机械制图第二章 正投影基础

d
a
c
a
bc d
对于一般位置 直线，只要有两个同 名投影互相平行，空 间两直线就平行。
AB//CD
例10：判断图中两条直线是否平行。
② 对于投影面平行线，只有
两个同名投影互相平行，空间 直线不一定平行。
求出侧面投影后可知 AB与CD不平行
c
a d
b c
b
da
c a
b d
要用两个投影判断空间两直线是否平行时， 其中应包括反映实长的投影。
采用多面投影，可确定点的空间位置。
二 、 点在两面投影体系中的投影
1、两投影面体系的建立 2 、两投影面体系中点的投影 3、点的两个投影能唯一确定该点的空间位置 4、两面投影图的画法 5、两面投影图的性质
1、两投影面体系的建立
V
X
O
水平投影面 —— H 正面投影面 —— V 投 影 轴 —— OX
2、两投影面体系中点的投影
a
A
Z X
Y
a
点A的水平投影 —— a 点A的正面投影 —— a
4、两面投影图的画法
V
a
z
X
ax
x
O
y
a
a
H
H
5、两面投影图的性质
1) aaxOX 2) a′ax =Aa , aax =Aa′
通常不画出投影面的边界
三 、点的三面投影
投影轴
OX轴 V面与H面的交线
标高投影图
25
20
15
25
20 15
25 20 15
2.2 物体的三视图
1.视图的概念
视图就是将物体向投影
面投射所得的图形。
长
• 主视图 — 体的正面投影 • 俯视图 —体的水平投影 • 左视图 — 体的侧面投影
2.三视图的投影关系
主视俯视长相等且对正 俯视左视宽相等且对应 主视左视高相等且平齐
c
B
或判断已知点是否在直线上。
C
2 定比性 属于线段上的点分割线段 之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
利用这一特性，在不作侧面投影的 情况下，可以在侧平线上找点或判
断已知点是否在侧平线上。
A
ac
b H
定比定理
例6：判断点C是否在线段AB上。
a
b
投 影 特 性：
① 在直线平行的那个投影面上的投影反映实长，并
反映直线与另两投影面的倾角。
② 在另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
ab
A
2、投影面垂直线
ab
z a
b
a
1
正
B
b
X
O
YW
垂
a
线a
b
b
YH
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OX ; ab OZ
五、特殊点的投影
V
b
Bb
a
b
Cc
c
Aa
a c
X
O
b
c
a
H
六 、两点的相对位置
两点的相对位置指两点 在空间的上下、前后、左右 位置关系。
X
判断方法：
a b
a
Z a
b
O
YW
x 坐标大的在左
b
y 坐标大的在前
YH
z 坐标大的在上
B点在A点之
前、之右、之
下。
重影点
空间两点在某一投 影面上的投影重合为 一点时，则称此两点 为该投影面的重影点。
⒉ 两直线相交
V c
a A a
b k
C d
B
KD
d
k c
b H
投影特点
交点K是两 直线的共有
点
b c
k
a
d
a
d
c k
b
若空间两直线相交，则其同名投影必相交,且交 点的投影必须符合点的投影规律。
3. 两直线交叉（异面）
投影特性：
★ 同名投影可能相交，但 H a
“交点”不符合空间点的投 c
a
点A的侧面投 影
Z V
a●
A
●
● a
X
oW
a● H Y
空间点用大写字母表 示，点的投影用小写
字母表示。
空间点在三投影面上的展开
V
Z
a
a
A
a
O
X
O
a
a
H
YH
点A的水平投影 ——a 点A的正面投影 ——a 点A的侧面投影 ——a
W
a
YW
V a
●
A
X ax
●
a●
点的投影规律
Z
a ●
a
Z
a
a
A
a
b

a
b
b

X
O
YW
a
a
a
b
B
b b
YH
投影特性： 1． ab OZ ; ab OYH 2． ab =AB
3．反映 a、 角的真实大小
投影面平行线
水平线
正平线
实长
a b a b
a
a
γ
b α
b
a
β
γ
实长
b
ba
侧平线
a
a 实长
β
b
α b
c 1 (3)4
2
d
b
B
C 13
2 4D O
A
判断重影点 的可见性时， 需要看重影点 在另一投影面 上的投影，坐 标值大的点投 影可见，反之 不可见，不可 见点的投影加 括号表示。
被挡住的投 影加( )
A、B为V面的重影 点
Z
V b(a’)
●
az
X ax
●A
B a●
● a
O
W
a y b’’
Hb
Y
例2：已知各点的两个投影，求其第三投影。
(1)
(2)
a’ b’
a’’ b’’
c’
c’’
a’ b’ c’
a’’ b’’(c’’)
b a(c)
abc
[例题3] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求点A的投影。
az ●a
用圆规直接量 取aaz=aax
通过作45° 线使aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
四、点的直角坐标与三面投影的关系
Z
V
a
az
y
x
a
X
ax A
z
OW
a
ay
Y
1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA
影规律。
c V
★ “交点”是两直线上的一 对重 a
影点的投影，用其可帮助判断两 直线的空间位置。
1(2
)
3 ●
●
●4
2
●
●
●
1
3(4 )
d
b b d
思考：
两直线相交吗？为什么？
例11 判断两直线的相对位置
c
Z
c
b
b
d
a d
a
X
o
a
YW
d
b c
YH
a
X
判断重影点的可见性
宽 高
宽
三等关系
长对正 宽相等 高平齐
3.三视图之间的方位对应关系
上
上
左
右后
前
下
下
后
左
右
前
• 主视图反映：上、下 、左、右 • 俯视图反映：前、后 、左、右 • 左视图反映：上、下 、前、后
2·3 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
a
●
A
●
P
B2
B1
●
B3 ●
●
● b
点在一个投影面上的投影不能确定点的 空间位置。
C
A
O
X
a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置可分为： 两直线平行 两直线相交 两直线交叉（异面）
⒈ 两直线平行
b a
A
V d
B c
C
D
a
c
b
dH
投影特性：
空间两直线平行， 则其各同名投影必相互 平行，反之亦然。
例9：判断图中两条直线是否平行。
① b
直线平行于投影面 投影反映线段实长
ab=AB
直线垂直于投影面 投影重合为一点 ab=0 积聚性
⒉ 各种位置直线的投影特性
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 与其余两投影面倾斜
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
a
AB
|zA-zB |
2）． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB
b

|yA-yB|

AB
ab
|yA-yB|
a
X
ab

b
AB
a
|yA-yB|
|yA-yB|
3）． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
b B b
a

b
A
a
a
|xA-xB|
[例题] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
4、 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角
四、作图
1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角a角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角
例题1
1）． 求直线的实长及对水平投影面的夹角a角
|zA-zB|
a
AB
a
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB| a
ab
①
b
c
a
c
b
a
② a
c●
b
ac b
点C在直 线AB上
点C不在 直线AB上
例7：判断点K是否在线段AB上。
a
a
k● b
●k b
因k不在a b上，
故点K不在AB上。 a
k●
b
还可应用定比定理来解答此题
例8 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
1、投影面平行线
水平线 正平线 侧平线
与H面的夹角:α 与V面的角:β
与W面的夹角: γ
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a

X
O
YW
B
b a
a

b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
a
ab
a
5、各种位置直线的判断:
例3：判断下列直线的位置
a'
b'
a'
b'
a b
b a
例4：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。
a’
a’’
b’
c’
d’
a
b
c（d ）
一般位置
铅垂
b’’
(c’’ )
(d ’’ )
例5： 已知直线AB、AC的两投影，求两直线的 第三投影,并指出其空间位置和反映实长的投影。
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性，积聚 为一个点。
② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的 投影轴。
3、一般位置直线
Z
b
a
b
B b
a
b
a

X
O
Y
a
b
b A
a
a
a
投影特性：1． a b、 a′b′、a b 均不反映实长且Y 小于实长 2． a b、a′b′、a b 均倾斜于投影轴 3．不反映 a 、 、 实角
Z b’’ b’
c’’
a’’
a’
c’
X
0
Yw
c
a
b
YH
AB 是 正平线 线，a ’b ’ 反映 AB 实长； AC 是 水平线 线。ac 反映 AC 实长
二、直线上的点
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各 V
b
个投影必在直线的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，
a
中心投影法
投射线
投影大小 随物体位 置改变
P
P
投射中心、物体、投影面三者之间的相对 距离对投影的大小有影响。
平行投影法
P
P
正投影
斜投影
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好
工程图样多数采用正投影法绘制。
教学楼（透视图）
机械零件—箱体（轴测）
齿轮（轴测）
机械零件图——轴（工程图）
a
a
9
8 a
5
2.4 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的 a●
同名投影用直线连接，就得到直
b
●
线的同名投影。
一、直线的投影特性
a●
⒈ 直线对一个投影面的投影特性 b●
●B
α
A●
●b a●
●B A●
●b a●
●a ● b
A● M● B●
●
a≡b≡m
直线倾斜于投影面 投影比空间线段 ab=AB cos a
a
b
a
b Z
ab
ab
A
B
X
O
YW
a
a
b
投影特性： 1． ab 积聚 成一点
2． ab OYH ; ab OZ 3． ab = ab =AB
b YH
投影面垂直线
铅垂线
a
a
b
b
●
a(b)
正垂线
c(d) d c ●
d c
侧垂线
e f e(f) ●
第二章、正投影法的基础知识
2.1 投影法的基本知识 2.2 物体的三视图 2.3 点的投影 2.4 直线的投影 2.5 平面的投影
基本体与几何要素
棱面
母线
底面
棱线
顶点
轴线
2·1 投影方法的基本知识
画透视图
中心投影法 投影方法
平行投影法
画斜轴测图 斜投影法
正投影法
画工程图样 及正轴测图
投影中心
物体 投影
3． ab = ab =AB
（2）铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
a
Z
a
a
A
b
B a(b)
a
b
b
X
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
（3）侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
az ●a
W O
X ax
ay
a●
H Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
Z az
a
●
O
Y
ay
ay
Y
连影垂轴
② aax= aaz=y=A到V面的距离 aaaaxy==aaaayz==zx==AA到到HW面面的的距离 距离
Y坐标相等
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
a● 解法二:
2． ab=AB
3．反映、 角的真实大小
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
Z
b
b
b

a
B
a
a a
a
a
A
b
X
O
YW
a
b
a
投影特性： 1． ab OX ; a b OZ 2． a b=AB 3． 反映a、角的真实大小
b YH
（3）侧平线—只平行于侧面投影面的直线
V
OY轴 H面与W面的交 线 OZ轴 V面与W面的交 线
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
o
三面体投 影体系
Z
W
H Y
Z
OW
Y
水平投影面 ---- H 正面投影面 ---- V 侧面投影面 ---- W
H∩V ---- OX V ∩W ---- OZ H∩W ---- OY
空间点A在三投影面体系上的投影
a 点A的正面投影
a
点A的水平投 影