【优质课件】新北师大版数学九年级下册《二次函数的应用》优秀课件.ppt

当堂达标
1．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8， E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE， EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y 12 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
第二章 二次函数
第4节 二次函数的应用(1)
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获 得利用数学方法解决实际问 题的经验，并进一步感受数学 模型思想和数学知识的应用价值． 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函 数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大 (小)值． 3. 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用 价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
8
化成顶点式:y 1 x 42 2.
8
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.
⑶由y 12 ，及 y 8x x2 得关于x的方程:
m
m
x 2 8 x 1 2 0 ，得 x1 2，x2 6.
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时,Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，m=CD=BE=6; 当EC=6时, m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
2.如图，阴平中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆 围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其 余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y． （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
m
【解析】 ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°， 又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴
BF CE

BE CD
，∴
y x

8 x m
.
即 y 8x x2 . m
⑵当m=8时，y 8x x2 ,
【解析】 （1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x． x的取值范围是0< x <20． （2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0． ∵ a=1，b=-20，c=105，
∴(20)2 4 1 105 0,
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
4
或用公式 :当x


b 2a

20时, y最大值

4ac b2 4a

300.
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩ABCD，
其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．
M
（1）设矩形的一边BC=xm， B
那么AB边的长度如何表示？ 30 A m
（2）设矩形的面积为y m2，
O
当x取何值，y的最大值是多少?
二次函数的最值求法
二 次 函 数 y a x 2 b x （c a 0 )
①当a>0时, y有最小值＝ 4ac b2 . 4a
②当a<0时, y有最大值＝ 4ac b2 . 4a
【引例】
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其
中AB和AD分别在两直角边上.
M
(1)设矩形的一边AB=xm, D
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的
面积为4.02m2.
1．用6米长的木料做成“目”字形的框架，设框架的宽为x米， 框架的面积为S平方米，当x = 米时，S最大？S最大=
平方米．
2．如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 1，点E、F、G、H
分别在AB、BC、CD、DA上，设EB = BF = GD = DH = x，
则四边形EFGH的最大面积为
.
DG
C
H F
A
EB
2．如图，△ABC中，BC = 4 cm，AC = 2cm，∠C = 60°．在 BC边上有一动点P，过P作PD∥AB交AC于点D，问：点P在何 处时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
A D
B
P
C
“最大面积” 问题解决的基本思路:
1.阅读题目，理解问题. 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. 3.用数量的关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值. 5.检验结果的合理性.
C
那么AD边的长度如何表示？
30m
(2)设矩形的面积为ym2,当
┐
x取何值时,y的值最大？最大值 A
40mB
N
是多少?
解析：
1设 bm,易得b 3 x 30.
4
2 y xb x( 3 x 30) 3 x2 30x
4
4
3 x 202 300.
4
窗户面积S 2xy x2 2x(15 7x x ) x2
2
4
2
7 x2 15 x 7 (x 15)2 225 .
22
2 14 56
或用公式 :当x
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b 2a

15 14
1.07时,s最大值

4a b2 4a

225 56

4.02.
C
N D 40m
【例题讲解】
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑 线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光 线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多 少?
解析：
由4 y 7 x x 15. 得y 15 7x x .
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将 所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用 顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑 其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
布置作业
课本 P47 习题 第2题.
失败是坚韧的最后考验.
——俾斯麦
感谢各位老师！
祝： 身体健康
万事如意