拉格朗日中值定理的证明与应用

拉格朗日中值定理的证明与应用

屈俊1，张锦花2

摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。

关键字:拉格朗日中值定理 证明 应用

三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是《数学分析》中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。

(一)拉格朗日中值定理的证明

拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数(x)f 满足如下条件： (1)在闭区间[a,b]上连续；

(2)在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

拉格朗日中值定理的几何意义：函数()y f x = 在区间[,]a b 上的图形是连续光滑曲线弧

AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB.

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()f x 在闭区间[]a,b ,两端点的函数值相等，即()()f a f b = ，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()f x 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.

证明：

1.1：辅助函数法

目前教材的常见证明方法如下： 作辅助函数

()()

()(x)()(),[,],f b f a x f f a b a x a b b a

ϕ-=--

-∈-

由于函数()f x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，并且有

()()0,a b ϕϕ==

于是由Rolle 定理，至少存在一点(,)a b ξ∈ ，使得'

()0.ϕξ= 对()x ϕ 的表达式求导并令'

()0.ϕξ=整理后便得到

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

1.2行列式

令

()1()()1.()1f a a F x f b b f x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

根据拉格朗日中值定理的条件知，函数()F x 在闭区间[]a,b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且有

''()1()()1(x)10f a a F x f b b f ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

由于()F(a)0,F b == 所以根据罗尔中值定理知，在(,)a b 内至少有一点ξ ，使得'

()0F ξ= ，即

'()1()10()10f a a f b b f ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

根据行列式的性质不难得到

'()1()f(a)00,()10f a a f b b a f ξ⎛⎫ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭

在按照第三列展开该行列式得

'[()()]()()0,f b f a f b a ξ---=

即

'()()

()f b f a f b a

ξ-=

-

证毕

1.3旋转坐标法

分析：做辅助函数'

(x)y sin ()cos ,F x f x θθ==-+ 因为

(b)sin (b)cos ,

()sin ()cos ,

F b f F a a f a θθθθ=-+=-+

由sin ()()

.cos f b f a tg b a

θθθ-=

=- 可得()().F a F b =

经此坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()()

.f b f a tg b a

θ-=

- 由此，构造辅助函数为

()sin ()cos F x x f x θθ=-+

即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。

证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角θ 满足()()

.f b f a tg b a

θ-=

-有坐标轴的旋转公式：

''

cos sin sin cos x x y y x y θθθθ

⎛⎫=+ ⎪=-+⎝⎭

得

'sin ()cos y x f x θθ=-+

作辅助函数'

()sin ()cos ,F x y x f x θθ==-+ 则

(b)sin (b)cos ,F b f θθ=-+ ()sin ()cos ,F a a f a θθ=-+

因为sin ()()

.cos f b f a tg b a

θθθ-=

=-经检验可得()().F a F b =且()F x 满足罗尔中值定理的另外两个条件，

故至少存在一点(,),a b ξ∈ 使得'

'

()sin ()cos 0,F f ξθξθ=-+= 即得'

sin ()()

()cos f b f a f b a

θξθ-=

=

- 1.4区间套法

引理1 若()f x 满足：（1）在[,]a b 上连续，则存在属于[,]a b 的,αβ 使得 (1)()()()()

;(2)2b a f b f a f f b a βαβαβα

----==-- 证明：

设 1

()()()[()()]22b a F x f x f x f b f a -=+

--- 有条件可知F()x 在[,]2

a b

a + 上连续，且

11

()()[()()]()[()()]2222

a b a b F a f a f b f a f f b f a ++=+--=-+

11()()()[()()][()()]()()2222222

a b a b b a a b a b F f f f b f a f b f a f F a ++-++=+---=+-=-

①若 ()0,F a = 则 1

()[()()]22

a b f f b f a +=+