大一第一学期期末高数试卷复习

广东技术师范学院期末考试试卷A 卷

参考答案及评分标准 高等数学(上)

一、填空题(每小题3分，共30分)

1. 如果函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域为],1[e ．(3分) 2．已知2)0('

=f ，而且0)0(=f ，则=→x x f x )

2(lim

4 ．(3分)

3．已知22lim e x x kx

x =⎪

⎭⎫

⎝⎛+∞→，则=k 1 ．(3分)

4．曲线x x y ln =在点)0,1(处的切线方程是 1-=x y ．(3分)

5．函数

653

)(2+--=

x x x x f 的间断点个数为 2 ．(3分)

6．如果⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)

1ln(0

,0,

sin )(x x x x k x x x

x f 在0=x 处连续，则=k 1 ．(3分)

7．函数x

e x

f 2)(=的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林展式为：(3分)

)

10()!1(2!2221)(112

<<++++++=++θθn x n n n x n e x n x x x f ．

8．函数)0,,()(2

≠++=p r q p r qx px x f 是常数，且，则)(x f 在区间],[b a 上满

足拉格朗日中值公式的ξ=2b

a +．(3分)

9．定积分()dx

x x x 10

1

1sin ⎰-+的值为61．(3分)

10．设⎰

+=C

x F dx x f )()(，则⎰

--dx e f e

x x

)(=C

e F x +--)(．(3分)

二．计算题(要求有计算过程，每小题5分，共40分)

11．求极限113lim

21

-+--→x x x x ．(5分)

解：)13)(1()

13)(13(lim 113lim 2121

++--++-+--=-+--→→x x x x x x x x x x x x ---------(3

分)

42

)

13)(1(2lim

1-

=++-+-=→x x x x ----------------------------------(5分)

12.求极限 n n n 2sin

2lim π

∞

→．(5分)

解：π

ππ

π

π

=⋅=∞

→∞

→n

n n n

n

n 22sin lim

2

sin

2lim ----------------------------(5分)

13．求极限4

20sin 1lim

2x tdt t x x ⎰

+→(5分)

解

：

21

sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim

2

24032404

20

2=+=⋅+=+→→→⎰x x x x x x x x tdt t x x x x -------(5

分)

14．设x

e y arctan =，求dy ．(5分)

解

：

)(arctan arctan arctan x d e de dy x x

==-----------------------------------(2分)

dx x x e x d x e

x

x

)1(211arctan arctan +=+=-------------------------------

---(5分)

15．求由方程y

x e xy +=所确定的隐函数的导数dx dy

．(5分) 解：方程两边求关于x 的导数

)

()(dx dy x y xy dx

d +=； )1(dx dy

e e x d y x y x +=++-------------(3分) 所以有

)(dx dy x y +=)

1(dx dy e y x ++ 解得 )1()1(y x x y xy x y xy e

x y e dx dy y

x y x --=--=--=++------------------------(5分)

16．求由参数方程 ⎩⎨⎧==-t t

e y e x 23 所确定的函数的二阶导数2

2dx y d ．(5分)

解：

t t

t t t dt

dx dt dy

e

e e e e dx dy 2''3232)3()2(-=-===-------------------------------(2分)

t t t

t t e e e

e e dt dx dx dy dt d dx dy dx d dx y d 32''22294334)3()32(=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎭⎫ ⎝⎛=----------(5分)

17．求不定积分⎰++dx x x x 23

21)(arctan ．(5分)

解：⎰⎰⎰+++=++dx x x dx x x dx x x x 23

222321)(arctan 11)(arctan ----------------(1

分)

=x d x dx x arctan )(arctan )111(32⎰⎰++----------------------------------(3分)

=C

x x x ++-4)(arctan 41

arctan -----------------------------------------------(5分)

18．求定积分dx

e

x ⎰

+1

1

．(5分)

解：令

2,1;1,0,2,1,12=====-==+t x t x tdt dx t x t x -----(1

分)

⎰⎰⎰

==+2

1

21

1

1

22dt

te tdt e dx e

t t x ------------------------------

--------(2分)

2

212

21

2

1)12(2)|2(2)|(2e

e e e

dt e te t t

t

-=--=-=⎰--------(5分)

三．综合题(6分+10分=16分)

19．讨论广义积分dx

x x p ⎰

+∞

2

)(ln 1

的敛散性．(6分)

解

：

dx x x dx x x b p b p ⎰⎰

+∞→+∞

=22

)(ln 1

lim )(ln 1---------------------------------(1分)

当1=p 时

2ln ln ln ln ln ln ln ln 1)(ln 1)

(ln 12222

-====⎰⎰⎰

b x x d x dx x x dx x x b

b b b

p