现代信号处理第6章连续小波变换
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果的 连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。 这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和 Hermitian小波。
整理ppt
2
6.1 谐波小波变换及其工程应用
6.1.1谐波小波的定义及正交性 6.1.2 Newland快速算法 6.1.3 谐波小波时频图 6.1.4 谐波小波滤波 6.1.5 谐波小波应用
as由Fs经分段、对每一段作IFFT得到，下两式为其表达式：
整理ppt
10
6.1.2 Newland快速算法
下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图
整理ppt
11
6.1.3 谐波小波时频图
谐波小波分解结果一般用 小波时频图（Wavelet Time-Frequency Map）直 观表示。 在各网格以as模的平方为高 作柱体就构成了谐波小波 时频图。小波时频图是随 |as|2起伏的面。这里高度取 lg|as|2。
整理ppt
6
6.1.1谐波小波的定义及正交性
根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波 函数族（j, kZ）：
设w (t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即 其频谱为
随着小波层（即j）的变 大，谐波小波的频谱宽 度倍增而幅值降低
分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低
频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波
谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内 的数据点数多。
整理ppt
13
6.1.4 谐波小波滤波
旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互 垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故 障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而 小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相 互垂直的X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。
aj,k为函数x(t)的小波展开系数
用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。 因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以 快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践 有很大好处。
整理ppt
9
6.1.2 Newland快速算法
Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速 傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x (r)，r = 0,…, N – 1,其中N = 2n，其谐波小波分解为as , s= 0,…, N – 1。令
第六章 连续小波变换及其工程应用
6.1 谐波小波变换及其工程应用 6.2 Laplace小波特征波形相关滤波 6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别
整理ppt
1
引言
小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样 条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式， 对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系 数{hk}和{gk}运用Mallat快速算法实现的。 除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续 构造出来并且得到了深入研究和工程运用。
分解是一种小波分解
整理ppt
7
6.1.1谐波小波的定义及正交性
当j 0，W()与V()在频域中总处于不同的频段，因而总有
说明处于不同层的谐波小波总是正交的 对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t – k) , 其中(k 0, k Z)，
说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上 结论可以类似得到 。
因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小
波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相
互独立的空间，实现将信号成整理分pp分t 解到不同频段 。
8
6.1.2 Newland快速算法
谐波小波构成了L2 ( R ) 空间的规范正交基，则任何信号x ( t ) L2 ( R ) 都可以表示为谐波小波的线性和，即
整理ppt
4
6.1.1谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
整理ppt
5
6.1.1谐波小波的定义及正交性
W()所对应的函数w (t) = we (t) + iwo (t)由W()的傅里叶逆 变换得
w (t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全 “盒形”的频谱。
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
整理ppt
Fra Baidu bibliotek
3
6.1.1谐波小波的定义及正交性
谐波小波(harmonic wavelet)是由剑桥大学D. E. Newland教授在1993年提出的。 谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函 数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范 正交基。 谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。 谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换 （FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快， 精度高，因而具有很好的工程应用价值。
Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的 数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样， 直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解， 采用同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴 心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样 频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨 迹的方法是不合适的。
由Parseval公式得到 ，谐波小波分解结果表明不同频率和 时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小
整理ppt
12
6.1.3 谐波小波时频图
下图为信号x (r) = sin(2×15tr)，( r = 0 , … , 511；tr = r / 320 )的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的， 所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现 为对应的层有峰值。
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的
数据点数。
整理ppt
14
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下 面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m， 当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明 显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序 列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于 转子轴心轨迹分析
整理ppt
2
6.1 谐波小波变换及其工程应用
6.1.1谐波小波的定义及正交性 6.1.2 Newland快速算法 6.1.3 谐波小波时频图 6.1.4 谐波小波滤波 6.1.5 谐波小波应用
as由Fs经分段、对每一段作IFFT得到，下两式为其表达式：
整理ppt
10
6.1.2 Newland快速算法
下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图
整理ppt
11
6.1.3 谐波小波时频图
谐波小波分解结果一般用 小波时频图（Wavelet Time-Frequency Map）直 观表示。 在各网格以as模的平方为高 作柱体就构成了谐波小波 时频图。小波时频图是随 |as|2起伏的面。这里高度取 lg|as|2。
整理ppt
6
6.1.1谐波小波的定义及正交性
根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波 函数族（j, kZ）：
设w (t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即 其频谱为
随着小波层（即j）的变 大，谐波小波的频谱宽 度倍增而幅值降低
分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低
频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波
谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内 的数据点数多。
整理ppt
13
6.1.4 谐波小波滤波
旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互 垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故 障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而 小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相 互垂直的X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。
aj,k为函数x(t)的小波展开系数
用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。 因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以 快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践 有很大好处。
整理ppt
9
6.1.2 Newland快速算法
Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速 傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x (r)，r = 0,…, N – 1,其中N = 2n，其谐波小波分解为as , s= 0,…, N – 1。令
第六章 连续小波变换及其工程应用
6.1 谐波小波变换及其工程应用 6.2 Laplace小波特征波形相关滤波 6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别
整理ppt
1
引言
小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样 条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式， 对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系 数{hk}和{gk}运用Mallat快速算法实现的。 除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续 构造出来并且得到了深入研究和工程运用。
分解是一种小波分解
整理ppt
7
6.1.1谐波小波的定义及正交性
当j 0，W()与V()在频域中总处于不同的频段，因而总有
说明处于不同层的谐波小波总是正交的 对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t – k) , 其中(k 0, k Z)，
说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上 结论可以类似得到 。
因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小
波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相
互独立的空间，实现将信号成整理分pp分t 解到不同频段 。
8
6.1.2 Newland快速算法
谐波小波构成了L2 ( R ) 空间的规范正交基，则任何信号x ( t ) L2 ( R ) 都可以表示为谐波小波的线性和，即
整理ppt
4
6.1.1谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
整理ppt
5
6.1.1谐波小波的定义及正交性
W()所对应的函数w (t) = we (t) + iwo (t)由W()的傅里叶逆 变换得
w (t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全 “盒形”的频谱。
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
整理ppt
Fra Baidu bibliotek
3
6.1.1谐波小波的定义及正交性
谐波小波(harmonic wavelet)是由剑桥大学D. E. Newland教授在1993年提出的。 谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函 数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范 正交基。 谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。 谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换 （FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快， 精度高，因而具有很好的工程应用价值。
Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的 数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样， 直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解， 采用同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴 心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样 频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨 迹的方法是不合适的。
由Parseval公式得到 ，谐波小波分解结果表明不同频率和 时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小
整理ppt
12
6.1.3 谐波小波时频图
下图为信号x (r) = sin(2×15tr)，( r = 0 , … , 511；tr = r / 320 )的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的， 所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现 为对应的层有峰值。
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的
数据点数。
整理ppt
14
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下 面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m， 当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明 显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序 列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于 转子轴心轨迹分析