金融风险分析
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或 (RP)=4.97%
2、投资组合收益的均值和风险的关系：
例： X的百分比 Y的百分比 组合的期望收益 组合的方差
100
0
75
25
10.0% 9.5
8.72% 6.18
50
50
9.0
4.97
25
75
8.5
5.96
0
100
8.0
8.41
E(RP)
虚线部分表示， 允许卖空时，
有效边界线。 比如：卖空Y 的比例为50%， 那么在X上的 投资比例为 150%。此时
资本市场线方程
E(RP )
Rf
E(Rm ) Rf
(Rm )
(RP )
Rf ::the risk-free rate 常被视为等待报酬（或时间的价格）
dE(RP ) E(Rm ) Rf
d (RP ) (Rm )
是承受每一单位风险的报酬，代表风险的市场均衡价 格，对每一投资者都一样，而不管其对风险-收益的 偏好差异。
第二讲 均值-方差模型
A. 单个资产风险和收益的测量
在确定性情形下，对给定财富期末目标W，证券的
收益率为R，投资策略可以由下式得到
I (1 R)1W，这是因为 W (1 R)I 但实际世界里，这种情形几乎没有，即便是短期不
违约债券。
1、收益测量
通常用期望（均值）方法：E
(
X~
)
N
pi
X
i
i 1
9.5
E(RP)=7%
9.0
(RP)=14.64%
8.5
8.0 2 3 4 5
78
(RP)
3、相关系数
rxy
Cov( X ,Y )
x y
一般，1xy -1。当X与Y完全相关，则 Y=a+bX，
xy=1（b>0)，xy=-1（b<0)
Y
Y
X
正完全相关
X
负完全相关
4、最小方差投资组合
令b=1-a代入方差公式
Var(Rp
)
a2
2 x
2a(1
a)rxy
x
y
(1
a)2
2 y
dVar(Rp ) a
0
a*
2 x
2 y
rxy
xΒιβλιοθήκη Baidu
y
2rxy x y
2 y
例：仍然以例A为例。利用上面公式容易计算得到
a* 0.487
E（Rp） 8.974%
p 4.956%
N+1维资产 的最小方差机会集
设N种风险资产，X1,…Xn，期望收益E(Ri),i=1,2,…n；标准差
两资金（资产组合）分离定理 ：
Two-fund separation
资本市场线 CML
• CML：表示了有效证券组合风险与收益之间的
线性关系，如果投资者具有相同的预期，即对 每一种证券有相同的期望收益和方差，则他们 都具有相同的线性有效集。
• 有效前沿射线上每一点都表示由市场证券组合
（M）和无风险借或贷综合计算出来的收益率 与风险的集合，此直线过（0，Rf )点和M点。
例：某支证券期初价格25,
其末价格分布情况如表， 该支证券的期望价格为
Pt=概率 0.1 0.2
0.4
0.2
E(P) piPi
0.1
0.1 20 0.2 22.5 0.4 25 0.2 30 0.1 40
26.50
期望收益率为 E(X~) E(P~) P0 6% P0
期末价格 20.00 22.50 25.00 30.00 40.00
i,i=1,•2,…投n资。无于风n种险资风产险的资收产益的为投Rf，资标比准例差为为0。
W w1, w2,wn
R [E(R1), E(R2 ),E(Rn )] • 则无风险资产的投资比例为：
1 W 1
•
方差—协方差矩阵为：
2 1
21
12
2 2
1n 2n
n1
n2
2 nn
~ E(Rp ) ~ E(Rm )
Rf
CML M ¡¤
(Rm )
Figure The capital market line.
~
(Rp )
（2）分位数极差：
分位数极差 X 75% X 25% 2
其中X75%、X25%分别表示排序后位于25%和75%位置上 的值。当分布的方差不存在时，常用此种方法。 （3）方差与标准差： Var( X~) E[( X i EX~)2 ]
( X~) Var( X~)
B、投资组合的风险和收益
• 假定：风险证券的收益服从正态分布。 • 即R~N(E(R) ,2)，密度函数
例A：
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 期望 方差 协方差
Xi 11% 9 25 7 -2 10% 0.0076 -0.0024
Yi -3% 15 2 20 6 8% 0.00708
E(RP)=aE(X)+bE(Y)=9%
Var(RP)
=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y) =0.00247
Ri=收益 -20% -10% 0 20% 60%
另外测量收益的方法是：中位数、众数。当收益分布 有扭曲时，中位数方法比均值方法要好。而众数法很 少用到，因为证券的收益是实数，某一个数很少会重复出现。
2、散度（风险）的测量
散度测量的方法有五个：极差、分位数极差、方 差、半方差、平均绝对离差。
（1）极差：最大值与最小值的差。
f (R)
1
1 [(R
E
(
R))
/
]2
e2
2
1、两个资产投资组合的均值、方差计算
投资组合：财富的a%投资于资产X、b%投资于Y。组 合的收益和方差为
Rp a X bY , E(Rp ) aE( X ) bE(Y ) Var(Rp ) a2Var( X ) 2abE ( X E( X ))(Y E(Y )) b2Var(Y ) a2Var( X ) 2abCov( X ,Y ) b2Var(Y )
min 1 W 'W 2
s t W ' R 1W '1Rf RP
L
1 W 'W 2
[RP
W ' R
(1W '1)Rf
]
L 0 W
L 0
M：市场证券组合“Market portfolio”
• 市场证券组合：它包含所有市场上存在
的资产种类，各种资产所占的比例和每 种资产的总市值占市场所有资产的总市 值的比例相同。
2、投资组合收益的均值和风险的关系：
例： X的百分比 Y的百分比 组合的期望收益 组合的方差
100
0
75
25
10.0% 9.5
8.72% 6.18
50
50
9.0
4.97
25
75
8.5
5.96
0
100
8.0
8.41
E(RP)
虚线部分表示， 允许卖空时，
有效边界线。 比如：卖空Y 的比例为50%， 那么在X上的 投资比例为 150%。此时
资本市场线方程
E(RP )
Rf
E(Rm ) Rf
(Rm )
(RP )
Rf ::the risk-free rate 常被视为等待报酬（或时间的价格）
dE(RP ) E(Rm ) Rf
d (RP ) (Rm )
是承受每一单位风险的报酬，代表风险的市场均衡价 格，对每一投资者都一样，而不管其对风险-收益的 偏好差异。
第二讲 均值-方差模型
A. 单个资产风险和收益的测量
在确定性情形下，对给定财富期末目标W，证券的
收益率为R，投资策略可以由下式得到
I (1 R)1W，这是因为 W (1 R)I 但实际世界里，这种情形几乎没有，即便是短期不
违约债券。
1、收益测量
通常用期望（均值）方法：E
(
X~
)
N
pi
X
i
i 1
9.5
E(RP)=7%
9.0
(RP)=14.64%
8.5
8.0 2 3 4 5
78
(RP)
3、相关系数
rxy
Cov( X ,Y )
x y
一般，1xy -1。当X与Y完全相关，则 Y=a+bX，
xy=1（b>0)，xy=-1（b<0)
Y
Y
X
正完全相关
X
负完全相关
4、最小方差投资组合
令b=1-a代入方差公式
Var(Rp
)
a2
2 x
2a(1
a)rxy
x
y
(1
a)2
2 y
dVar(Rp ) a
0
a*
2 x
2 y
rxy
xΒιβλιοθήκη Baidu
y
2rxy x y
2 y
例：仍然以例A为例。利用上面公式容易计算得到
a* 0.487
E（Rp） 8.974%
p 4.956%
N+1维资产 的最小方差机会集
设N种风险资产，X1,…Xn，期望收益E(Ri),i=1,2,…n；标准差
两资金（资产组合）分离定理 ：
Two-fund separation
资本市场线 CML
• CML：表示了有效证券组合风险与收益之间的
线性关系，如果投资者具有相同的预期，即对 每一种证券有相同的期望收益和方差，则他们 都具有相同的线性有效集。
• 有效前沿射线上每一点都表示由市场证券组合
（M）和无风险借或贷综合计算出来的收益率 与风险的集合，此直线过（0，Rf )点和M点。
例：某支证券期初价格25,
其末价格分布情况如表， 该支证券的期望价格为
Pt=概率 0.1 0.2
0.4
0.2
E(P) piPi
0.1
0.1 20 0.2 22.5 0.4 25 0.2 30 0.1 40
26.50
期望收益率为 E(X~) E(P~) P0 6% P0
期末价格 20.00 22.50 25.00 30.00 40.00
i,i=1,•2,…投n资。无于风n种险资风产险的资收产益的为投Rf，资标比准例差为为0。
W w1, w2,wn
R [E(R1), E(R2 ),E(Rn )] • 则无风险资产的投资比例为：
1 W 1
•
方差—协方差矩阵为：
2 1
21
12
2 2
1n 2n
n1
n2
2 nn
~ E(Rp ) ~ E(Rm )
Rf
CML M ¡¤
(Rm )
Figure The capital market line.
~
(Rp )
（2）分位数极差：
分位数极差 X 75% X 25% 2
其中X75%、X25%分别表示排序后位于25%和75%位置上 的值。当分布的方差不存在时，常用此种方法。 （3）方差与标准差： Var( X~) E[( X i EX~)2 ]
( X~) Var( X~)
B、投资组合的风险和收益
• 假定：风险证券的收益服从正态分布。 • 即R~N(E(R) ,2)，密度函数
例A：
概率 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 期望 方差 协方差
Xi 11% 9 25 7 -2 10% 0.0076 -0.0024
Yi -3% 15 2 20 6 8% 0.00708
E(RP)=aE(X)+bE(Y)=9%
Var(RP)
=a2Var(X)+b2Var(Y)+2abCov(X,Y) =0.00247
Ri=收益 -20% -10% 0 20% 60%
另外测量收益的方法是：中位数、众数。当收益分布 有扭曲时，中位数方法比均值方法要好。而众数法很 少用到，因为证券的收益是实数，某一个数很少会重复出现。
2、散度（风险）的测量
散度测量的方法有五个：极差、分位数极差、方 差、半方差、平均绝对离差。
（1）极差：最大值与最小值的差。
f (R)
1
1 [(R
E
(
R))
/
]2
e2
2
1、两个资产投资组合的均值、方差计算
投资组合：财富的a%投资于资产X、b%投资于Y。组 合的收益和方差为
Rp a X bY , E(Rp ) aE( X ) bE(Y ) Var(Rp ) a2Var( X ) 2abE ( X E( X ))(Y E(Y )) b2Var(Y ) a2Var( X ) 2abCov( X ,Y ) b2Var(Y )
min 1 W 'W 2
s t W ' R 1W '1Rf RP
L
1 W 'W 2
[RP
W ' R
(1W '1)Rf
]
L 0 W
L 0
M：市场证券组合“Market portfolio”
• 市场证券组合：它包含所有市场上存在
的资产种类，各种资产所占的比例和每 种资产的总市值占市场所有资产的总市 值的比例相同。