1
dr r
r2
ф
tw2 ф r
tw1
R
1
2 l
ln( d2 ) d1
t
w2
单位长度圆筒壁的热流量：
ql l
tw1 tw2 1 ln(d2 )
2 d1
фL
tw1 R.L
1
2
ln( d2 ) t
d1
w2
单位长度圆筒壁的导热热阻：
Rl
1
2
ln(d2 ) d1
2. 第一类边界条件下多层圆筒壁的导热
qd dx t tw 1tw2
通过平壁的总热流量：
Q Ad d x tA tw 1 tw 2
t
A
λ
tw1
tw2 ф
0 x dx δ x
大小和方向
结论
ttw1tw1tw2 x
qtw1tw2
✓ 当λ= 常数时，平壁内温度分布呈线性分布，
且与λ无关。
t
✓ 通过平壁内任何一个等温面的
A tw1
λ
热流密度均相等，与坐标x无关。
传热学
第 二 章 稳态导热
第一节 通过平壁的导热
1. 第一类边界条件下单层平壁的导热
h10
假设；大平壁λ= 常数，表面积A，厚度δ，
无内热源，平壁两侧维Fra Baidu bibliotek均匀恒定
温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
A
λ
tw1
确定（1）平壁内的温度分布；
（2）通过此平壁的热流密度。
tw2
ф
0 x dx δ x
✓ 导热热阻（Conductive resistance）
qtw1tw2
tw1tw2
0
✓ 总热阻： R A K/W
tw1
x dx
Φ
tw2 ф
δx
Rλ
t w2
λ随温度发生变化时， 0(1bt)
导热微分方程为： d ( dt ) 0
dx dx
平壁内的温度分布：
t 2 1 b t2 tw 1 2 1 b tw 2 1 tw 1 tw 2 x 1 2 1 b tw 1 tw 2 t b 1 2 tw 1 b 1 2 b 2tw 1 tw 2 tw 1 tw 2x
联立求解，整理得：
ql
1
h12r1
tf 1 tf 2
21lndd2 1
1
h22r2
或
ql
1
tf1tf 2 1 lnd2
1
h1d1 2 d1 h2d2
热阻 R l k 1 l h1 1d12 1ln d d1 2h2 1d2
4. 第三类边界条件下多层圆筒壁的导热
单位长度的热流量：
l
通过平壁的导热热流密度：
qtw1tw2011 2btw1tw2
图 2-2 导热系数随 温度变化时平壁内 的温度分布
对于一维稳态导热问题，因为热流密度是常数，可 由傅里叶定律分离变量并按相应的边界条件积分得到
整理
tw 2
q dx dt
0
tw1
q tw1 tw2
该方法仅适用于一维稳态导热问题。
t f1 h1
t f2 h2
Φ δ
减少哪一侧热阻 效果最显著？
• 肋片 (Fins) 或扩展面 (Extended surface) 的形式
2. 第一类边界条件下多层平壁的导热
• 多层壁：由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。
• 求解：按照热阻串联相加原则。 t
通过三层平壁的热流密度：
qtw11t1w2
1
R,1
tw1tw2
qtw 22t2w3
1 R,2
tw2 tw3
tw1
λ1 λ2λλ3
tw2 tw3
A
tw4
ф
0 δ1 δ2 δ3 x
第三节 通过圆筒壁的导热 l d 10
1. 第一类边界条件下单层圆筒壁的导热
假设；空心圆筒壁 l，内外径 r1, r2, 且 l>>d2， λ=常数，无内热源，内外表面维持均匀
恒定温度 tw1, tw2，且tw1> tw2。
t
确定（1）圆筒壁的温度分布； （2）通过径向的热流量。
λ
tw1
选取坐标系为圆柱坐标。 tf(r)
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d 2t dx2
0
B.C x0 ttw1
x ttw2
求解微分方程，得通解：
t
A
λ
tw1
tw2 ф
tc1xc2
0 x dx δ x
由边界条件，求 c1，c2：
c2tw1, c1tw1tw2
平壁内的温度分布：
ttw1tw1tw2 x 温度梯度：
ddxttw1tw2 通过平壁的热流密度：
t f1 h1 A
tw2 tw3 tw4 ф
0 δ1 δ2 δ3 x
t f2 h2
tf 1 tf 2
1
n
i
1
h1A i1 i A h2A
Φ
t f1
R h1 tw1 R λ1 tw2
R
t
λ2
w3
R λ3 tw4 R h2
t f2
第二节 通过复合平壁的导热
图2-5 复合平壁示例
说明：复合平壁的各种不同材料导热系数相差
dRl 1
ddx dx
21insh21dx
dx
dc
2ins
h2
图2-11 临界热绝缘直径
第四节 具有内热源的平壁导热
• 有内热源的导热问题； • 电器及线圈中有电流通过时的发热； • 化工中的吸热放热反应； • 核装置中燃料元件的放射反应等。
• 导热微分方程
t
a( x 2t2 y 2t2 z2t2) c V
q
tf1 tf 2
1 1
h1 h 2
qktf1tf2
4. 第三类边界条件下多层平壁的导热
• 求解：按热阻串联相加原则。 思考：如何求解两侧壁面
热流密度：
温度及夹层中间温度？
t
q t Rt
1
tf1 tf 2
n
i
1
h1 i1 i h2
面积为A时多层平壁第三 类边界条件下热流密度：
λ1 λ2λλ3 tw1
假设；平壁具有内热源qv，厚度为2 δ 两侧同时与温度为 tf 的流体发生 对流换热，表面传热系数 h。
h tf
δδ
q’
q’’
h tf x dx
确定（1）平壁内任意位置 x 处的温度；具有均匀内热源的平壁 （2）通过该截面处的热流密度。
可只分析平壁厚度的一半把 x轴原点放在墙壁中心
导热的数学描述（导热微分方程+边界条件）
R λl，1 tw2
R
t
λl,2
w3
R λl,3
tw4
各层之间接触面的温度亦可求出
结论 关于圆筒壁导热的几点结论:
➢ 一维圆筒壁导热，壁内的温度分布 成对数分布（沿径向）。
对比平壁
➢ 圆筒壁的温度梯度沿径向变化。
➢ 对稳态导热，通过圆筒壁径向热流密度不是 常数，随 r 的增加，热流密度逐渐减小， t
r1
r1
圆筒内的温度分布：
ln( r )
t
tw1
(tw1
tw2 )
r1 ln( r2
)
r1
温度梯度：
dt tw1 tw2 1
dr
ln(r2 ) r
r1
圆筒壁沿 r 方向的热流密度：
qdttw1tw2 1
dr
ln(r2) r
r1
t
λ
tw1
r1
dr r
r2
tw2 ф r
通过整个圆筒壁的总热流量：
• 温度分布呈抛物线分布，而不是直线分布；
• 热流密度不再是常数。
✓ 给定壁面温度边界条件下，可认为h趋于无限大，
而 t |x t f 因此墙壁中温度分布为：
t2qv (2x2)t|x
第五节 通过肋壁的导热
t
Rt
tf1tf 2
h11AAh21A
Aλ
如何增强传热？
增大传热温差： 减小传热热阻： ✓ 扩展传热面 ✓ 改变表面状况 ✓ 改变流体的流动状况
qtw 33t3w4
1
R,3
tw3tw4
tw1
Φ R λ1 tw2 R λ2 t w3 R λ3 tw4
整理为：
tw1tw2qR,1
tw2tw3qR,2
tw3tw4qR,3
t
通过三层平壁的热流密度：
q tw1tw4
tw1tw4
R,1R,2 R,3
3
R,i
tw1
λ1 λ2λλ3 tw2 tw3
1
n
tf1tf2 1 lnd(i1)
1
2r1h1
2 i1
i
di 2rn1h2
t
通过多层圆筒壁的总热流量：
2r11lh 1i n121 tfi1l ltnfd 2d(i i1)2rn11lh 2
ΦL
tw1 λ1 λ2 λ3
t f 1 h1 0
tw2
tw3 tw4 t f2 h2
ф r
t f1
R h1
r1
dr r
r2
tw2 ф r
导热数学描述（导热微分方程+边界条件）
d (r dt)0 dr dr
B.C rr1 ttw1 rr2 ttw2
t
λ
tw1
求解微分方程，得通解：
tw2
tc1ln rc2
ф
r1
dr r
r
由边界条件，求 c1，c2：
r2
c1tw l1n r2 t(w )2, c2tw 1(tw 1tw 2)llnn rr2 1 ()