[高三数学]贝努利不等式的证明与应用
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贝努利（Bernouli ）不等式的证明及应用
x R ∈且>1x -，n 为整数；有()11n
x nx +≥+ （P51）
证法1：（数学归纳法）
（1）当1n =时，等式显然成立
当2n =时，()2
21121+2x x x x +=++≥
（2）假设n k =时，等式成立，（2k ≥）有()1>1k
x kx ++
当n=k+1时，()
()()()()()1
k
2111>111>11k x x x kx x x kx kx k x ++=++++=+++++
1n k ∴=+当时不等式成立
综上可知不等式成立
证法2：联想到()1221
x n n n n n n y x y x x y xy y ----⎡⎤-=-++++⎣⎦……
()()()
1
2
11111n n n n x x x x --⎡⎤∴+-=+++++⎣
⎦
……
当>0x 时，()1>1k
x +
()()
1
2
111>n n x x x nx --⎡⎤∴+++++⎣
⎦
……
()()11>1>1n
n
x nx x nx ∴+-⇒++
当()1<<00<1<1k
x x -+时有 ()
()
1
2
111 ()() ()1 2 111>1>1n n n x x x nx x nx --⎡⎤∴+++++⇒++⎣ ⎦ …… 证法3：当()()101x >0,1>1n n nx x nx +≤+∴++时，成立 当1>0nx +，则()()()()1111nx 111<1n n n nx n x n -++-⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦ …… 证法4：()() () 1 1 111>k k k x x x x x --+-+=+ ()()()()()()()()()()2 32 1 11>11>11>11>111>n n n n x x x x x x x x n x x nx x x x -⎫ +-+⎪⎪+-+∴ ⇒+-+-⇒++⎬⎪ ⎪+-+⎭ …… 证法5：只证 () 1<11n nx x ++； 设() 11n n nx a x += + ()() () ()()() () () 2 11 1 1 1111111<01111n n n n n n n x n x nx x nx nx a a x x x x ++++++++-+++--= - = = ++++ {}n a ∴为单减数列，故1a <1n a = 应用举例 1． 已知,,< ∈≤且1i m n （1） 证明： m n n A m A （2） 证明：()()1>1n m m n ++ 证：（1）略 （2）<<>1n m ∴1m n,； ()1>1+1n m n m m n m +=+ ()()1>1n m m n ∴++ 2．（07湖北21）已知,m n N + ∈ （1）用数学归纳法证明：()x>11x >1+nx n -+当时， （2）对于6n ≥。已知111<32n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，求证：11<,1,2,3,32n m m m n ⎛ ⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ …… （3）求出满足等式()()3423n n n n n n ++++=+……的所有正整数n 证：（1）略 （2）当6n ≥，m n ≤时；由（1）知111>033m m n n ⎛ ⎫-≥- ⎪ ++⎝⎭ 于是111111<,1,2,3,n 3332m n mn n m m m n n n ⎡⎤⎛ ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭ ⎢⎥⎣ ⎦……， （3） 由（2）知，当6n ≥时， 2 3 1211111111<1<133322222n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ -+-++-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………… 213<1333n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ∴+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …… 即()()342<3n n n n n n +++++……，即当6n ≥时不存在满足该等式的正整数n ，故只需