基本不等式(第一课时)教案

课题:§3.4基本不等式2a b ab +≤（第1课时） 杨忠题 2014.4.15 授课类型：新授课
教学目标：
1、知识与技能目标：（1）掌握基本不等式2
a b ab +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义；
（3）能够利用基本不等式求简单的最值。

2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程；
（2）体验数形结合思想。

3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物；
（2）体会多角度探索、解决问题。

教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。

教学难点：利用基本不等式2
a b ab +≤
求最值的前提条件。

教学过程：
一、创设情景，引入新课
1.勾股定理的背景及推导
赵爽弦图
引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。

2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？
引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正
方形EFGH 缩为一个点时，有22
2a b ab +=
（2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
（3）推理证明：作差法
二、讲授新课
1.a b 222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条件？ ab 2
a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。

2.推理证明：作差法
3.(1)探究:(课本P98)
如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。

过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。

引导学生发现：
2
a b +ab 表示半弦长CD,得到ab ≤2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。

(2)ab ,a b 的几何平均数，称2
a b +为正数,a b 的算术平均数。

代数意义：几何平均数不小于算术平均数
三、例题讲解
例1:用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短篱笆是多少？
例2：一段长为36m 的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面
积最大。

最大面积是多少？
设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件
四、课堂练习
1、若 , 求 的最值
2、已知 , 求函数 的最大值.
五、课时小结
1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征
（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义
2.思想方法技巧：（1）数形结合思想
（2）换元法、作差法
两个不等式，两种方法，一种思想
六、作业 10 x y x x >=+0 1 (1)
x y x x <<=-。