解析几何大题的解题技巧

解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）。

一、设点或直线

做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为（x1, y1），（x2, y2）,等。对于椭圆上的唯一的动，还可以设为，在抛物线上的点，也可以设为。还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于一条直线，如果过定点(x0, y0)并且不与y轴平行，可以设点斜式y - y0 = k (x - x0)，如果不与x轴平行，可以设x - x0 = m(y - y0)（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同），如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程x = x0 + tcosa，y = y0 + tsina，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y = kx + m或x = my + n。（注意：y = kx + m不表示平行于y轴的直线，x = my + n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为x - x0 = m(y – y0)或x =my + n联立起来更方便。

二、转化条件

有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。

1、向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0）、平行四边形

2、斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1

（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）

3、几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）

有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。

三、代数运算

转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。

1、求弦长

解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式，设参数方程时，弦长公式可以简化为

2、求面积

解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为（x1, y1）和（x2, y2），AB与x轴交于D，则

(d是点O到AB的距离；第三个公式教材上没有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下)。

如果考试允许使用课外知识的话，直接写

就可以了。

3、分式取值判断

解析几何题目的运算中可能需要求分式的取值范围，所以我这里也总结一下常见的六种类型分式取值范围的求法。设，其中f(x)的次数为m，g(x)的次数为n

4、点差法的使用

在椭圆的题目中还有一种方法叫点差法，虽然适用范围不大，但是能用点差法做的题目用点差法真的会比常规方法简单不少。这类题目一般都会涉及到弦的中点，做题时

一定不要忘了点差法的存在。

设椭圆上两个点的坐标，将两点在椭圆上的方程相减，整理即可得到这两点的中点的横纵坐标与这两点连线的斜率的关系式，或者说得到两点联线斜率与中点与原点连线的斜率积。

因为点差法得到的是斜率关系，所以将点差法与转化斜率关系一起使用效果更佳。（当然前提是这道题得能用斜率转化）为了是大家更好地认识点差法，我单找了一些点差法的例题，希望大家能对点差法有更深的理解

例一

例二

例三

抛物线也有点差法，用抛物线的点差法可以得到抛物线上两点的连线斜率与这两点中点纵坐标的乘积是焦准距，但是用的不多。

四、能力要求

做解析几何的题目，首先对人的耐心与信心是一种考验。在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。使自己的这些能力得到培养必然少不了平时的训练。

五、补充知识

这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容

关于直线：

1、将直线的两点式整理后，可以得到这个方程:

。

如果需要写过（x1, y1）和（x2, y2）两点的直线方程，直接代入这个式子就可以得到，没必要由直线的两点式或点斜式重新化简。至于这两点连线是否与x轴垂直，是否与y 轴垂直都没有关系。

2、直线一般式Ax+By+C=0所表示的直线和向量（A, B）垂直；过定点(x0, y0)的直线的一般式可以由化简得到。一句这两条推论可以直接写出两点的垂直平分线的方程。

3、可能有的老师没仔细讲直线的参数方程，所以我在这里补充一点直线的参数方程的东西，希望对大家解题有帮助。

PS：用直线的参数方程设抛物线的焦点弦并与抛物线联立，可以解出两焦点坐标，而且没有根号！

关于椭圆：

4、椭圆的焦点弦弦长为

（其中α是直线的倾斜角，k是l的斜率）。

5、根据椭圆的第二定义，椭圆上的点到焦点的距离与到同一侧的准线的距离之商等于椭圆的离心率。椭圆的准线是。（如果老师讲过，请无视这一条）下面是推导过程：

上面给出的几个内容大都是教材中没有的，但这不代表这些东西在考场上不能用。比如前两条内容，用的时候稍稍变换一下，老师也不一定知道你是在套结论。如果想用第4条的话，可以装模作样地算算，实际上再套用结论，估计老师也未必能看出来。至于第5个内容，如果老师没讲过，解体又用得着，那就把下面的推导过程抄下来再用。用这些结论，都能或多或少地减小运算量，降低算错的几率。

下面看几道例题。建议大家看解题过程之前最好先自己做一做。

就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！

例1

例2

例3例4例5例6例7例8例9例10例11