5-1电磁场的矢势和标势

第五章
电磁波的辐射
1-1
本章重点
1、电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性； 2、达朗伯方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
本章难点： 本章难点： 矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 电磁场动量密度张量的引入和意义。 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
1-4
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又反过来 影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布就是在这一对 矛盾相互制约下形成的。变化的电荷电流分布一般具有 边界，因此在求解时要考虑它们的边界条件和边值关系 。但是，一般情况下这种的边界很复杂，使得电荷、电 流分布无法确定，因此使得求解问题无法进行。在本章 我们仅讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
L S
1-7
（2）标势的引入
r r B = ∇× A
r r 在变化电磁场情况， 在变化电磁场情况，∇× E = − ∂B ≠ 0 ，不能象静 ∂t 电场那样直接引入标量势函数。 电场那样直接引入标量势函数。
s r r ∂ ∂A ∇× E = − ∇× A = −∇× ∂t ∂t r 引入标量势函数ϕ r ∂A E + = −∇ϕ ∂t
选择的好， 可使电磁场的解简单， 选择的好 ， 可使电磁场的解简单 ， 基本方程对称 或物理意义明显。 或物理意义明显。
决定， 场的横场部分完全由 A 决定，而纵场部分完全由 ϕ 求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。 求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。
1-11
r 库仑规范 规范条件： 规范条件： ∇⋅ A = 0 r 在库仑规范下， A 为横场，∇ϕ 纵场。因此，电 在库仑规范下， 为横场， 纵场。因此， r
三．达朗贝尔方程
r r 1∂ A r 1 ∂ϕ r 2 1． 真空中的 ∇ A− c2 ∂t2 −∇(∇⋅ A+ c2 ∂t ) = −µ0J ． 达朗贝尔方程 r ∂ ρ 2 ∇ ϕ + (∇⋅ A) = − ε0 ∂t r r r r 证明： 证明：将 B = ∇× A ， E = −∇ϕ − ∂A 代入麦克 ∂t r r r r ∂E ρ 斯韦方程： 斯韦方程： ∇× B = ε 0 µ0 + µ0 J , ∇⋅ E = ∂t ε0
决定。在这种情况下， 由电荷、 决定。在这种情况下， 由电荷、电流的瞬时分布 ϕ
满足的方程： 库仑规范下 ψ 满足的方程 ∇2ψ r r 证明： 证明： ∇ ⋅ A′ = ∇⋅ A + ∇⋅ ∇ψ = 0
=0
∇ ψ =0
2
c ∂t r 1 ∂ϕ′ r 1 ∂ϕ 1 ∂2ψ 证明： 证明： ∇⋅ A′ + 2 = ∇⋅ A + ∇⋅ ∇ψ + 2 − 2 2 c ∂t c ∂t c ∂t 2 r 1 ∂ϕ 1 ∂ψ 1 ∂2ψ 2 (∇⋅ A + 2 ) + (∇ ψ − 2 2 ) = 0 ∇2ψ − 2 2 = 0 c ∂t c ∂t c ∂t
1-5
5.1 电磁场的矢势和标势
1-6
一．用势描述电磁场
本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐 射问题（仅讨论均匀介质）。
（1）矢势的引入
r 由于 ∇⋅ B = 0，与静电场相同，可以引入矢量 与静电场相同， r r r 势函数（矢势） 势函数（矢势）A ，使得 B = ∇× A
注意： 与静电场不同，引入的矢势与时间相关； 注意：① 与静电场不同，引入的矢势与时间相关； r r r r 意义与静电场情况相同， ② 意义与静电场情况相同，即：∫ A⋅ dl = ∫ B ⋅ dS
1-8
r r ∂A ∂A ∇× (E + ) = 0 ∂t r r ∂A E = −∇ϕ − ∂t
二．规范变换和规范不变性
1．矢势和标势的不唯一性 ． 同静电场相同， 同静电场相同 ， 这里引入的失势和标势也不唯 一 ， 但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有 一定的关系。 一定的关系。 2．规范变换 ． r 规范： 称为一种规范； 规范：给定一组 ( A, ϕ)称为一种规范； 规范变换： 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为 规范变换。 规范变换。 r r
t
3．洛仑兹规范下的达朗贝尔方程 ．
r r 1∂A r ∇2 A− 2 2 = −µ0J c ∂t
2
1-14
1 ∂ϕ wk.baidu.com ∇ ϕ− 2 2 =− ε0 c ∂t
2 2
反映了电磁场的波动性 洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程， 洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程 ， r r r 因此由它们求出的 ( A, ϕ) 及 (E, B) 均为波动 形式，反映了电磁场的波动性。 形式，反映了电磁场的波动性。 两个方程具有高度的对称性且相互独立
求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到， 洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需 要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用 洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。
1-15
∂ψ 两种规范间变换关系： 两种规范间变换关系 A′ = A+∇ψ ϕ′ = ϕ − ∂t
1-9
r r 证明： 证明：由于 A和 A′， ϕ 和 ϕ′ 不能改变电场和磁场 r r r r 强度， 强度，所以 B =∇× A =∇× A+∇×∇ψ =∇× A′
r r r r ∂A′ ∂A ∂ψ ∂ψ ∂A E = −∇ϕ′ − = −∇ϕ′ − − ∇⋅ = −∇(ϕ′ + )− ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t r
1-12
r 1 ∂ϕ 规范条件： 规范条件： ∇⋅ A + 2 =0 洛仑兹规范 c ∂t r 后面将看到洛仑兹规范下， 后面将看到洛仑兹规范下，A, ϕ 所满足的方程具 有高度的对称性， 有高度的对称性 ， 这种对称性将满足相对论的协 变性，有很重要的理论意义。 变性，有很重要的理论意义。 1 ∂2ψ 2 满足的方程： ∇ ψ − 2 2 = 0 洛仑兹规范下 ψ 满足的方程
1-2
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化 。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动， 这被称为电磁波的辐射。 本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐 射，并简要讨论电磁场的动量。
1-3
二.引入矢势和标势求解电磁辐射问题
与静电场引入电势、静磁场引入标势相似， 为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然 可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为 零，这里引入的矢势、标势与静电场情况有很大 的不同。
2
r r r 2 并利用： 并利用：∇× (∇× A) = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ A 得到达朗贝尔
方程。 方程。
1-13
2． 库仑规范下 ． 的达朗贝尔方程
r r 1∂ A 1 ∂ r 2 ∇ A− 2 2 − 2 ∇ϕ = −µ0J c ∂t c ∂t
2
ρ ∇ ϕ =− ε0
2
满足泊松方程，与静电情况类似， 可见 ϕ满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某 的分布给出， 处的 ϕ 在时刻 的值由电荷在时刻 的分布给出， t 不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。 不能直观的反映电磁相互作用传播是非超距的特性。
r r A′ = A + ∇ψ
∂A = −∇ϕ − ∂t
∂ψ ϕ′ = ϕ − ∂t
规范不变性： 规范不变性：在规范变换下物理规律满足的动力学方程保 持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）。 规范场：具有规范不变性的场称为规范场。 ：
1-10
3．两种规范 ．
r 要使势函数减少任意性， 要使势函数减少任意性，必须给出 ∇⋅ A ，它的 r 值被称为规范的条件。 值选择是任意的， 值被称为规范的条件。∇⋅ A值选择是任意的，但若