第七章耦合电感与理想变压器

2020/6/19
变压器中的两个线圈，一个与电源相连，称为初级线圈，一 个与负载相连，称为次级线圈，其电路模型如图(a)所示
M
＋ uS
－
R1 i1 L1
R2 i2
L2
RL
＋
US －
I1 R1 jωL1
jωM
R2 I2
jωL2 RL
（a）
（b）
当输入为正弦信号时，该电路的相量模型如图(b)所示
两回路的KVL方程为：
L L1L2 M2 L1 L2 2M
当反并时:
L L1L2 M2 L1 L2 2M
耦合电感并联时储能
WL
1 2
Li2
0
所以
L1L2M2 0
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M2 L1L2
耦合电感的互感不能大于两自感的几何平均值
因为 所以M的最大值为
L1L2
L1 L2 2
Mmax L1L2
把实际M值与其最大值之比定义为耦合系数K
当线圈中的电流发生变化时，通过
每个线圈的总磁链可表示为两分量
i1
之和，即
＋
u1
21((tt)) 1212((tt))1221((tt))
－
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11
21
12
22
i2
＋ u2 －
自感磁链与互感磁链的方向可能相同也可能相反，由线圈电 流方向、线圈绕向等因素决定。因此广义的讲，每一个线圈的 总磁链又可表示为
求解以上方程可得：
US
I1
Z11
US
(M )2
Z 22
－
jωL1
jωL2 RL
（b）
I2
jM
Z22
I1
次级回路在初级回
空芯变压器从电源端看进去的输入阻抗为
路的反映阻抗
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初级回路的自阻抗
Zi
Z11
(M)2
Z22
初级和次级等效电路如图(a)、 (b)所示
I1
＋
Z11
US
－
( M ) 2 Z 22
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[例7-2] 试写出如图所示各耦合电感的伏安关系。
a i1 ＋ u1 L1
b－
M
i2 c
＋
L2 u2
－d
i1 a
＋
M i2 c
－
u1 L1
L2
u2
b－
＋d
图(a)
图(b)
解：对图（a）所示耦合电感其伏安关系为
u1 (t )
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2 (t)
L2
di2 dt
K M L1 L2
K介于0与1之间,与M一样是衡量耦合电感耦合程度的参数
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7-2-3 具有公共连接端的耦合电感的去耦等效
i1
M
i2
＋ L1
u1
＋ L2
u2
－
－
i1 ＋
L1 u1
－
M
i2
＋
L2 u2
－
(a) 同名端相接
(b)异名端相接
同名端相接的耦合电感，其伏安关系为
u1
u
2
L1 L2
I2
＋
－ jMI1 Z22
（a）初级等效电路
（b）次级等效电路
注意：
以上等效电路是在如图所示的同名端标示下得到的
M
＋ uS
－
R1 i1 L1
R2 i2
L2
RL
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如果同名端改变，如图所示
＋
US －
I1 R1 jωL1
jωM
R2 I2
jωL2 RL
＋
US －
I1 R1 jωL1
jωM
R2 I2
M
di1 dt
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对图（a）所示耦合电感其伏安关系为
u1 (t )
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2 (t)
L2
di2 dt
M
di1 dt
i1 a
＋
M i2 c
－
u1 L1
L2
u2
b－
＋d
图(b)
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7-2 耦合电感的去耦等效电路
耦合电感的去耦等效就是将耦合电感用无耦合的等效电路 来代替，这样对含有耦合电感电路的分析就可等同于一般电 路的分析。
jωL2
Uoc
－
（1）求开路电压
U OCjMI 0
I0
US Z 11
UOC
jMUS
Z11
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(2)求戴维南等效阻抗
对初级和次级回路分别列KVL方程
j(RM 1I 1jL (1j )I L12j R2M )II U 0
jZ1M 1I 1I 1j ZM 22II U 0
(1) (2)
j(L1M)
j(L2
M)(RjM) RjL2
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L1－M L2－M
Zi
M
R
（c）
图(b)的去耦等效电路如图(d)所示
R
M
L1
L2
Zi
C
（b）
Zi Rj(L1L22M )j 1C
R L1+ L2－M
（d）
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[例7-4] 求图(a)所示电路的输出电压的大小和相位。
j4Ω
第7章 耦合电感与理想变压器
7-1 耦合电感的基本概念 7-2 耦合电感的去耦等效电路 7-3 空芯变压器 7-4 理想变压器 7-5 全耦合变压器
2020/6/19
7-1 耦合电感的基本概念
7-1-1 耦合电感及其电路符号
在电路中，当两个线圈相距较近时，各自线圈上的电流变 化会通过磁场相互影响，即两个线圈具有磁耦合，这样的两 个线圈称为耦合电感。
7-2-1 耦合电感串联时的去耦等效
耦合电感串联时，两线圈有两种连接方式，即顺串和反串
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M
＋i
u L1
L2
－
（a）顺串
M
＋i
u L1
L2
－
（b）反串
设图中电压、电流为关联参考方向，则根据耦合电感伏安 关系可得
u(t)L 1d d tiM d d tiL2d d tiM d dti
(L1L22M)dd ti Lddti
其中L为等效电感
LL1L22M
顺串时，M前为正号；反串时，M前为负号。
耦合电感的储能
WL
1 2
Li2
因其储能不可能为负值，因此L必须为正，由此有
L1L22M0
M L1 L2 2
7-2-2 耦合电感并联时的去耦等效
耦合电感并联时也有两种接法:顺并和反并
i
M
＋
u L1
L2
－
i1
i2
(a) 顺并
i
M
L2 M
L1 L2 M L1 M
L1 L2 M
2 2
u
u
d i d(i1i2)L1L22Mu
dt dt
L1L2M 2
i
M
＋
u L1
L2
－
i1
i2
(a) 顺并
i
M
＋
u L1
L2
－
i1
i2
(b) 反并
u L1L2M2 diLdi L1L22Mdt dt
L即为耦合电感并联时的等效电感
当顺并时:
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如果各线圈电压，电流均采用关联参考方向，由电磁感应定 律可得电感元件上的感应电压分别为
u1 u2
dΨ1
dt dΨ2
dt
L1 L2
di1
dt di2
dt
M di2 dt
M di1 dt
耦合电感的伏安关系
在正弦稳态情况下，耦合电感伏安关系的相量式可写为
U1 U2
jj LL12II 12jjM MI I 21
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7-1-3 耦合电感的同名端
一、同名端的含义
当电流从两线圈的一对端子同时流入（或流出）时，若 两线圈的自磁通和互磁通参考方向一致，则称这一对端子 为同名端，否则为异名端。同名端在电路图中用符号“·” 表示。
二、列写耦合电感的伏安关系的具体规则
1．如果电感上电压和电流参考方向关联，则自感电压为正， 否则为负。 2．如果电感上的电压和电流参考方向关联，并且电流同时流 入（或流出）同名端，或者电压和电流非关联且电流同时流 入（或流出）异名端，则互感电压为正，否则为负。
j( R M 1 I 1j (L R 12 )I 1 RLj M j I 2 L2 )U I 2S0
2020/6/19
令 Z11R 1j L 1 初级回路的自阻抗 Z 22 R 2R LjL 2 次级回路的自阻抗
jωM
则上式可变换为
＋ I1 R1
R2 I2
Z1j1I1MI1jM ZI 222I 2 U S0
jωL2 RL
两回路的KVL方程为：
j (R M 1I 1 j (R L1 2) I 1R Lj jM I L 22 )I U 2 S0
Zj11I M 1 I 1jZM2I 22I2U 0S
I1
Z11
US
(M )2
Z 22
I2
jM
Z2 2
I1
I1 与同名端的标法无关，I2 与同名端的标法有关。
含空芯变压器的正弦稳态电路的分析方法：
（1）利用反映阻抗的概念，通过初次级等效电路求解。 （2）利用去耦等效求解。 （3）利用戴维南等效电路求解。
[例7-5] 求如图所示空芯变压器电路中的电流 I。2
解法一： 用反映阻抗的概念求解
I1 1Ω
＋
Z11 1 j3 Z 22 1 j2
100V
j3Ω
2020/6/19
L1和L2称为线圈1和线圈2的自
感 M为两线圈之间的互感 “·”号代表两线圈的同名端。
M
a
c
L1 b
L2 d
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耦合电感的磁耦合程度与线圈的结构、相互位置及周围的磁 介质有关，用互感M或耦合系数K表示
M与K之间的关系为 K M
L1 L2
7-1-2 耦合电感的伏安关系
求解方程可得
I1 4.3838A I2 3.9511.3A
I1
j1Ω
j0Ω
＋
100V
－
1Ω
I1
j2Ω
1Ω
I2
图（b）
2020/6/19
[例7-6] 求如图所示空芯变压器电路ab端的戴维南等效电路 。
＋
US －
I1 R1 jωL1
jωM
a
R2 I2
jωL2 RL
b
I0
jωM
＋
US －
R1 jωL1
R2 ＋
1(t) 2(t)
1212((tt)) 1221((tt))
对线性电感,磁链与线圈中流过的电流呈线性关系,所以有
21((tt))LL12ii12((tt))M M122i1i21((tt)) M12、M21称为耦合电感的互感系数，单位与电感的单位 相同，都是亨利(H)。可以证明M12=M21，因此今后将不加 区别,统一用M来表示互感。
＋ 1000V
－
j8Ω -j8Ω
j4Ω
＋
4Ω UO
－
（a）
＋
1000V
－
j4Ω
j0Ω
j4Ω
＋
-j8Ω
4Ω UO
－
（b）
解：图(a)中耦合电感同名端相接，去耦等效电路如图(b)所示
U O ( (j 4 )j/4 )4 // 4 /j4 1 0 0 01 0 9 0 V 0
所以输出电压的大小为100V，相位为 90
2020/6/19
[例7-1] 试标出如图(a) 耦合电感的同名端。
a
c
a i1
i2 c
b
b d
d
图(a)
图(b)
解：设电流同时从a端和c端流入，根据右手法则，i1和i2产 生的磁通方向如图(b)所示。
每个线圈的自磁通和互磁通方向相反，所以根据同名端 的含义可知，a和c端是异名端，a和d或b和c是同名端。
L2+M
－M
i2 ＋ u2 －
（a）同名端相接去耦等效
（b）异名端相接去耦等效
同理可得到异名端相接的等效电路如图(b)所示。
2020/6/19
[例7-3] 求图（a）、（b）所示电路的输入阻抗。
M
Zi
L1
L2
R
M
L1
L2
Zi
C
R
（a）
（b）
解：图(a)的去耦等效电路如图(c)所示
Zi
j(L1
M)(RjM) j(L2M) (RjM)j(L2 M)
I1
jωM
R1
I
R2
＋
jωL1
jωL2
U
－ ZO
上式中 Z 2为2 负载断开时，次级的自阻抗
由方程组中的(1)式得
I1
jM
Z11
I
将上式代入(2)式，有
初级回路在次级回
(M)2
Z11
Z22IU
2020/6/19 路的反映阻抗
di1
dt di2
dt
M M
di2
dt di1
dt
2020/6/19
上式可变换为
u1
u2
(L1 (L2
M)d1i Md(i1 i2)
dt
dt
M)di2 Md(i1 i2)
dt
dt
由上式可得同名端相接时的去耦等效电路，如图(a)所示
L1－M ＋ i1 u1 －
L2－M
i2 ＋
M
u2
－
L1+M ＋ i1 u1 －
2020/6/19
7-3 空芯变压器
变压器也是电路中常用的一种器件，其电路模型由耦合 电感构成。
空芯变压器：耦合电感中的两个线圈绕在非铁磁性材料的 芯子上，则构成空芯变压器
铁芯变压器：耦合电感中的两个线圈绕在铁芯上，则构成 铁芯变压器
空芯变压器和铁芯变压器的主要区别： 前者属松耦合，耦合系数K较小， 后者属紧耦合，耦合系数K接近于1。
将a、b端相连后，其中的耦合电感就成为具有公共连接点的 互感，其等效电路如图（b） 。
I1 1Ω
j2Ω
I2
I1
j1Ω
j0Ω
＋
100V
j3Ω
－
a
j2Ω 1Ω b
＋
100V
－
1Ω
I1
j2Ω
1Ω
I2
2020/6/19
图（a）
图（b）
根据图(b)可列写网孔方程为 (1jj23I) 1I 1(1j2I j22)I 12 000
＋
u L1
L2
－
i1
i2
(b) 反并
设各线圈上的电流、电压参考方向如图所示，则根据耦合 电感的伏安关系有
2020/6/19
ut ut
L1 L2
wenku.baidu.com
di1
dt di2
dt
M M
di2
dt di1
dt
顺并时:M前为正号；反并时:M前为负 号由上式可解得:
2020/6/19
di 1 dt di 2 dt
－ a
I 1Z11 U (SZ M 2)22
1 00 4.3 838 A 1j3 4 1j2
j2Ω
I2
j2Ω 1Ω b
2020/6/19
I 2jZ 2 M 2 I 1 1 j2 j2 4 .3 8 3 8 3 .9 5 1.3 1 A
解法二：用去耦等效求解
如果将原图中的a、b端相连，如图（a），因该连线上无电 流流过,所以对原电路无影响。