江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三年级第三次调研考试数学试题

第Ⅰ卷（共70分）
一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)
1. 已知集合,,则集合中元素的个数为__________．
【答案】5
【解析】由题意可得：错误！未找到引用源。

，即集合错误！未找到引用源。

中元素的个数为5个.
2. 设,，(为虚数单位)，则的值为__________．
【答案】1
【解析】错误！未找到引用源。

，故：错误！未找到引用源。

.
3. 在平面直角坐标系中,双曲线的离心率是__________．
【答案】
4. 现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是__________．
【答案】
【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”，“中”“梦”“国”，
“国”“中”“梦”；“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”；“梦”“国”“中”；共计6种，能组成“中国梦” 的只有1种，概率为错误！未找到引用源。

.
【点睛】本题为古典概型，三个字排列可采用列举法，把所有情况按顺序一、一列举出来，写出基本事件种数，再找出符合要求的基本事件种数，再利用概率公式错误！未找到引用源。

，求出概率值.
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值为__________．
【答案】6
6. 已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是__________．
【答案】 (或5.2)
【解析】错误！未找到引用源。

7. 已知实数，满足则的取值范围是__________．
【答案】(或)
【解析】绘制不等式组表示的平面区域，目标函数错误！未找到引用源。

表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，数形结合可得目标函数的取值范围是错误！未找到引用源。

，写成区间的形式是错误！未找到引用源。

.
点睛：本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
8. 若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是__________．
【答案】(或)
9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和.若，且
，则的值为__________．
【答案】
【解析】解：由题意可得：错误！未找到引用源。

，
结合错误！未找到引用源。

可得：错误！未找到引用源。

.
10. 如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥
的体积为__________．
【答案】
11. 如图，已知正方形的边长为2，平行于轴，顶点，和分别在函数
，和的图象上，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】设错误！未找到引用源。

，则：错误！未找到引用源。

，
故：错误！未找到引用源。

，
即：错误！未找到引用源。

，
由AB=2可得：错误！未找到引用源。

.
12. 已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结
合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

13. 在平面直角坐标系中，圆：.若圆存在以为中点的弦
，且，则实数的取值范围是__________．
【答案】(或)
14. 已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，，当
取得最大值时，的值为__________．
【答案】
第Ⅱ卷（共90分）
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图，在中，已知点在边上，，，，
.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。

【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得错误！未找到引用源。

的值,然后结合两角和差正余弦公式可得错误！未找到引用源。

;
(2)由正弦定理得,错误！未找到引用源。

然后由余弦定理得,错误！未找到引用源。

. 学%
(2)在中,由正弦定理得, .
又,所以.
在中,由余弦定理得,
.
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上（异于点，），平面与棱交于点.
（1）求证：；
（2）若平面平面，求证：.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证得平面．然后利用线面平行的性质证得即可．
(2)由面面垂直的性质有：平面．然后利用线面垂直的定义可得：．
（2）因为是矩形，所以．
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
又平面，所以．
又由（1）知，所以．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方）.
（1）若，求直线的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：
(1)有题意由的坐标为（1,0），设，，直线的方程为，联立直线与椭圆的方程结合题意可得，故直线的方程为．(2) 由（1）知，，，据此可得错误！未找到引用源。

，故存在常数，使得．
（2）由（1）知，，，
所以，
所以，
故存在常数，使得．学*
点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.
2.“目标先行”是一个永远的话题
3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.
18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交（，为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为1，且，设，透光区域的面积为.
（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时，求边的长度.
【答案】（1）关于的函数关系式为，定义域为；
（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．
试题解析：
解:(1) 过点作于点，则，
所以，
．
所以
，
因为，所以，所以定义域为．
所以当时，有最大值，此时
答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；
（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1．
19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为，，，，对任意的
，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）若为等差数列，对任意的，都有.证明：；
（3）若为等比数列，，，求满足的值.
【答案】（1）（2）见解析（3）1和2．
【解析】试题分析：
(1)由递推公式可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列．故的通项公式为
．
(2)由题意，证得错误！未找到引用源。

即可证得结论；据此可得．
且错误！未找到引用源。

，所以．
故满足条件的的值为1和2．
（2）证法一：设数列的公差为，则，
由（1）知，．
因为，所以，即恒成立，
所以即
又由，得，
所以．
所以，得证．
（3）由（1）知，．因为为等比数列，且，，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以，．
则，
因为，所以，所以．
而，所以，即（*）．
当时，（*）式成立；
当时，设，
则，所以．
故满足条件的的值为1和2．
20. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数，.若函数的最小值是，求
的值；
（3）若函数，的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数，为坐标原点，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）1（3）
综上所述，的值为1．
(3)由题意可知函数在上单调增，故．
所以，即在上恒成立，
构造函数：设，设，结合函数的性质可得，的取值范围为．
①当，即时，
函数的最小值，即，解得或（舍），所以；
②当，即时，
函数的最小值，解得（舍）．
综上所述，的值为1．
（3）由题意知，，．
考虑函数，因为在上恒成立，
所以函数在上单调增，故．
所以，即在上恒成立，
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．学%
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21. 选修4-1：几何证明选讲
如图，圆的弦，交于点，且为弧的中点，点在弧上，若
，求的度数.
【答案】45°
【解析】试题分析：连结，，由几何关系可得．
试题解析：
22. 选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，若，求矩阵的特征值.
【答案】，．
【解析】试题分析：首先求得矩阵的特征多项式为错误！未找到引用源。

，
令，解得矩阵的特征值为，．
试题解析：
因为，
所以解得所以．
所以矩阵的特征多项式为，
令，解得矩阵的特征值为，．
23. 选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知点，点在直线：上，当线段最短时，求点的极坐标.
【答案】
【解析】试题分析：由题意首先求得点的直角坐标为（-1,1）．
所以点的极坐标为．
24. 选修4-5：不等式选讲
已知，，为正实数，且，求证：.
【答案】见解析
【解析】试题分析：由题意结合均值不等式证明结论即可，注意等号成立的条件.
试题解析：
因为，所以，
所以，
当且仅当时，取“”．
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式错误！未找到引用源。

，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
25. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值. 【答案】（1）（2）见解析
所以点的轨迹是抛物线．
焦点为，准线为．
所以曲线的方程为．
26. 选修4-5：不等式选讲
已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（视
与为同一组“互斥子集”）.
（1）写出，，的值；
（2）求.
【答案】（1），，．
（2）见解析
【解析】试题分析：
(1)由新定义的知识可得错误！未找到引用源。

；学%
(2) 设集合中有个元素，．
则与集合互斥的非空子集有个．
结合组合数的性质计算可得错误！未找到引用源。

.
试题解析：
解:(1) ，，
．
（2）解法一：设集合中有个元素，．
则与集合互斥的非空子集有个．
于是．
因为，
，
所以．
点睛：(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．。