【工程力学】FEM-06 平面问题有限元(三角形)
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• 求解修正后的总刚方程，得到节点位移
求解方法一般是根据总刚的特性，选取高斯消去法（高斯循序消去法，三角 分解法，高斯—约当消去法）、迭代法（雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代 法，超松弛迭代法，共轭梯度法）等。
讨论：
直接解法的优点在于对于给定的方程组，一种选定了的直接解法可以在规定 步骤之内完成计算，操作数可以预先计算，方法简单。不足之处在于需要保 存系数矩阵中夹杂在非零元素之中的零元素，因为计算中要使用，因此，增 加了对计算机存储的要求，影响计算效率。同时，不能对解的误差进行检查 和控制。
• 单元的特性分析
在分析连续体问题时，必须对单元中的位移分布进行假设，假定位移是坐标 的某种简单函数，称之为位移函数。位移法有限元采用节点位移作为未知 量，在每一个单元内部用该单元的节点位移插值多项式表示单元内的近似位 移函数，{f}=[N]{ }e 根据所选用的单元位移函数，对单元进行力学特性分析： { }=[B]{ }e；{ }=[D][B]{ }e；{F}e=[k]e{ }e
腰三角形误差较小。
4. 采用三角形单元，应使一个单元的顶点必须同时又是相邻三角形单元的顶 点，而不是处于某一边上的内点。
5. 尽可能使每个内节点同时为六个三角形单元的顶点，且六个角度应相差不 大。
6. 厚度有突变或者材料性质变化的地方，应把突变线当作单元的界线。 7. 划分单元后，要进行统一的单元和节点编号：
位移函数(cont.)
u(x, y) 1 2x 3 y v(x, y) 4 5x 6 y
为了将位移的广义坐标表达式转换为节
f (x, y)
u(x, y) v(x, y)
点的位移值表达式，将三个节点的位移
代入上述位移表达式，
1
u i
1
2 xi
y
v i
4
5 xi
6i
2
u u
j
m
1 1
2xj
3 3
yi
j
迭代法的优点在于不保存系数矩阵中夹杂在非零元素之中的零元素，并且不 对它们进行运算，另外，迭代过程中可以检查解的误差，并可以通过增加迭 代次数来降低误差，直至满足要求，不足在于收敛性。
• 求解应变和应力。
有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
将单元内任一节点 位移通过函数表达
（位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
• 整体分析求得总体刚度矩阵
包含两个方面的内容，一是将各单元的刚度矩阵集合成整体刚度矩阵，二是 将作用于各单元节点上的等效节点力列阵集合成总的载荷列向量。 [K]{ }= {F}
有限单元法求解的基本步骤(cont.)
• 约束处理
总体刚度矩阵此时还是奇异的，不能直接用来求解，需要引入边界条件，修 正后的总刚仍还是对称的，且成为非奇异矩阵。
5
vmj
1 xm y m 6
4
1 xi yi 1 vi
5
1 xj yj
v
6
1 xm y m
v mj
记，
1 xi yi
2 1 xj y j
1 xm ym
三角形ijm的面积
xy
ai
j
j
xm ym
bi
1 yj 1 ym
ci
1 xj 1 xm
i, j, m轮换
位移函数(cont.)
1 2 3
1 2
ai bi ci
2. 节点的安排需要考虑物体所承受的载荷和支撑情况。一般集中力作用点应处 理为节点，物体的铰支点应为节点。面力的起始位置和数值突变的部位应设
置为节点。另外，试验测试部位需布置节点。
3. 三角形单元划分时需注意三个边长不能相差悬殊，根据误差分析，应力和位 移的误差都和单元的最小内角的正弦值成反比，采用等边三角形或者直角等
u u0 0 y
1 u0 4 v0
5
3
2
0
v v0 0 x
这说明线性位移模式完全允许单元作刚体运动。
由几何方程可知，应变为常量，因此满足常应变条件。
位移函数(cont.)
由于选取的位移模式是线性的，在单元公共边界上，
u(s) as b v(s) cs d
显然，ui, uj, vi, vj可以唯一确定上面的参数a, b, c, d。
必须使同一单元三个节点编号尽可能接近；尽可能使单元和节点编号走向相同。
。
结构的离散化(cont.)
y
x
位移函数
单元内的位移函数u(x,y)，v(x,y)用多项式 近似。显然，多项式阶次越高，与真实位 移的近似程度就越好，但是同时会增加计 算的复杂性。如果多项式阶次过低，有可 能不满足单调收敛性的要求，导致计算错 误。要满足单调收敛性，单元的位移模式 就应该是完备的和协调的。 1. 完备性条件 单元的位移函数满足刚体位移和常应变状 态。 2. 协调性条件 单元内部和相邻单元之间边界上位移连 选用简单的位移模式，检查完备性和协调性。续。
aj bj cj
am bm cm
Ni
u
1 2
2 xm
y
vj vm
4
x
y
6j
5j
4
5 xm
y
6
ym
10 0x 0y 10 0x 0y
3 4 5
3m
6
写成矩阵形式
位移函数(cont.)
ui
1 xi yi
1
uj
1 xj yj
2
um
1 xm y m 3
1
1 xi yi 1 ui
2
1 xj yj
uj
3
1 xm y m
um
vi
xi yi
4
v
11 x j y j
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力元较为常见。 边界单元：至少带有两个边界节点的单元； 内部单元：只有一个或者没有边界节点的单元。
结构的离散化(cont.)
1. 划分单元时，必须沿整个求解区域进行。单元的大小和节点的疏密需要根据 求解精度和计算机容量等进行综合考虑。
有限元方法与应用
平面问题有限元
有限单元法求解的基本步骤
• 结构的离散化处理
把任意形状的结构或连续体划分成有限个基本单元的组合，并在单元体的指 定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来，组成单元的集合体，代 替原有的 结构或连续体。单元上所有载荷向节点简化，使弹性体离散后，假 定力可以通过节点由一个单元传递到另外一个单元。
u(x, y) 1 2x 3 y v(x, y) 4 5x 6 y
位移函数(cont.)
单元刚体运动的时候，应变等于零。
u
xx v
yy
v
xy
x
20
60 u y5
30
u(x, y)
1
5
3y
2
v(x, y)
4
5
3x
2
三角形单元绕z轴进行刚体转动，角度为 0
' 0
0y
u'
r sin
0
0x
考虑到v有刚体r 位移co情s 况，
求解方法一般是根据总刚的特性，选取高斯消去法（高斯循序消去法，三角 分解法，高斯—约当消去法）、迭代法（雅可比迭代法，高斯—赛德尔迭代 法，超松弛迭代法，共轭梯度法）等。
讨论：
直接解法的优点在于对于给定的方程组，一种选定了的直接解法可以在规定 步骤之内完成计算，操作数可以预先计算，方法简单。不足之处在于需要保 存系数矩阵中夹杂在非零元素之中的零元素，因为计算中要使用，因此，增 加了对计算机存储的要求，影响计算效率。同时，不能对解的误差进行检查 和控制。
• 单元的特性分析
在分析连续体问题时，必须对单元中的位移分布进行假设，假定位移是坐标 的某种简单函数，称之为位移函数。位移法有限元采用节点位移作为未知 量，在每一个单元内部用该单元的节点位移插值多项式表示单元内的近似位 移函数，{f}=[N]{ }e 根据所选用的单元位移函数，对单元进行力学特性分析： { }=[B]{ }e；{ }=[D][B]{ }e；{F}e=[k]e{ }e
腰三角形误差较小。
4. 采用三角形单元，应使一个单元的顶点必须同时又是相邻三角形单元的顶 点，而不是处于某一边上的内点。
5. 尽可能使每个内节点同时为六个三角形单元的顶点，且六个角度应相差不 大。
6. 厚度有突变或者材料性质变化的地方，应把突变线当作单元的界线。 7. 划分单元后，要进行统一的单元和节点编号：
位移函数(cont.)
u(x, y) 1 2x 3 y v(x, y) 4 5x 6 y
为了将位移的广义坐标表达式转换为节
f (x, y)
u(x, y) v(x, y)
点的位移值表达式，将三个节点的位移
代入上述位移表达式，
1
u i
1
2 xi
y
v i
4
5 xi
6i
2
u u
j
m
1 1
2xj
3 3
yi
j
迭代法的优点在于不保存系数矩阵中夹杂在非零元素之中的零元素，并且不 对它们进行运算，另外，迭代过程中可以检查解的误差，并可以通过增加迭 代次数来降低误差，直至满足要求，不足在于收敛性。
• 求解应变和应力。
有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
将单元内任一节点 位移通过函数表达
（位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
• 整体分析求得总体刚度矩阵
包含两个方面的内容，一是将各单元的刚度矩阵集合成整体刚度矩阵，二是 将作用于各单元节点上的等效节点力列阵集合成总的载荷列向量。 [K]{ }= {F}
有限单元法求解的基本步骤(cont.)
• 约束处理
总体刚度矩阵此时还是奇异的，不能直接用来求解，需要引入边界条件，修 正后的总刚仍还是对称的，且成为非奇异矩阵。
5
vmj
1 xm y m 6
4
1 xi yi 1 vi
5
1 xj yj
v
6
1 xm y m
v mj
记，
1 xi yi
2 1 xj y j
1 xm ym
三角形ijm的面积
xy
ai
j
j
xm ym
bi
1 yj 1 ym
ci
1 xj 1 xm
i, j, m轮换
位移函数(cont.)
1 2 3
1 2
ai bi ci
2. 节点的安排需要考虑物体所承受的载荷和支撑情况。一般集中力作用点应处 理为节点，物体的铰支点应为节点。面力的起始位置和数值突变的部位应设
置为节点。另外，试验测试部位需布置节点。
3. 三角形单元划分时需注意三个边长不能相差悬殊，根据误差分析，应力和位 移的误差都和单元的最小内角的正弦值成反比，采用等边三角形或者直角等
u u0 0 y
1 u0 4 v0
5
3
2
0
v v0 0 x
这说明线性位移模式完全允许单元作刚体运动。
由几何方程可知，应变为常量，因此满足常应变条件。
位移函数(cont.)
由于选取的位移模式是线性的，在单元公共边界上，
u(s) as b v(s) cs d
显然，ui, uj, vi, vj可以唯一确定上面的参数a, b, c, d。
必须使同一单元三个节点编号尽可能接近；尽可能使单元和节点编号走向相同。
。
结构的离散化(cont.)
y
x
位移函数
单元内的位移函数u(x,y)，v(x,y)用多项式 近似。显然，多项式阶次越高，与真实位 移的近似程度就越好，但是同时会增加计 算的复杂性。如果多项式阶次过低，有可 能不满足单调收敛性的要求，导致计算错 误。要满足单调收敛性，单元的位移模式 就应该是完备的和协调的。 1. 完备性条件 单元的位移函数满足刚体位移和常应变状 态。 2. 协调性条件 单元内部和相邻单元之间边界上位移连 选用简单的位移模式，检查完备性和协调性。续。
aj bj cj
am bm cm
Ni
u
1 2
2 xm
y
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4
x
y
6j
5j
4
5 xm
y
6
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10 0x 0y 10 0x 0y
3 4 5
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6
写成矩阵形式
位移函数(cont.)
ui
1 xi yi
1
uj
1 xj yj
2
um
1 xm y m 3
1
1 xi yi 1 ui
2
1 xj yj
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3
1 xm y m
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4
v
11 x j y j
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力元较为常见。 边界单元：至少带有两个边界节点的单元； 内部单元：只有一个或者没有边界节点的单元。
结构的离散化(cont.)
1. 划分单元时，必须沿整个求解区域进行。单元的大小和节点的疏密需要根据 求解精度和计算机容量等进行综合考虑。
有限元方法与应用
平面问题有限元
有限单元法求解的基本步骤
• 结构的离散化处理
把任意形状的结构或连续体划分成有限个基本单元的组合，并在单元体的指 定点设置节点，把相邻的单元体在节点处连接起来，组成单元的集合体，代 替原有的 结构或连续体。单元上所有载荷向节点简化，使弹性体离散后，假 定力可以通过节点由一个单元传递到另外一个单元。
u(x, y) 1 2x 3 y v(x, y) 4 5x 6 y
位移函数(cont.)
单元刚体运动的时候，应变等于零。
u
xx v
yy
v
xy
x
20
60 u y5
30
u(x, y)
1
5
3y
2
v(x, y)
4
5
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2
三角形单元绕z轴进行刚体转动，角度为 0
' 0
0y
u'
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0
0x
考虑到v有刚体r 位移co情s 况，