数与式-第1讲：实数

<一>比较大小的基本方法与技巧：

（1）作差法：设a b ，为两个实数，则 000a b a b

a b a b a b a b

->⇔>-=⇔=-<⇔<

（2）作商法：作商法用于同号的两数比较大小，用商与1去比较大小．

（3）平方法：无理数比较大小时，可以采用平方法将无理数变成有理数再进行比较．

（4）估算法：设a b ，为两个正实数，先估算出a b ，两数或两数某部分的取值范围，再进行比较。

（5）倒数法：设a b ，

为两个正实数，先分别求出a b ，的倒数，则

【方法技巧】

第一节 实数

【知识梳理】

1111a b a b a b a b

<⇔>>⇔< <二>运算注意事项

（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，原括号里各项的符号都要改变．

考点一：正负数的意义

例1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

变式1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）

A ．支出20元

B ．收入20元

C ．支出80元

D ．收入80元

变式2．如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）

A ．亏损3%

B ．亏损8%

C ．盈利2%

D ．少赚3%

考点二：倒数、相反数、绝对值

例1．（1）﹣3的相反数是（ ）

A ．3

B ．﹣3

C ．

D ．﹣

（2）﹣2的绝对值是（ ）

A ．﹣2

B ．﹣

C ．

D ．2

（3）﹣3的倒数是（ ）

A ．3

B ．

C ．﹣

D ．﹣3

变式1．（1）﹣|﹣2|的倒数是（ ）

【考点突破】

A．2B．C．D．﹣2

（2）的倒数是．

（3）﹣0.5的相反数是0.5，倒数是﹣2，绝对值是0.5．

例2、同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：

（1）|5﹣（﹣2）|=．

（2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数是．

（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

变式1．（1）阅读下面材料：

点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．

当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；

当A，B两点都不在原点时，

①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；

②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；

③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；

综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|=2，那么x为；

③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．

④当x=时，|x+1|+|x﹣2|=5．

变式2.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为

|AB|=|a﹣b|．

理解：

（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是；

（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是；

应用：

（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范围，最小值为；

（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值3（填写“≥、≤或=”）．

考点三：实数的大小比较

例1．在：0，﹣2，1，这四个数中，最小的数是（）

A．0B．﹣2C．1D．

变式1：在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（）

A．﹣2B．0C．﹣D．

例2、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（）

A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a

例3、下面实数比较大小正确的是（）

A．3＞7B．C．0＜﹣2D．22＜3

变式1：比较大小关系：32．

考点四：科学记数法与近似数

例1、今年参观“12•12”海口冬交会的总人数约为589000人，将589000用科学记数法表示为（）A．58.9×104B．5.89×105C．5.89×104D．0.589×106

变式1：2016年10月16日上午7：45南京马拉松正式开跑，约21000名中外运动爱好者参加了此次活动．21000用科学记数法可表示为（）

A．0.21×105B．0.21×104C．2.1×104D．2.1×103

例2、肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（）

A．0.7×10﹣3B．7×10﹣3C．7×10﹣4D．7×10﹣5

变式1：世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花