计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案

co
m
co m
x4 = 96.4730, x4 = 0.000789247. a1 = 0 ,
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w.
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1) x1 + x2 + x3 ;
co
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2) x1 x2 ;
1 2
3) x1 /x2 . × 10−5 +
1 2
−5 + x 1 × 10−4 = 2.28675 × 10−4 . 2). |e(x1 x2 )| ≈ |x1 e(x2 ) + x2 e(x1 )| ≤ x1 1 22 2 × 10 1 1 3). |e( x x2 )| ≈ | x2 e(x1 ) − x1 e(x2 )| x2 2
w.
x3 = 4.382000, 1 × 10−4 ; 16 1 × 10−2 . 8 1
案
网
x1 = 86.734, n = 5, a1 = 8,
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εr ≤
4. 求下列各近似数的误差限（其中x1 , x2 , x3 均为第1题所给出的数）：
ww
w.
kh
da
w.
x2 = 0.0489, n = 3, a1 = 4,
证明其相对误差限为
εr ≤
并指出近似数x1 = 86.734, x2 = 0.0489的相对误差限分别是多少。 −(n−1) , 答 ： x有n位有效数字，x = ±a1 .a2 a3 · · · an × 10m , ε ≤ 1 2 × 10 ∴ εr = ε ε 1 ≤ = × 10−(n−1) . |x| a1 2a1 εr ≤
xk+1 = ln(4xk ), k = 0, 1, 2, · · ·
案
网
co m
da w. co m
11 2.1534
所以x∗ 2 ≈ 2.153。
6. 求方程x3 − x2 − 1 = 0在x0 = 1.5附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代格 式，试分析它们的收敛性。选一种收敛速度最快的迭代格式求方程的根，精确至4位有效数字。 1) x = 1 + 2) x = √ 3
w.
kh
da
1 x 记ϕ(x) = 4 e ，则
w.
构造迭代格式
co
1 x = ex , x ∈ [0, 1] 4
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当x ∈ [0, 1]时，
所以此迭代格式对任意的x0 ∈ [0, 1]均收敛。
kh d
k xk 1 0.412180
取x0 = 0.5, 迭代得到
ww
er − er = er −
e2 e e 1 r = . = e − = e − r r x∗ e+x 1 + er 1 + e1 r ·········
7. 设y0 = 28, 按递推公式
案 答
yn = yn−1 −
网 课 后
1 2
6. 机器数–略。
w. kh da
∗ −y |=e≤ n = 100时，|yn n
∗ ∗ n ∗ n yn − yn = 5(yn −1 − yn−1 ) = · · · = 5 (y0 − y0 ) = 5 e0 → ∞.
m
1
× 10−2 × 510 , 该过程不稳定。 xn dx 10 + x2
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9. 推导出求积分
In =
n = 0, 1, 2, · · · , 10
0
的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。 1 答 ：与例题类似，In = −10In−2 + n− 1 ，略。
1 ; x2
3) x =
√
x3 − 1;
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1 + x2 ;
4) x =
√1 . x−1
注 ： 如果已知根的一个比较好的近似值x0 , 即已知根x∗ 在某点x0 附近，则当|ϕ (x0 )| < 1时迭代法局部 收敛，当|ϕ (x0 )| > 1时不收敛。
5
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kh
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3. 用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。 1) x3 − x − 1 = 0; 2) ex − 4x = 0;
答
案
w. kh da
答 ：以2)为例. 设f (x) = ex − 4x, 则f (x) = ex − 4, f (x) = 0的根为ln 4。 当x < ln 4时，f (x) < 0; 当x > ln 4时，f (x) > 0。
概率与数理统计 第二, C语言程序设计教程 第 西方经济学(微观部分) C语言程序设计教程 第 复变函数全解及导学[西 三版 (浙江大学 三版 (谭浩强 张 (高鸿业 著) 中 二版 (谭浩强 张 安交大 第四版]
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2009-10-15
√ 计算到y100 , 若取 783 ≈ 27.982 (5位有效数字)，试问计算到y100 将有多大误差？ √ 答 ：设x∗ = 783, x = 27.982, x∗ = x + e.
−2 ∗ = y∗ yn n−1 − 10 (x + e), yn = yn−1 − 10−2 x,
1 √ 783, 100
2
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kh
da
w.
co
∗ − y | → ∞, 计算过程不稳定。 注 ：此题中，|yn n
m
× 10−3 .
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n = 1, 2, · · ·
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e2 e2 r r = . 1 + er 1 − er
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aw . kh d
∗ − y | = 510 e ≤ n = 10时，|yn n 0
k xk 1 2.30259 2 2.22033 3 2.18395
答
当x ∈ [2, 3]时，
ϕ(x) ∈ [ϕ(2), ϕ(3)] = [ln 8, ln 12] ⊂ [2, 3], 1 |ϕ (x)| ≤ , 2
课
4 2.16743
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1 > 0. x
5 2.15984 6 2.15933 7 2.15609 8 2.15459 9 2.15389 10 2.15357
课
网
设二分k 次，同上题计算，需二分10次。计算机计算略, x∗ ≈ 0.921。
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3) 4 − x = tan x, x ∈ [3, 4]; 4) ex − 3x2 = 0. 4
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1 xk+1 = exk , k = 0, 1, 2, · · · 4 1 ϕ (x) = ex > 0. 4
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aw .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答 ：1). |e(x1 + x2 + x3 )| ≤
1 2
× 10−4 +
× 10−5 = 6 × 10−5 .
≤
5. 证明
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1 1 x2 2
× 10−4 +
x1 1 2 x2 2
× 10−5 = 1.3692 × 10−5 .
er − er =
答 ：er =
e x∗ ,
e er = x ,
10. 设f (x) = 8x5 − 0.4x4 + 4x3 − 9x + 1, 用秦九韶法求f (3)。 答 ：1993.6.
w. kh da
课 后
3
答
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ww w. kh da w. co m
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案
网
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kh d
−3 1. 证明方程1 − x − sin x = 0在[0, 1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于 1 2 × 10 的根需要迭代 多少次？（不必求根） 答 ： 设f (x) = 1 − x − sin x, f (0) = 1 > 0, f (1) = − sin 1 < 0, f (x) = −1 − cos x < 0, f (x)单调 减，∴ f (x)在[0, 1]有且仅有一根。
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1 2
√ 若y0 = 3 ≈ 1.73 (3位有效数字), 计算到y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ √ ∗ = ∗ − y ≤ 1 × 10−2 , 答 ：设y0 3, y0 = 1.73, e0 = y0 0 2
∗ = 5y ∗ yn n−1 − 2, yn = 5yn−1 − 2,
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aw . kh d
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计算方法习题解答
1 绪 论 P15
1. 指出下列各数有几位有效数字： x1 = 4.8675, x5 = 96 × 105 , 答 ：5, 6, 4, 6, 2, 2. 2. 将下列各数舍入至5位有效数字： x1 = 3.25894, x2 = 4.08675, x6 = 0.00096 x3 = 0.08675,
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3. 若近似数x具有n位有效数字，且表示为
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答 ：3.2589, 3.2590, 4.3820, 0.00078925.
x = ±(a1 + a2 × 10−1 + · · · + an × 10−(n−1) ) × 10m , 1 × 10−(n−1) , 2a1
课
后
答
x2 = 3.25896,
f (0) = 1, f (1) < 0, f (ln 4) = 4 − 4 ln 4 < 0, f (2) < 0, f (3) > 0, 方程f (x) = 0存在两个根：
∗ x∗ 1 ∈ [0, 1], x2 ∈ [2, 3].
– 求根x∗ 1:
将方程f (x) = 0在区间[0, 1]改写成同解方程
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∗ −2 ∗ −y ∴ yn n = yn−1 − yn−1 − 10 e ∗ −2 = yn −2 − yn−2 − 2 × 10 e = ··· ∗ − y − n × 10−2 e = y0 ∗ = 28). = −10−2 ne, (y0 = y0
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8. 序列{yn }满足递推关系 yn = 5yn−1 − 2, n = 1, 2, · · ·
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w.
所以x∗ 1 ≈ 0.3574。 将方程f (x) = 0在区间[2, 3]改写为同解方程
– 求根x∗ 2:
x = ln(4x), x ∈ [2, 3], 构造迭代格式
记ϕ = ln(4x), 则
ϕ (x) =
w. kh da
后
所以此迭代格式对x0 ∈ [2, 3]均收敛。 取x0 = 2.5, 迭代得到
aw .
2 0.377523
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1 1 ϕ(x) ∈ [ϕ(0), ϕ(1)] = [ , e] ⊂ [0, 1], 4 4 e |ϕ (x)| ≤ < 1, 4
3 0.364667 4 0.360009 5 0.358336 6 0.357737
7 0.357522
8 0.357446
9 0.357418
在收敛的情况下，|ϕ (x0 )|越小收敛越快。分别计算|ϕ (1.5)|, 得到0.5926, 0.4558, 2.120, 1.414，前两 种迭代格式收敛，且第二种收敛最快。 答 ：2). 迭代格式xk+1 = √ 记ϕ(x) = 3 1 + x2 , 则
aw .
本章重点： 用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。
co
后
2
方程求 根 P47
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|xk − x∗ | = 1 2k+1 (1 − 0) ≤ 1 × 10−3 , 2
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设二分k 次，取xk ≈ x∗ ,
k ≥ 9.965, 所以要二分10次。
2. 用二分法求方程2e−x − sin x = 0在区间[0, 1]内的根，精确到3位有效数字。 −x 答 ：设f (x) = 2e−x −sin x, f (0) > 0, f (1) = 2 e −sin 1 < 0, f (x) = −2e −cos x < 0, 所以f (x)在[0, 1]内 有且仅有一根。
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