江苏省苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017届高三年级第三次调研考试数学试题

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第Ⅰ卷(共70分)
一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)
1. 已知集合,,则集合中元素的个数为__________.
【答案】5
【解析】由题意可得:错误!未找到引用源。

,即集合错误!未找到引用源。

中元素的个数为5个.
2. 设,,(为虚数单位),则的值为__________.
【答案】1
【解析】错误!未找到引用源。

,故:错误!未找到引用源。

.
3. 在平面直角坐标系中,双曲线的离心率是__________.
【答案】
4. 现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是__________.
【答案】
【解析】把这三张卡片排序有“中”“国”“梦”,“中”“梦”“国”,
“国”“中”“梦”;“国”“梦”“中”“梦”“中”“国”;“梦”“国”“中”;共计6种,能组成“中国梦” 的只有1种,概率为错误!未找到引用源。

.
【点睛】本题为古典概型,三个字排列可采用列举法,把所有情况按顺序一、一列举出来,写出基本事件种数,再找出符合要求的基本事件种数,再利用概率公式错误!未找到引用源。

,求出概率值.
5. 如图是一个算法的流程图,则输出的的值为__________.
【答案】6
6. 已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是__________.
【答案】 (或5.2)
【解析】错误!未找到引用源。

7. 已知实数,满足则的取值范围是__________.
【答案】(或)
【解析】绘制不等式组表示的平面区域,目标函数错误!未找到引用源。

表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率,数形结合可得目标函数的取值范围是错误!未找到引用源。

,写成区间的形式是错误!未找到引用源。

.
点睛:本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.
解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.
8. 若函数的图象过点,则函数在上的单调减区间是__________.
【答案】(或)
9. 在公比为且各项均为正数的等比数列中,为的前项和.若,且
,则的值为__________.
【答案】
【解析】解:由题意可得:错误!未找到引用源。


结合错误!未找到引用源。

可得:错误!未找到引用源。

.
10. 如图,在正三棱柱中,已知,点在棱上,则三棱锥
的体积为__________.
【答案】
11. 如图,已知正方形的边长为2,平行于轴,顶点,和分别在函数
,和的图象上,则实数的值为__________.
【答案】
【解析】设错误!未找到引用源。

,则:错误!未找到引用源。


故:错误!未找到引用源。


即:错误!未找到引用源。


由AB=2可得:错误!未找到引用源。

.
12. 已知对于任意的,都有,则实数的取值范围是__________.
【答案】(或)
点睛:数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质. 在运用数形结
合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。

13. 在平面直角坐标系中,圆:.若圆存在以为中点的弦
,且,则实数的取值范围是__________.
【答案】(或)
14. 已知三个内角,,的对应边分别为,,,且,,当
取得最大值时,的值为__________.
【答案】
第Ⅱ卷(共90分)
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 如图,在中,已知点在边上,,,,
.
(1)求的值;
(2)求的长.
【答案】(1)错误!未找到引用源。

(2)错误!未找到引用源。

【解析】试题分析:
(1)利用题意首先求得错误!未找到引用源。

的值,然后结合两角和差正余弦公式可得错误!未找到引用源。

;
(2)由正弦定理得,错误!未找到引用源。

然后由余弦定理得,错误!未找到引用源。

. 学%
(2)在中,由正弦定理得, .
又,所以.
在中,由余弦定理得,
.
16. 如图,在四棱锥中,底面是矩形,点在棱上(异于点,),平面与棱交于点.
(1)求证:;
(2)若平面平面,求证:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)利用题意首先证得平面.然后利用线面平行的性质证得即可.
(2)由面面垂直的性质有:平面.然后利用线面垂直的定义可得:.
(2)因为是矩形,所以.
又因为平面平面,平面平面,
平面,所以平面.
又平面,所以.
又由(1)知,所以.
17. 如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆:的左、右顶点分别为,,过右焦点的直线与椭圆交于,两点(点在轴上方).
(1)若,求直线的方程;
(2)设直线,的斜率分别为,,是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)有题意由的坐标为(1,0),设,,直线的方程为,联立直线与椭圆的方程结合题意可得,故直线的方程为.(2) 由(1)知,,,据此可得错误!未找到引用源。

,故存在常数,使得.
(2)由(1)知,,,
所以,
所以,
故存在常数,使得.学*
点睛:1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.
2.“目标先行”是一个永远的话题
3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.
18. 某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(为上切点),与左右两边相交(,为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1,且,设,透光区域的面积为.
(1)求关于的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边的长度.
【答案】(1)关于的函数关系式为,定义域为;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,的长度为1.
试题解析:
解:(1) 过点作于点,则,
所以,

所以

因为,所以,所以定义域为.
所以当时,有最大值,此时
答:(1)关于的函数关系式为,定义域为;
(2)透光区域与矩形窗面的面积比值最大时,的长度为1.
19. 已知两个无穷数列和的前项和分别为,,,,对任意的
,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若为等差数列,对任意的,都有.证明:;
(3)若为等比数列,,,求满足的值.
【答案】(1)(2)见解析(3)1和2.
【解析】试题分析:
(1)由递推公式可得数列是以1为首项,2为公差的等差数列.故的通项公式为

(2)由题意,证得错误!未找到引用源。

即可证得结论;据此可得.
且错误!未找到引用源。

,所以.
故满足条件的的值为1和2.
(2)证法一:设数列的公差为,则,
由(1)知,.
因为,所以,即恒成立,
所以即
又由,得,
所以.
所以,得证.
(3)由(1)知,.因为为等比数列,且,,
所以是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以,.
则,
因为,所以,所以.
而,所以,即(*).
当时,(*)式成立;
当时,设,
则,所以.
故满足条件的的值为1和2.
20. 已知函数,.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)设函数,.若函数的最小值是,求
的值;
(3)若函数,的定义域都是,对于函数的图象上的任意一点,在函数的图象上都存在一点,使得,其中是自然对数的底数,为坐标原点,求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)1(3)
综上所述,的值为1.
(3)由题意可知函数在上单调增,故.
所以,即在上恒成立,
构造函数:设,设,结合函数的性质可得,的取值范围为.
①当,即时,
函数的最小值,即,解得或(舍),所以;
②当,即时,
函数的最小值,解得(舍).
综上所述,的值为1.
(3)由题意知,,.
考虑函数,因为在上恒成立,
所以函数在上单调增,故.
所以,即在上恒成立,
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.学%
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21. 选修4-1:几何证明选讲
如图,圆的弦,交于点,且为弧的中点,点在弧上,若
,求的度数.
【答案】45°
【解析】试题分析:连结,,由几何关系可得.
试题解析:
22. 选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵,若,求矩阵的特征值.
【答案】,.
【解析】试题分析:首先求得矩阵的特征多项式为错误!未找到引用源。


令,解得矩阵的特征值为,.
试题解析:
因为,
所以解得所以.
所以矩阵的特征多项式为,
令,解得矩阵的特征值为,.
23. 选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知点,点在直线:上,当线段最短时,求点的极坐标.
【答案】
【解析】试题分析:由题意首先求得点的直角坐标为(-1,1).
所以点的极坐标为.
24. 选修4-5:不等式选讲
已知,,为正实数,且,求证:.
【答案】见解析
【解析】试题分析:由题意结合均值不等式证明结论即可,注意等号成立的条件.
试题解析:
因为,所以,
所以,
当且仅当时,取“”.
点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.对于公式错误!未找到引用源。

,要弄清它们的作用、使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
25. 选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,点,直线与动直线的交点为,线段的中垂线与动直线的交点为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过动点作曲线的两条切线,切点分别为,,求证:的大小为定值. 【答案】(1)(2)见解析
所以点的轨迹是抛物线.
焦点为,准线为.
所以曲线的方程为.
26. 选修4-5:不等式选讲
已知集合,对于集合的两个非空子集,,若,则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为(视
与为同一组“互斥子集”).
(1)写出,,的值;
(2)求.
【答案】(1),,.
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由新定义的知识可得错误!未找到引用源。

;学%
(2) 设集合中有个元素,.
则与集合互斥的非空子集有个.
结合组合数的性质计算可得错误!未找到引用源。

.
试题解析:
解:(1) ,,

(2)解法一:设集合中有个元素,.
则与集合互斥的非空子集有个.
于是.
因为,

所以.
点睛:(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.
(2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力.。

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