【优质课件】新北师大版数学九年级下册《二次函数的应用》优秀课件.ppt

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北师大初中数学九下2.4二次函数的应用PPT课件1

议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
y 100 x600 பைடு நூலகம்5x 5x2 100x 60000 5x 102 60500.
2.利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.? 3.增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
X/棵 1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
1 3
14
Y/个
？你能根据表格中的数据作出猜想吗
做一做
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
北师大版九年级（下）
4 二次函数的应用（2）
想一想
何时获得最大利润
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元. 根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
若你是商店经理,你需要多长时间定出这个销售单价?

北师大版九年级数学下册 (二次函数的应用)二次函数课件(第1课时)

y 1 x2 2
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
练一练
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇
窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
练一练
课堂练习
D
B
课堂练习
3.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝___1_5__0___m时，矩形土地ABCD的面积最大．
课堂练习
课堂练习
解：（2）由题意得：船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米. ∵1.75＜3 ∴船的速度不变，它能安全通过此桥.
课堂小结
转化
实际问题
回归
（实物中的抛物线形问题）
数学模型（二次函数的图象和性质）
几何面积最值问题
一个关键
依据
常见几何图形的面积公式
课堂练习
6.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式; （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时.桥下水位正好在AB处.之后水位每小时上涨0.25m.当水位达到CD处时.将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥?

2.4 二次函数的应用第1课时课件(共14张PPT) 初中数学北师版九年级下册

问题4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
不正确.
问题5.如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 建：分析题目，建立二次函数模型，求出函数解析式； 2. 求：求出自变量的取值范围； 3. 最：配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4. 检：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自
设垂直于墙的边长为x m,则另一边为（60-2x） m
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题3.面积S的函数关系式是什么？
x
x
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
60-2x
问题4.如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5.如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题解决：
s
解:根据题意得 S=l(30-l),
即 S=-l 2+30l (0<l<30).

北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)

随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为 6元才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为 9元时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值．当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得的最大利润为_6_2_5_元．

北师大版九年级数学下册课件：二次函数的应用

2=a b c，
1=4a 2b c，
a 1，
解得
b=2，
c=1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
知3－讲
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
例3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)求这条抛物线的解析式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3) 代入得3=a(0-4)2-1,解得a= 1 ， ∴这条抛物线的解析
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
知4－讲
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， ∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，即y＝－x2＋4x－3. ∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， ∴顶点坐标为(2，1)．
B
N
2.y
xb
x
4 3
x
40
3
4 3
x2
40x3 x 202 ຫໍສະໝຸດ 300.4做一做2
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下
半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线
的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最
多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
y＝ax2＋c
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c

北师大版九年级下册数学《二次函数的应用》二次函数PPT教学课件(第2课时)

第二章二次函数
二次函数的应用
第1课时
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-20-
知识点1 利用二次函数求图形面积问题
1.已知一个直角三角形的两条直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为
( B )
A.25 cm2
B.50 cm2
C.100 cm2
D.不确定
的取值范围
=-20（x-2.5）²+6 125（0＜x＜20）
∴x=2.5时，y
=6 125.
课堂总结
最大利
润问题
建立函数
关系式
总利润=单件利润×销售量或
总销量=总售价-总成本.
确定自变
量的取值
范
围
涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大
利
润
利用配方法或公式求最大值
或利用函数简图和性质求出.
25
2
9.羽毛球比赛中,羽毛球的某次运动路线可看作是一条抛物线.若不考虑外力因素,羽毛
2 2 8 10
y=x + x+ ,则羽毛球飞出的水平
球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式
9
9
9
距离为 5 米.
第二章
第1课时
几何图形问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-26-
10.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间
化简得：
。
13 - x
(5000
500)件
。
0.1
13 x

北师版九年级数学下册第2章教学课件：2.4二次函数的应用 (共15张PPT)

怎么解这个问题？
步感受了数学建模思想和数学知识的
应用价值．
四、强化训练
1. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时, 养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?
xm
ym2
xm
2m
四、强化训练
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
4
D
C
30m
bm
2y xb x 3 x 30 3 x2 30x ┐
N
4
4
3 x 202 300.
A xm B
40m
4
或用公式 :当x b 2a
20时, y最大值
4ac b2 4a
300.
一、新课引入个矩形 ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

《二次函数的应用》二次函数PPT教学课件(第1课时)

A
1.25米 O
当堂练习
y B
解：建立如图坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水处与x轴交于C点.
A 1.25
由题意可知A（ 0，1.25）、
O
Cx
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1；
∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.
当堂练习
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. (2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
当堂练习
5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
∴当x=2时，y取最小值，最小值为-9;
(2)∵a=-1＜0，对称轴为x=
-
3 2
,顶点坐标为（ -
3 2
，25
4
）,
∴当x=
-3 2
时，y取最大值，最大值为
25 4
;
讲授新课
例2 已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，
则a的值为( C )
A．3
B．－1
C．4
D．4或－1
解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，

二次函数的应用ppt课件

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

2.1 二次函数课件(共32张PPT) 北师大版数学九年级下册

D
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；（2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

2.4二次函数的应用第一课时- 九年级数学下册课件(北师大版)

2
∴当x＝15时，y最大＝－12 ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC 边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
总结
本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．
1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
x (m)之间的函数关系式． (2)当BC 边的长为多少时，养殖场的
面积最大？最大面积是多少？
导引：由BC 边的长和栅栏的总长可以表示出AB 的长，故可求养殖场的面积y 与BC 边的长x 的函数关系式，再由二次
函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的最大面积．
解：(1)由题意得，AB＝ 38 2 x m，
解：由题意可知，BP＝(12－2t )mm，BQ＝4t mm.
∴S＝
1 2
BP
•
BQ＝
1 2
(12－2t )•4t.
整理，得
S＝－4t 2＋24t，易知0＜t＜6.
∵S＝－4t 2＋24t＝－4(t－3)2＋36，
∴当t＝3时，S 取得最大值，为36.
2
∴y＝x · 38 2 x＝x · 40 x ＝－ 1 x 2＋20x.
2
2
2
0 x≤15,
由题意知
40 2
x
0,
∴0＜x≤15.
∴y＝－ 1
2
x
2＋20x，其中0＜x
≤15.
(2)y＝－1 x 2＋20x＝－ 1 (x 2－40x )
2
2
＝－1 (x－20)2＋200.
2
∵a＝－ 1 ＜0，0＜x≤15，∴y 随x 的增大而增大．

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【解析】（1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x． x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105，
∴(20)2 4 1 105 0,
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
4
窗户面积S 2xy x2 2x(15 7x x ) x2
2
4
2
7 x2 15 x 7 (x 15)2 225 .
22
2 14 56
或用公式 :当x

b 2a

15 14
1.07时,s最大值

4a b2 4a

225 56

4.02.
8
化成顶点式:y 1 x 42 2.
8
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.
⑶由y 12 ，及 y 8x x2 得关于x的方程:
m
m
x 2 8 x 1 2 0 ，得 x1 2，x2 6.
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时,Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，m=CD=BE=6; 当EC=6时, m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
2.如图，阴平中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
则四边形EFGH的最大面积为
.
DG
C
H F
A
EB
2．如图，△ABC中，BC = 4 cm，AC = 2cm，∠C = 60°．在 BC边上有一动点P，过P作PD∥AB交AC于点D，问：点P在何处时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
A D
B
P
C
“最大面积” 问题解决的基本思路:
1.阅读题目，理解问题. 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. 3.用数量的关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5.检验结果的合理性.
第二章二次函数
第4节二次函数的应用(1)
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值． 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 (小)值． 3. 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
C
那么AD边的长度如何表示？
30m
(2)设矩形的面积为ym2,当
┐
x取何值时,y的值最大？最大值 A
40mB
N
是多少?
解析：
1设 bm,易得b 3 x 30.
4
2 y xb x( 3 x 30) 3 x2 30x
4
4
3 x 202 300.
当堂达标
1．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8， E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE， EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的
面积为4.02m2.
1．用6米长的木料做成“目”字形的框架，设框架的宽为x米，框架的面积为S平方米，当x = 米时，S最大？S最大=
平方米．
2．如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 1，点E、F、G、H
分别在AB、BC、CD、DA上，设EB = BF = GD = DH = x，
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
布置作业
课本 P47 习题第2题.
失败是坚韧的最后考验.
——俾斯麦
感谢各位老师！
祝：身体健康
万事如意
二次函数的最值求法
二次函数 y a x 2 b x （c a 0 )
①当a>0时, y有最小值＝ 4ac b2 . 4a
②当a<0时, y有最大值＝ 4ac b2 . 4a
【引例】
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其
中AB和AD分别在两直角边上.
M
(1)设矩形的一边AB=xm, D
C
N D 40m
【例题讲解】
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解析：
由4 y 7 x x 15. 得y 15 7x x .
4
或用公式 :当x

b 2a

20时, y最大值

4ac b2 4a

300.
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩ABCD，
其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
M
（1）设矩形的一边BC=xm， B
那么AB边的长度如何表示？ 30 A m
（2）设矩形的面积为y m2，
O
当x取何值，y的最大值是多少?
m
【解析】 ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴
BF CE

BE CD
，∴
y x

8 x m
.
即 y 8x x2 . m
⑵当m=8时，y 8x x2 ,