弹性理论第二讲—张量理论_211207049

换标符号（Kronecker delta）：

对称性
ij ji
xi ij x11 j x2 2 j x3 3 j x j
16
A－ 2
排列符号（置换符号） （ ） erst
1 当r、s、t为正序排列时 erst 1 当r、s、t为正序排列时 0 当r、s、t中两个指标相同时
三对哑标：
eijk erst 6
24
坐标与坐标变换
一.坐标线与基矢量
3
P(x1,x x2,x x3)的矢径r为：
r ( x1 , x2 , x3 ) x1e1 x2 e2 x3e3
P
e3 e1
O
r
e2
x2 x3
xi ei
x1
2
坐标线：当 ：当一个坐标任意变化 个坐标任意变化 另两个坐标保持不变时的空间 点的轨迹
a13 a23 a33
a11a22 a33 a21a32 a13 a31a12 a23 a31a22 a13 a21a12 a33 a11a32 a23
erst a1r a2 s a3t erst ar1as 2 at 3
21
A－ 2
二者在矢量运算中的应用
等式成立 推导分量关系
1
25
坐标与坐标变换
一.坐标线与基矢量
3
如果P点移动，则， 矢径随坐标的变化为：
r r r dr dx1 dx2 dx3 x1 x2 x3 r dxi dxi gi xi
e3 e1
1
e2
2
r gi xi
基矢量：矢径对坐标的偏导数。
26
坐标与坐标变换
一.坐标线与基矢量
a b c a c b a b c
a am e m , b b j e j , c ck e k ,
a( (b c) ) (am e m ) (b j e j ck e k )
( am e m ) ( e jks b j ck )e s ( e jks am b j ck )e m e s ( emst e jks am b j ck )e t
e－δ恒等式
23
A－ 2
行列式运算和e－δ恒等式
e－δ恒等式
e ijk e is t js k t k s
ir is it eijk erst jr js jt kr ks kt
jt
如果i＝r：恒等式 二对哑标: eijk erst 2 ir
33
31
x3
32 23
12
13 11
21
22
o
x2
x1
3
§2.1 内力和应力
三 应力张量 三、应力张量
33 31
x3
σ (1) 11e1 12e 2 13e 3 σ ( 2 ) 21e1 22e 2 23e 3
19
eijk ai b j e k
A－ 2

二者在矢量运算中的应用
[ a , b, c ] a b c a b c
三个矢量的混合积： a am e m , b b j e j , c ck e k ,
a b c (am e m ) (b j e j ck e k )
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3
9
附录：指标符号
求和约定 求 约定

定义：如果在表达式的某项中，某指标重复 重复地出现 两次，则表示要把该项 两次 该项在该指标 该指标的取值范围 取值范围内遍历 遍历 求和。 求和
u e
i 1

3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3 ui ei
5
附加内容：张量基础

矩阵运算（自己复习，附录A） 矢量、张量的记法，求和约定 换标符号和置换符号 坐标转换 张量的性质 张量代数 张量微积分
6
附录：指标符号
标量、矢量、张量
定义： 标量：只有大小、没有方向 只有大小、没有方向的物理量

时间，温度，能量，密度 位移、力、 应力张量 应变张量 应力张量，应变张量
哑指标：该重复指标称为哑指标。 自由指标：除哑标外，在表达式或者方程的某项中 非成对出现的其它指标。
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
10
附录：指标符号
求和约定
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
利用哑标简化方 a21 x1 a22 x2 a23 x3 程中的表达式 x2
1 erst ( r s )( s t )(t r ) 2
注：任意两个指标之间是反对称的 注：任意两个指标之间是反对称的。
( r , s , t 1, 2, 3)
17
A－ 2

二者在矢量运算中的应用
e i e j 1 (i j )
三个相互正交的基矢量的性质： 个相 交的基矢量的性质
第一指标表示面元的法线方向，称为面元指标。 第二指标表示应力矢量的分解方向 称为分量指标。 第二指标表示应力矢量的分解方向，称为分量指标。
4
§2.1 内力和应力
33 31
x3
32
23
三 应力张量 三、应力张量
1.正应力与剪应力 应 与 应
x1
13
11
12
21
22
物体内一点处的局部受力情况是一个具有双重 方向性的物 量 其中第 个是面元的方向 方向性的物理量，其中第一个是面元的方向， 用其法矢量表示，第二个是作用在该面元上的 应力矢量的方向。 应力矢量的方向
如何表示？？？
我们在物体内兴趣点周围截出一微单元，该点的 应力状态由各微分面上的应力情况表示。 应力状态由各微分面上的应力情况表示
o
x2
（1）当 i j时，应力分量垂直于面元，称为正应力 （2）当 i j 时，应力分量作用在面元平面内，称 时 应力分量作用在面元平面内 称 为剪应力
2.正向规定
(1)应力所在面的外向法线与坐标轴的正方向一 致时，该面为正面，反之为负面。 （2）正面上与坐标轴同向为正，负面上与坐标 轴反向为正。 轴 向为
利用 标简 利用哑标简 化方程中的 表达式
j1 x j
j 2 x j j 3
f1 0
f2 0
利用自由指标简化方程个数：
x j
f3 0
ji x j
f i 0, (i, j 1,2,3)
12
附录：指标符号
换标

原则1、同时取值的指标必须同名； 独立取值的指标防止重名。
a1i xi x1 a2i xi x2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 x3
利用自由指标简 化方程个数：
a3i xi x3
(i, j 1, 2,3)
x j a ji xi
11
求和约定
11 21 31 f1 0; x1 x2 x3 12 22 32 f 2 0; x1 x2 x3 13 23 33 f 3 0; x1 x2 x3
弹性力学基础及有限元
第二讲 张量理论
作业：B-1, B-3, B-4, B-5
1
§2.1 内力和应力
二 一点应力状态 二、 点应力状态
物体内一点处的局部受力情况——一点应力状态
F
正应力 A截面 B截面 C截面
剪应力
C
F/S
/2
0
0
B A
/2
0
F
2
§2.1 内力和应力
二 一点应力状态 二、 点应力状态
22
a (b c) (emst e jks jk am b j ck )e t
A－ 2
a c b a b c
( am cm )b j e j ( am bm )ck e k
( am cm )bt ( ak bk )ct e t ( mk am ck ) jt b j ( mj am b j ) kt ck et ( mk jt mj kt )am b j ck et emst e jks mk jt mj kt
32
23
12
13
11
x2
21
22
σ ( 3) 31e1 32e 2 33e 3 σ ( i ) σ ij e j
i, j 1, 12 2,3 3
o
x1
11 12 13 ij 21 22 23 32 33 31
O
新、老正交标准化 新 老 交标准化 基应满足：
e2
1' 1
2
ei e j ij
ei e j ij
P点的矢径：
新坐标系： r xie i 老坐标系： r x je j

简化表达式及方程

14
附录：张量
注意：



对同项内出现两次以上的指标遍历求和应 ； 使用求和号； 自由指标在某项内同时出现两次时，应特 别申明。 别申明 换标时应注意遵循换标法则。
15
A－ 2
符号 ij 和 erst
1 i j ij 0 i j i , j 1, 2, , n
( am e m ) ( e jki b j ck )e i ( e jki am b j ck )e m e i ( e jki am b j ck ) mi eijk ai b j ck
20
A－ 2
行列式运算和e－δ恒等式
三阶行列式展开 行 式
aij
a11 a12 a21 a22 a31 a32
ai b j i j ai bi a j b j
两个矢量的点积:

两个矢量的叉积：
a b ai ei b j e j ai b j ei e j eijk ai b j e k
b a b j e j ai ei ai b j e j ei e jik ai b j e k

每个基矢量的模为1； 不同基矢量相互正交；
ei e j = ij

e i e j = 0 (i j )

三个基矢量之间有如下关系：
右手系 ei e j = ek 左手系 e i e j = ek
ei e j = eijk ek
18
A－ 2

二者在矢量运算中的应用
a b ai e i b j e j ai b j e i e j
(a1 x1 a2 x2 a3 x3 )(b1 y1 b2 y2 b3 y3 )
ai xib j y j ai xibi yi

原则2、哑标成对、局部换标； 哑标成对 局部换标 自由指标整体换标。
13
附录：指标符号
益处：

适用范围广

微分 多重求和 哑标可以将许多项缩为一项 自由指标可以将许多方程缩为一个方程

矢量 既有大小、又有方向 矢量： 既有大小、又有方向的物理量 有大 有方向 有方向的物 量


张量：具有多重方向性的物理量

7
附录：指标符号
矢量记法
u3e3
1.实体记法： 实体 法
u
3 i 1
u
u
x3 z
P
2.分解式记法： ui ei 3.分量记法： ui (i 1, 2, 3)
3
g3
u
u
3
空间的每一点处都有 一组基矢量，它们组 成一空间参考架： 成 空间参考架：
2
1
P
e3 e1
O
r
e2
x
2
g1
Байду номын сангаасg2
u
u x
2
u ui gi
3
x
2
1
1
27
坐标与坐标变换
二.坐标变换
3
3' 3
新坐标系：xi 老坐标系：xi
2'
ei ei
r
r0 e3 e1
1
O
r e2 e3
e1
e3 k
u2e2
u1e1
e2 j
e1 i
x1 x
x2 y
8
附录：指标符号
指标符号 指标符
用处：表示一组性质相关的n个量 定义：抽象字母＋抽象指标＝指标符号 例： a , a , , a a (i 1, , n )

1
2
n
i

约定：如果不指明范围， 拉丁指标：i、j、k、…为三维指标； 希腊指标：α、β …为二维指标。