数学分析ch10-5用多项式逼近连续函数
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对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε
对一切 x∈[a, b]成立。
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a, b]上任意连续函数 f (x)都可以 用多项式一致逼近。
这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的。
时,
ε ＜ n
k 0
f
k n
C
k n
xk (1
x) nk
f
(x)
对一切 x∈[0, 1]成立。
定理 10.5.1 还可以表述为：设 f 在[a, b]上连续，则它的 Bernstein 多项式序列｛ Bn ( f , x) ｝在[a, b]上一致收敛于 f 。
= 1；
k 0
Bn (t, x) =
n k 0
k n
C
k n
x k (1
x) nk
=
n
x
Ck 1 n1
xk1(1
x)nk
k 1
= x[x(1 x)]Fra Baidu bibliotek1 = x；
Bn (t2, x) =
= n
k 0
k2 n2
C
k n
x k (1
x) nk
n k 1
k n
C
k n
1 1
xk
(1
x) nk
也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立
-
2
-
2M
2
(t
-
s)2 ≤
f (t)
-
f (s)
≤
2M 2 + 2 (t - s)2。
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射 Bn 作用下的像（关于 x 的多项式），注意 f (s)在这里被视为常数，即
Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切 x, s∈[0, 1]，成立
= + n k 2
k
1 n
C
k 1 n1
xk
(1
x) nk
n k 1
1 n
C
k n
1 1
xk
(1
x) nk
=
n
n
1
x
2
n k 2
C
k 2 n2
x k 2 (1
x) nk
+
x n
n
C
k 1 n1
k 1
x k1 (1
x) nk
=
n 1 x2 n
+
x n
=
x2+
x x2 n
。
综合上述三式，考虑函数(t - s)2 在 Bn 映射下的像，注意 s 在这 里被视为常数，得到
Bn ((t-s)2, x) = Bn (t2, x)-2s Bn (t, x) + s2 Bn (1, x)
= x2 + x x2 -2sx + s2 = x x2 + (x-s)2。
n
n
现在证明定理。
由于函数 f 在[0, 1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于
一切 t∈[0, 1]，成立
｜f (t)｜≤ M；
而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε＞0，
存在δ＞0，对一切 t, s ∈[0, 1]，
当｜t - s｜＜δ时，成立
｜f (t) - f (s)｜＜ ;
2
当｜t - s｜≥δ时，成立
｜f (t)
-
f (s)｜≤2M
2M
≤ 2
(t
-
s)2。
§5 用多项式逼近连续函数
定义 10.5.1 设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义，如果存在多项 式序列｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于 f (x)，则称 f (x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。
应用分析语言，“f (x)在[a, b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为：
- - 2M
2 2
x
x2 n
(x
s)2
≤ Bn (f , x)-f (s)
≤ + 2M
2 2
x
x2 n
(x
s)2
，
令 s = x，且注意 x (1-x)≤ 1 , 即得
4
n
k 0
f
k n
Ckn
xk (1
x) nk
f
(x)
≤ + M 。
2 2n 2
取N =
M 2
，当
n＞N
定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x)是闭区间[a, b]
上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε
对一切 x∈[a, b]成立。
n
(3) Bn (1, x) =
C
k n
xk
(1
x) nk
= [x + (1- x)] n
对一切 x∈[a, b]成立。
Weierstrass 首先证明了：闭区间[a, b]上任意连续函数 f (x)都可以 用多项式一致逼近。
这一定理的证法很多，以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的。
时,
ε ＜ n
k 0
f
k n
C
k n
xk (1
x) nk
f
(x)
对一切 x∈[0, 1]成立。
定理 10.5.1 还可以表述为：设 f 在[a, b]上连续，则它的 Bernstein 多项式序列｛ Bn ( f , x) ｝在[a, b]上一致收敛于 f 。
= 1；
k 0
Bn (t, x) =
n k 0
k n
C
k n
x k (1
x) nk
=
n
x
Ck 1 n1
xk1(1
x)nk
k 1
= x[x(1 x)]Fra Baidu bibliotek1 = x；
Bn (t2, x) =
= n
k 0
k2 n2
C
k n
x k (1
x) nk
n k 1
k n
C
k n
1 1
xk
(1
x) nk
也就是说，对一切 t, s ∈[0, 1], 成立
-
2
-
2M
2
(t
-
s)2 ≤
f (t)
-
f (s)
≤
2M 2 + 2 (t - s)2。
考虑上式的左端，中间，右端三式（关于 t 的连续函数）在映射 Bn 作用下的像（关于 x 的多项式），注意 f (s)在这里被视为常数，即
Bn (f (s), x) = f (s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切 x, s∈[0, 1]，成立
= + n k 2
k
1 n
C
k 1 n1
xk
(1
x) nk
n k 1
1 n
C
k n
1 1
xk
(1
x) nk
=
n
n
1
x
2
n k 2
C
k 2 n2
x k 2 (1
x) nk
+
x n
n
C
k 1 n1
k 1
x k1 (1
x) nk
=
n 1 x2 n
+
x n
=
x2+
x x2 n
。
综合上述三式，考虑函数(t - s)2 在 Bn 映射下的像，注意 s 在这 里被视为常数，得到
Bn ((t-s)2, x) = Bn (t2, x)-2s Bn (t, x) + s2 Bn (1, x)
= x2 + x x2 -2sx + s2 = x x2 + (x-s)2。
n
n
现在证明定理。
由于函数 f 在[0, 1]上连续，所以必定有界，即存在 M＞0，对于
一切 t∈[0, 1]，成立
｜f (t)｜≤ M；
而根据 Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的ε＞0，
存在δ＞0，对一切 t, s ∈[0, 1]，
当｜t - s｜＜δ时，成立
｜f (t) - f (s)｜＜ ;
2
当｜t - s｜≥δ时，成立
｜f (t)
-
f (s)｜≤2M
2M
≤ 2
(t
-
s)2。
§5 用多项式逼近连续函数
定义 10.5.1 设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义，如果存在多项 式序列｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于 f (x)，则称 f (x)在这闭区间上 可以用多项式一致逼近。
应用分析语言，“f (x)在[a, b]上可以用多项式一致逼近”可等价 表述为：
- - 2M
2 2
x
x2 n
(x
s)2
≤ Bn (f , x)-f (s)
≤ + 2M
2 2
x
x2 n
(x
s)2
，
令 s = x，且注意 x (1-x)≤ 1 , 即得
4
n
k 0
f
k n
Ckn
xk (1
x) nk
f
(x)
≤ + M 。
2 2n 2
取N =
M 2
，当
n＞N
定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x)是闭区间[a, b]
上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε
对一切 x∈[a, b]成立。
n
(3) Bn (1, x) =
C
k n
xk
(1
x) nk
= [x + (1- x)] n