基于递归算法的分形图像MATLAB仿真文献综述

杭州电子科技大学信息工程学院毕业设计（论文）文献综述

毕业设计（论文）题目基于递归算法的分形图像仿真实现

文献综述题目分形理论及分形图形生成算法研究系通信工程

专业通信工程

姓名项睿

班级08093413

学号08934326

指导教师郭春生

分形理论及分形图形生成算法研究

20世纪70年代，自然科学的三大发明是混沌、耗散结构和分形。分形理论既可以说是现代数学的一个新分支，也可以说是一门有着古老历史渊源的学问。早在一百多年前，分形学的初始形式——分形几何学就受到了数学家们的关注，时至今日，分形学的发展已经突破最初集合理论的研究而广泛应用于各类学科和社会生产生活中。可以认为，分形学的创立已经成为一次科学革命，这也是分形理论得以产生和发展的重要原因[1]。

作为研究非线性科学的重要理论，分形引起了研究者的高度重视和兴趣。国内外许多学者从事这方面的研究，并且取得了一系列令人瞩目的成果。分形所涉及的学科领域相当广泛，从数学、物理学、气象学、生物学到图形学；从自然到社会；以及我们日常生活中所涉及的万事万物都存在着分形。当前分形理论的研究主要分三种类型：其一，分形理论的基础研究。其二，分形理论在实际应用中的研究。其三，分形图形的生成方法研究[2]。

随着计算机图形学的发展，分形理论与之结合产生了分形图形学。本文将对计算机对分形图形的仿真的算法、生成方式以及理论依据、研究历史等做一个简要概括，对现有的改方面研究成果做简单分析，并展望未来的发展前景。

一、分形理论的创始和发展

“分形”(fractal)一词由美籍法国数学家德尔布罗特(Benoit B.mandelbrot)教授在1975年首次提出，其源于拉丁文fractus，原意为“分数的，不规则的，破碎的”。我们通常以曼德尔布罗特发表在1967年《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长·统计自相似性与分数维数”一文作为“分形”学科诞生的标志。分形之所以引起人们广泛的注意，主要有两个方面：一方面是由于在自然界中普遍存在的不规则现象，而分形作为“描述大自然”的几何学证明了其中有许多不规则现象就是“真是的分形”；另一方面，随着分形分析中的新工具的产生，尤其在材料、地理、经济等学科的成功应用，用于研究分形集的数学理论与方法有了巨大发展，也逐渐完善了分形理论自身体系[3]。

很长时间以来科学家们都想给“分形”一个严格的数学定义，但这些定义都难以适用于一般情形[4]。因此对于“分形”给出了一系列特征描述，如果集合F具有下面所有或大部分性质，则集合F是分形：

1.F具有精细的结构，即有任意小比例的不规则细节。

2.F是非常不规则的，无论他的局部或整体均无法用微积分或传统的几何语

言来描述。

3.通常F具有某种自相似或自仿真性质，可能是统计或者近似意义上的。

4.F在某种方式定义之下的“分形维数”通常严格大于他的拓扑维数。

5.在许多令人感兴趣的情形，F有非常简单的，可能是由迭代过程产生的方

法来确定。

分形理论的发展大致可分为三个阶段：

第一阶段是从1967 年—1981 年, 即分形的产生和起步阶段。在这一阶段的标志性人物是B.B.Mandelbrot 和后来被称为“分形之父”的芒德布罗。可以说分形始于前者，而后者将其提高到了分形几何的高度。芒德布罗在其著作中总结了一系列在19 世纪后期与20 世纪初曾困惑大量数学家的病态曲线或几何体，他将这一类病态几何体命名为“分形”，并指出它们的共同特点是具有结构上的自相似性与无特征尺度，它们满足放大与收缩变换下的不变性，即标度不变性，而它们的维数可以用豪斯多夫维数来表示。进一步，他又将这些几何体与自然界和社会学中的大量现象相联系，如布朗轨迹、流体湍流、不规则的地形地貌、多变的气象记录、动荡的股市和棉花价格的波动等；同时又将传统的数学研究方法与计算机图形学相联系，其最出色的工作就是将朱利亚(G.Julia,1893-1978)和法图(P.L.Fatou,1878-1929)在1918-1920年研究复迭代所生成的各种朱利亚集总结成一个美丽无比的芒德布罗集。这个阶段可称为分形几何的初创阶段，这时的“分形几何”还只是一种引人赞赏的数学图画，它尚未与真实的自然界相联系。转折点发生在1981年DLA模型的诞生，从而开创了“分形”发展的第二个阶段。

从1981年到1987年可称为分形发展的第二阶段，也是它发展的黄金时代。两位美国科学家T.A.Witten 和L.M.Sander 于1981 年在《物理评论快报》上发表了一篇论文，文中介绍了他们在微机上所作的一个模拟实验，即将单个粒子在二维方形点阵上作随机行走, 然后在点阵的中心处进行凝聚，这时在计算机屏幕上奇迹般地出现了在自然界中最为人们所熟知的树枝状斑图，他们把这称为扩散置限凝聚模型，简称为DLA 模型；同时对这些斑图进行的计算表明，它们是具有自相似性的几何体，满足标度不变性，它们的维数是一个普适的常数，其值约等于1.66，因此这类斑图应该是一种分形。这篇论文的发表引起了大量科学家的兴趣, 验证DLA 模型的实验在许多领域像雨后春笋般地涌现。仅仅几年的时间，一连串的实验报道及成果就从各个领域传出，这就奠定了DLA 模型的科学价值，同时也开创了研究“分形生长”的热潮。生长问题本来就是科学界的热门话题，因为它涉及到生命演化、万物生长、物质凝聚和材料断裂等多学科的内容，而它又是一个非线性和非平衡态的进化过程，长期以来在理论上几乎没有什么进展，而“分形”的兴起与发展给这一古老命题带来了一线曙光，因此大批的数学、物理、化学、生物、材料科学和地质等学科的学者们都进入了“分形”的研究领域。他们的进入使“分形”在80 年代中期空前活跃，促使“分形”学科逐步地向深度与广度方向发展。综上所述, 可以看出以新颖的分形概念与传统科学的结合促进了整个学科领域的发展，同时也促进了“分形”自身的发展，这就是分形发展第

二阶段的特征。

从1988 年至今，“分形”进入了它的第三个发展阶段。这是一个深入攻坚与开拓应用的阶段。在这段时间里，分形进一步得到了迅速的发展和应用，目前大量的工作还是以计算机模拟为主。

二、分形图形的计算机实现

随着计算机图形学的蓬勃发展与广泛应用，将分形几何学引入到计算机图形学中，为非规整形状图形的计算机描述和处理提供了有力工具。另一方面分形理论的发展也离不开计算机图形学的支持，一个分形的构造本身是非常抽象的，如果分形图形的表达不借助计算机的帮助是很难让人理解的。借助于计算机图形生成技术，可以用少量数据生成瑰丽的分形图形，这是再高明的画家也无法做到的[5]。

分形图形的生成是多学科多种技术综合应用的结果，研究内容主要包括几个方面：

1.定义分形的方法：这是分形图形生成的核心技术。由分形方法产生的图形，要求利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，要使整个生成的景物呈现出细节无穷回归的性质。而根据所要生成的目标，关键是要找到一个合适的模型来描述对象，再根据所选择的模型选取产生分形图形的方法。

2.分形的度量。“度量”分形的常用方法是利用某种形式的维数，然而维数只是提供了有限信息，现在已引入度量分形的一些其他方法，拨入“却项性”以及“多孔性”被用来描述集合中小尺度“空间”的比例[6]。

3.交互技术。利用计算机实现的分形图形生成系统，必须实现繁琐的数学公式以及复杂的分形理论对用户的透明，做到友好的人机交互，使不太了解复杂的科学理论的人们在计算机上也能通过简单的操作生成较理想的分形图案[7]。

分形几何学的自然性质和分形图形的自相似性，决定了可以利用数学理论描述分形图形的拓扑几何结构。下面介绍几种分形图形生成常用算法。

1、L系统

L系统是生物学家Lindenmayer于1968年从植物形态学角度提出的一套用以描述植物树木的方法开始只着重植物的拓扑结构，即植物组件之间的相邻关系，通过多年研究把几何解释加进描述过程，形成现在的L系统。这个系统的高度简洁性和多级结构为描述植物树木生长和繁殖的形态结构特征，提供了行之有效的理论和方法。L系统不但能描述植物，而且其结构图方法也可以用来测绘各类有规则分形曲线及其他形状。正因为如此，广大的中外学者对运用L系统建模和应用进行了更为深入的研究和拓展。

2、I FS迭代函数系统

迭代函数系统(英文简称IFS)是分形几何学重要分支，它是分形图像中富有生命力并且有广阔应用前景的的领域之一。IFS是M.F.Barmsley于1985年开始研制的一个分