第2节 基于截尾的参数估计
基于遗传算法的分组逐步右截尾威布尔分布的参数估计及应用
1 引 言近年来，随着工程机械行业的发展，以及行业对产品可靠性要求不断提高。
为了保证产品可靠性，不仅设计部门、试验部门都需要对新设计的产品进行寿命分析，售后及质量部门也需要对产品质量进行跟踪监测。
一方面产品的服役情况直接对零部件寿命产生巨大的影响，另一方面，若产品出现可靠性问题，将会对产品的品牌形象产生极大的影响，所以说对根据用户反馈的数据进行产品的可靠性研究非常重要。
传统的，售后及质量管理部门对可靠性的管控主要是监测反馈率及反馈时间，零件寿命等指标。
售后及质量管理部门需要对可靠性指标异常的零部件要提出预警，并与设计部门协作进行可靠性改进。
但是，由于产量的波动，服役工况差异等原因，传统的反馈率指标误差大，且不能分析出零部件整体的失效时间分布。
本文研究了基于遗传算法的分组逐步右截尾数据的威布尔分布参数估计方法，并对不同的优化目标进行了比较。
2 统计模型与似然函数2.1 统计模型[1]假设有数量为n的试验样本，其个体寿命为x i(i= 1,2,…,n)，x i相互独立且服从双参数Weibull分布[2]，其分布函数为：−=−ααηηηαηαxxx exp),;(f1(1)式中x≥0，α＞0，η＞0。
分组逐步右截尾方案为：在t=0时刻将n个产品投入试验，在t1时刻增加n1个产品投入试验；在t2时刻增加n2个产品投入试验；…；在t k时刻终止试验。
在整个试验过程中持续对试验产品的失效情况进行观察，记录各个批次产品的失效情况。
这一截尾方案与工程中产品投入服役的同时对产品失效寿命进行的监测过程是一致的。
可知，对t时刻投入试验的产品进行了T= t k - t寿命的右截尾，记失效产品数量为f0；对t1时刻投入试验的产品进行了T1= t k- t1寿命的右截尾，记失效产品数量为f1；…对t k-1时刻投入试验的产品进行了T k-1=t k-t k-1寿命的右截尾，记失效产品数量为f k-1；即，全体试验产品数量∑==kiinn，全体失效数量∑==kiiff−1。
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题
双截尾Cauchy分布参数估计的若干问题熊雄;庹恒【摘要】设{X k,1≤k≤n}独立且均服从参数为μ,λ,A,B的双截尾Cauchy分布,得到了矩估计的性质并给出了当参数μ,λ已知时,参数A,B矩估计的数值解法,得出了参数A,B的极大似然估计并证明了其他参数极大似然估计的存在性和强相合性,最后利用极端顺序统计量的渐近分布得到了参数A,B的近似区间估计.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】6页(P19-24)【关键词】双截尾Cauchy分布;参数估计;顺序统计量【作者】熊雄;庹恒【作者单位】湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105;中南大学数学与统计学院,湖南长沙411000【正文语种】中文【中图分类】O21Cauchy分布[1]是概率统计问题中常用的分布，其密度为f(x)=λ/π(λ2+(x-μ)2)，其中μ，λ为参数，μ∈(-∞,+∞),λ>0.Cauchy分布在许多领域有广泛的应用.如在背景图像中，像素点观测的时序波动来源于白噪声，2帧图像中对应像素间的灰度比值的分布服从Cauchy分布.[2]但是因为Cauchy的各阶原点矩均不存在，所以难以深入研究与数字特征有关的问题.双截尾Cauchy分布的密度为其中常数当参数λ=1,μ=0时,也称之为标准双截尾Cauchy分布.双截尾Cauchy分布的应用也很广泛.如在统筹方法中，任务的完成时间应服从双截尾Cauchy分布[3].直观来说，双截尾Cauchy分布的各阶原点矩均存在，这让数字特征的研究得以继续.因此，对双截尾Cauchy分布的参数估计进行讨论是很有必要的.匡能晖等[4]研究了标准双截尾Cauchy分布顺序统计量的若干性质，笔者从参数估计的基本原理出发，结合极端顺序统计量的概率性质，拟研究非标准双截尾Cauchy分布的矩估计性质及其数值解法.1 准备工作引入如下记号：记随机变量X有分布函数F(x)，并记α(F)=inf{x:F(x)>0},ω(F)=sup{x:F(x)<1}.引理1[5] 设X1,n,X2,n,…,Xn,n为任意在[A,B]取值的连续型随机变量的顺序统计量，则对于∀ε>0，有引理2[6] 若向量函数Ψ(X)存在m(m>2)阶连续偏导数，X是方程Ψ(X)=0的单根，当初值X0充分接近精确解X时，Newton迭代法收敛且至少为二阶收敛.引理 3[7] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在实序列{an},{bn}(an,bn>0)，对于一切x，当存在时，成立.引理4[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，若ω(F)<+∞，假定存在常数γ>0，对于一切x>0，有则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：序列{bn}取为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.引理5[8] 设随机序列{Xk,1≤k≤n}独立同分布，其公共分布函数为F(x)，又设X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，假定α(F)有限，并记分布函数F*(x)=F(α(F)-1/x)(x<0)，若存在常数γ>0，对于一切x>0，有则必有实序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中，{cn}，{dn}分别取为cn=α(F),dn=sup{x:F(x)≤1/n}-α(F)；引理6[9] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…,Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若对于∀x∈X(X为样本空间)，有h(x;θ)>0且存在，又若∀θ∈Θ，则当样本容量n充分大时，以概率1似然方程至少存在1个解引理7[10] 设h(x;θ)为分布族，X1，X2，…，Xn为idd样本，参数θ是一维的且参数空间Θ是开集，若ln h(x;θ)关于参数θ是可微的且分布族是可识别的(即对于∀θ1,θ2∈Θ，{x:h(x;θ1)=h(x;θ2)}不是零测集)，则以概率1似然方程在n→∞时有解，且此解关于θ是相合的.2 主要结果假设参数μ，λ已知，考虑A,B的矩估计，就是考虑如下方程组的解：(1)其中：设由方程组(1)得到A,B的矩估计分别为AM,BM.首先，对于矩估计的可靠程度，由大数定律容易得到如下结论:定理1 矩法估计量AM,BM分别是参数A,B的弱相合估计，即(2)要得到方程组(1)的公式解，其难度异乎寻常，因此笔者研究其数值解.下面以标准双截尾Cauchy分布为例，说明其矩估计的算法步骤.(ⅰ)待解方程组为其中(ⅱ)寻找初值点.由引理2和引理2，可以取(X1,n,Xn,n)作为计算(A,B)的初值点. (ⅲ)利用Newton迭代法计算.将fj在初值点(X1,n,Xn,n)进行一阶Taylor展开，得(3)忽略方程组(3)中的余项，得(4)易知方程组(4)的解即为方程组(1)的近似解.现考虑线性方程组(4)的解，其系数矩阵就是函数对于未知参数的Jacobi矩阵：令f=(f1,f2)T,X=(A*,B*)T,X0=(X1,n,Xn,n)T，那么(2)式可以写成f(X0)+J(X0)(X-X0)=0,其解为X1=X0-J-1(X0)f(X0).重复这个步骤，便得到如下Newton迭代法的公式：Xk+1=Xk-J-1(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….Newton迭代法的优势在于平方范数收敛性，即‖Xk+1-X‖≤C‖Xk-X‖ .鉴于Newton迭代法的特性，剩余量范数不一定递减.为了保证剩余量范数递减，即‖f(Xk+1)‖≤‖f(Xk)‖(k=0,1,2,…)，考虑加入一个修正因子ωk，ωk>0，将解改写为Xk+1=Xk-J-1ωk(Xk)f(Xk) k=0,1,2,….选择合适的ωk使得范数递减，这个办法被称为阻尼Newton迭代法.(ⅳ)确定算法的终止条件.由于阻尼Newton迭代法保证了剩余量范数递减，因此只要找到某一步的运算结果Xk并使得其满足一定的条件即可.给定允许误差值δ>0，若存在k∈N,s.t.‖Xk-X0‖≤δ，则有‖Xn-X0‖≤δ(∀n≥k).这里的矩估计算法只针对参数μ，λ已知的情形作出讨论.事实上，若A,B已知，要求解参数μ，λ的矩估计时，算法完全一致，只是初值点需要重新选择.定理2 设Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,X2,n,…,Xn,n是其顺序统计量，若λ,μ已知，则参数A,B分别有极大似然估计X1,n,Xn,n.证明考虑对数似然函数由X1,n≥A,Xn,n≤B，可得ln L(A,B)≤ln L(X1,n,Xn,n).再由ln x的单调性即得参数A,B的极大似然估计分别为X1,n,Xn,n.定理3 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B,μ已知，且关于λ的极大似然方程有解，则必存在一个解使得是未知参数λ的强相合估计.证明由引理6，只要证明考虑积分变换则以上积分就是其中Y=[A-μ，B-μ].由Abel判别法，该积分存在.再根据引理5，以概率1似然方程存在1个解定理4 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数A,B，μ,λ的其中3个为已知，记未知参数为θ，则存在θ的强相合估计使得当样本容量n充分大时，它以概率1是似然方程的解.证明根据引理6和定理3可知，当样本容量n充分大时，以概率1似然方程存在1个解先证明强相合估计的存在性.由于泛函f(x;θ)在参数空间Θ上连续，因此，当θ→θ′时，对于一切x∈X，有f(x;θ)→f(x;θ′).由Scheffe定理[5]，当θ→θ′时，即C(x;θ)和C(x;θ′)的Kolmogorov距离为无穷小，从而存在参数θ的强相合估计，记为下面来证明关于参数θ的似然方程有解且与强相合估计几乎处处相等.现只要证明当n→∞时，以概率1似然方程有解.显然双截尾柯西分布的密度函数满足引理7的条件，因其密度函数f(x)在定义域上连续，故以概率1似然方程有解. 此外，设为似然方程的一个解，由三角不等式，得这说明是参数θ的强相合估计.最后，先给出非标准双截尾Cauchy分布极端顺序统计量的渐近分布，再导出参数A,B的近似区间估计.定理5 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则存在序列{bn}(bn>0)，使得其中：bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}.证明对于Xk的分布函数F(x)，有ω(F)<∞，则对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=2.由引理4，取an=0,bn=t，则又因为bn=inf{x:1-F(x)≤1/n}，所以1-F(t+0)≤1/n≤1-F(t).即故1-F(t+0)≥1-F(tx)(x>1).从而下面令ε→0，对于∀x>1，有再由引理4可得定理5成立.定理6 设{Xk,1≤k≤n}独立同分布且Xk～C(μ,λ;A,B)，X1,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则有序列{cn},{dn}(cn,dn>0)，使得其中：cn,dn分别取为cn=μ,dn=sup{x:F(x)≤1/n}-μ.证明对于双截尾Cauchy分布的分布函数F(x)，有α(F)=A,则分布函数F*(x)(F*(x)=F(A-1/x),x<0)满足：对于∀x>0，由L'Hospital法则有故取γ=1.根据引理3，结合定理5的证明方法可得定理6成立.定理7 设{Xk,1≤k≤n}～C(μ,λ;A,B)，参数λ,μ已知，X1,n,X2,n,…,Xn,n为其顺序统计量，则当样本量n充分大时，参数A,B分别有近似区间估计其中0<α<1为显著性水平.证明先考虑参数A的区间估计.由定理又根据序列{cn},{dn}的选择可知，对于任何固定的x>0，cn+dnx→Ax+μ(1-x)(n→∞).于是当样本容量n充分大时，P{X1,n≤Ax+μ(1-x)}≈L2,1(x) n→∞.(5)特别地，取L2,1(x)=1-α，得x=-ln α.经过整理，(5)式变成另一方面，显然A≤X1,n，那么再考虑参数B的区间估计.根据定理又根据序列{bn}的选择可知，bn→ω(F)=B(n→∞).仿照前面的证明，取一个固定的ε=1，于是当n充分大时，以概率1 1+B≥Xn,n成立，从而参考文献：[1] 邓集贤，杨维权，司徒荣，等.概率论及数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2009:295-300.[2] 明英，蒋晶珏.视觉监视中基于柯西分布的统计变化检测[J].中国图象图形学报，2008,13(2)：328-334.[3] 何永济.统筹方法中一任务的完成时间X应服从截尾Cauchy分布[J].武汉水利电力学院学报，1984(1)：85-92.[4] 匡能晖，陈勇.双截尾的Cauchy分布顺序统计量的渐进分布[J].北京大学学报(自然科学版)，2011,47(3):385-388.[5] 林元烈，梁宗霞.随机数学引论[M].北京：清华大学出版社，2003：123-136.[6] 黄云清,舒适.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2004:158-168.[7] NADARAJAH S.Explicit Expressions for Momentsof OrderStatistic[J].Statistics & Probability Letters,2008,78(2):196-205.[8] THOMAS P YAGEEN,SAMUEL PHILIP.Recurrence Relations for the Moments of Order Statistics from a BetaDdistribution[J].Statistical Papers,2008,49(1):139-146.[9] 茆诗松.高等数理统计[M].北京：北京大学出版社，2003：123-136.[10] 熊雄，匡能晖.三参数的Pareto分布顺序统计量的渐进分布[J].四川大学学报(自然科学版),2012,49(5):975-978.。
7.2截尾的极大似然估计-PPT课件
d ln L ( ) 0， 解 得 d s(t m ) ˆ m 其 中 s( t m ) t1 t 2 t m ( n m )t m
概率统计
基于截尾样本的最大似然估计
0 t 1 t 2 t n， 称 为 完 全 样 本 。 二 截
尾 样 本 ， ( 1 )定 时 截 t 0时 同 时 投 入 t0停止，停止时共有 随机抽取的 n
t 1 , t 2 , , t m ( 0 t 1 t 2 t m t 0 )， 进行到有 m （事先 得到样本 t1 , t 2 , ,
设产 品的 寿命 分布 是指 数分 布，其概 率密 度为 1 t / e , t0 f (t ) t0 0, 0未知 。设有 n 个产 品投 入定 时截 尾试 验，截尾 时间 为 t 0，得定 时 截尾 样本 0 t 1 t 2 t m t 0。故似 然函 数为 L ( ) 1
第二节基于截尾样本的最大似然估计
产品寿命 T 是一个随机变量，它的 为了对寿命分布进行统 寿命数据。 实验方法：一完全样本 t 0时 ， 同 时 投 入 试 验 ， 直 尾样本，假设将随机抽 试验，试验进行到实现 m 个产品失效，得到样本 称为定时截尾样本。 个产品在时间 规定的截尾数 ，将随机抽取的 n 个产品在时间 到样本 到每个产品都失效，得 取的 n 个产品在时间 规定的截尾时间 分布称为寿命分布。 试验，取得 计推断，则需通过寿命
( 2 )定 数 截 尾 样 本 ， 假 设 将
t 0时 同 时 投 入 试 验 ， 试 验 m n ）个产品失效时停止，
《数理统计》第7章§2基于截尾样本的最大似然估计.
第七章
参数估计
§2 基于截尾样本的最大似然估计
2/4
预先规定好试验时间 0 T 随机取 n 件产品,从 t 0 时刻开始进行试验, 到截尾 开始时间 截尾时间 时刻 t T 试验停止,依次记录下失效时间和失效个数 ,从而 获得定时截尾样本
0 t1 t 2 t m T
第七章 参数估计
s(180) 115 119 172 (50 15) 180 8550
115,119,131,138,142,147,148,155, 158,159,163,166,167,170,172
求得 的最大似然估计值为
ˆ 8550 570 (小时) 15
t
3/4
设产品寿命服从指数分布,其概率密度为
1 e ,t 0 f (t ) 0 , t0 定时截尾时间为 T . 任取 n 件产品进行寿命试验,截尾 样本为 0 t1 t m T . 试求平均寿命 的最大似然估计. 似然函数为 任一产品在时刻 (t i , t i dt ] 失效的概率近似为
1e dt (i 1, , m) L( ) n m令 T 的概率为 件产品寿命超过 t1 tm ( n m )T lnL m n m ( n m ) T t 1 0 2 e T e dt 似然函数 求得 的最大似然估计为 故截尾样本观察值出现的概率近似为 s (T ) ˆ t1 t m ( n m )T ( n m )T ti m m 1e t m 1 e m e dt1dtm C d C i 总试验时间 n n 为 . t t ( n m ) T 其中 s(T ) 1 m m i 1
mlinex损失函数下基于截尾数据指数分布参数的估计
中文摘要随着统计决策理论和贝叶斯理论的不断发展,不同损失函数下分布参数的Bayes 估计问题一直是很多学者的研究方向.现如今,产品的可靠性分析越来越受到人们的重视,关于指数分布参数的统计推断问题已经有大量的文献进行了研究,但是对在截尾情形下参数估计的研究相对较少.2003年Podder C.K.和Roy M.K.提出Mlinex损失函数,引起了许多学者的广泛关注.因此本文在前人的研究基础上,选取Mlinex损失函数,分析截尾情形下指数分布参数的Bayes估计的相关问题,例如容许性问题及经验Bayes估计等.本文首先运用参数估计方法,得出在Mlinex损失函数下定数截尾情形下的MRE 估计、Bayes估计的一般形式,以及当先验分布给定时Bayes估计的精确形式,较为全面地讨论了相关估计量在Mlinex损失函数下的容许性,并在超参数部分未知和完全未知两种情况下构造了刻度参数的参数型经验Bayes估计,然后运用Matlab软件进行相关数值模拟,结果表明了估计方法的可行性.接着,求出了定时截尾情形下指数分布参数在Mlinex损失函数下的Bayes估计,并证明了Bayes估计的可容许性,并进行数值模拟.最后对本文做出了总结并提出研究展望.关键词:Bayes估计,定数截尾,容许性,Mlinex损失函数.iAbstractWith the development of statistical decision theory and Bayesian theory,the Bayesian estimation problems of distribution parameters under different loss function-s have been the research direction of many scholars.Nowadays,reliability analysis of products has been paid more and more attention.However,the statistical inference of exponential distribution parameters has been studied in a large number of literatures,the estimation of parameters in truncated cases is relatively small.Since Podder C.K.and Roy M.K.argued Mlinex loss function in2003,it has caused the attention of many scholars. Based on previous studies,this paper analyzes the estimations of exponential distribution parameter under Mlinex loss function based on Censoring,such as the Bayesian estima-tions,the admissibility of the estimation and the empirical Bayesian estimation.First,using the parameter estimation method,I obtain the MRE estimation,the gen-eral form of the Bayesian estimation and Bayesian estimation when the prior distribution is determined under the Mlinex loss function on Type II Censoring.And I also learn about the admissibility of the relevant estimation under the Mlinex loss function.And then,the Parametric Empirical Bayes Estimation of the scale parameter is constructed under the condition that part of the hyper parameters is unknown and all the hyper parameters are completely unknown.Next,the numerical simulation is carried out by using Matlab and the results show that this estimation method is feasible.Then,the Bayesian estimation of the exponential distribution parameter under the Mlinex loss function in the case of the Type I Censoring is obtained,and it is proved that the Bayesian estimation is admissible, and then I also show its numerical simulation.Finally,I make a summary and put forward further research prospects.Key Words:Bayesian Estimation,Type II Censoring,Admissibility,Mlinex Loss Function.ii目录第一章绪论 (1)第二章预备知识 (3)S2.1统计量及其分布 (3)S2.2Bayes决策的原理和方法 (4)第三章Mlinex损失函数下定数截尾情形下的参数估计 (7)S3.1引言 (7)S3.2Mlinex损失函数下λ的MRE估计 (7)S3.3Mlinex损失函数下λ的Bayes估计问题 (9)S3.3.1λ的Bayes估计 (9)S3.3.2估计量[aT(X)+d]−1的容许性 (10)S3.3.3均值θ的经验Bayes估计 (15)S3.4随机模拟 (18)第四章Mlinex损失函数下定时截尾情形下的参数估计 (21)S4.1Mlinex损失函数下定时截尾情形下λ的Bayes估计 (21)S4.2随机模拟 (22)第五章总结与展望 (24)参考文献 (25)致谢 (27)·iii·第一章绪论统计决策理论是由统计学家A.瓦尔德在1950年提出的一种数理统计学的理论,将采取的行动产生的后果纳入统计范畴,引入损失函数,来评价统计推断结果的优劣.公元1763年,T.Bayes,提出了一种归纳推理的理论.经典学派的统计推断使用两种信息:总体信息和样本信息,而贝叶斯学派认为统计推断还应使用第三种信息:先验信息,并且此理论迅速得到发展.贝叶斯理论首先在我们所熟知的数学领域有着广泛的应用,如应用于统计分析、测绘学和统计决策论等;其次在物理、化学和医学等学科领域发挥了不可替代的作用;除此之外,还广泛应用于在工程领域,如人工智能、心理学、模式识别、计算机科学和数量地理学等以及其他领域,如自然辩证法、生态系统生态学等.贝叶斯理论已经成为了当下炙手可热的研究课题.一直以来,总体分布参数的Bayes估计和容许性问题都是很多学者的研究方向.以指数分布参数为例,孔令军、宋立新和陈岩波(1998)[3]研究了对称熵损失下指数分布的参数估计;王德辉(1998)[4]讨论了熵损失函数下指数总体参数的Bayes估计及可容许估计问题;杜宇静和赖民(2005)[5]研究了q对称熵损失函数下指数分布的参数估计;杜宇静、孙晓祥和尹江艳(2007)[6]选取p,q对称熵损失函数对指数分布参数进行估计,并进一步分析了相关估计量的容许性.2003年Podder C.K.与Roy M.K.[7]提出一类修正的线性指数损失函数,即Mlinex损失函数,引起了许多学者的广泛关注.蒋占峰(2013)[8]对Mlinex损失函数下指数分布尺度参数的Bayes估计问题和部分估计量的可容许性进行讨论;AlBaldawi(2014)[9]讨论了指数分布在多种损失函数下的Bayes估计的比较,其中包括了Mlinex损失函数;徐美萍、于健等人(2014)[10]对Mlinex对称损失函数下一类分布族参数的Bayes估计的容许性和部分估计量的容许性进行讨论,并给出数值模拟;金秀岩(2014)[11]研究了Mlinex损失函数下对数伽马分布尺度参数的Bayes估计、E-Bayes估计等.选择不同的损失函数,所对应的参数估计结果也不同,因此选取不同损失函数进行参数估计是很有必要的.现如今,随着产品的可靠性分析问题越来越受到人们的重视,对于截尾寿命的第一章绪论试验研究也越来越受到很多学者的广泛关注.王德辉和宋立新(1995)[19]对在熵损失函数下定数截尾情形的指数分布参数估计进行了研究;李翔和韦来生(2011)[20]研究了定数截尾下指数分布刻度参数的经验Bayes估计;孙坤(2011)[21]讨论了Q对称熵损失函数下定时截尾几何分布参数的估计问题.截尾寿命试验问题由分为3种:定数截尾、定时截尾和随机截尾.本文所涉及的类型主要为定数截尾和定时截尾两种情形.在认真研读大量的中外文献后,本文对Mlinex损失函数下截尾情形的Bayes估计问题进行进一步的探究.在第二章中,给出了预备知识:简单回顾了统计量及其分布的相关知识概念和Bayes决策的原理和方法.第三章中,研究Mlinex损失函数下定数截尾情形下的Bayes估计问题,讨论了相关估计量的容许性以及参数型经验Bayes估计(PEB估计)的相关问题.第四章中,求出了定时截尾情形下指数分布参数在Mlinex损失函数下的Bayes估计.在第五章中,对全文内容进行了总结,并且对接下来的工作进行了展望.第二章预备知识本章中,我们将简单回顾一下统计量及其分布的相关知识概念和Bayes决策的原理和方法,为第三章和第四章中研究Mlinex损失函数下不同截尾情形下分布参数的估计问题做好准备.S2.1统计量及其分布在此我们仅介绍寻求二维连续随机变量函数的分布的方法,而对于n维连续随机变量函数的分布的方法是类似的.定理2.1.1[2]设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y),如果函数⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩u=g1(x,y),v=g2(x,y),(2.1)有连续偏导数,且存在唯一的反函数⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩x=x(u,v),y=y(u,v),(2.2)其变换的雅可比行列式J=∂(x,y)∂(u,v)=⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒=(︃∂(u,v)∂(x,y))︃−1=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−10.(2.3)若⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩U=g1(X,Y),V=g2(X,Y),(2.4)则(U,V)的联合密度函数为p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))|J|.(2.5)下面我们介绍任意两个次序统计量的联合分布,对三个或三个以上次序统计量的分布可参照进行.定理2.1.2[2]次序统计量(x(i),x(j))(i<j)的联合分布密度函数为p i j(y,z)=n!(i−1)!(j−i−1)!(n−j)![F(y)]i−1[F(z)−F(y)]j−i−1·[1−F(z)]n−j p(y)p(z),y≤z.(2.6)定义2.1.1[1]设ˆθ(X1,···,X n)是θ的一个估计量,若将样本做某种特定变换,估计量ˆθ具有某种对应的性质,则称ˆθ是在该特定变换下θ的同变估计.在变换准确无误时,简称同变估计.命题2.1.1[1]设δ0(X)为θr的任一估计量,则δ(X)为θr的尺度同变估计量的充分必要条件是存在函数W使得δ(X)=δ0(X)/W(Z),(2.7)其中Z=(Z1,···Z n),Z i=X i/|X n|,i=1,2,···,n.S2.2Bayes决策的原理和方法定义2.2.1[1]对给定的统计决策函数问题和随机化决策类D,决策函数δ0(D|x)称为非容许的,假如在D中存在有另一个决策函数δ1(D|x)满足如下两个条件:1.R(θ,δ1) (θ,δ0),∀θ∈Θ;2.在Θ中至少有一个θ0,有R(θ,δ1)<(θ,δ0);假如在D中不存在满足上述两条件的决策函数,则称δ0(D|x)为容许的.定义2.2.2[1](后验风险)设有一个可控参数结构(X,B,{pθ:θ∈Θ}),记BΘ是参数空间中θ某些子集组成的σ代数,且在(Θ,βΘ)上有一个先验分布π(θ).又设(∆,B∆)是行动空间,由(X,B)到(∆,B∆)上一切可测变换组成的决策函数类记为D={δ(x)}.最后设有一个定义在Θ×∆上的损失函数L(θ,δ).在上述假设下,D中任一个决策函数δ=δ(x)的损失函数L(θ,δ(X))对后验分布π(θ|x)的数学期望称为后验风险,记为R π(δ)=E θ|x [L (θ,δ(x ))]=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∫︀ΘL (θ,δ(x ))π(θ|x )d θ,θ为连续量;∑︀i R (θi ,δ(x ))π(θi |x ),θ为离散量;(2.8)称为δ(x )的风险,其中π(θ|x )=p (x |θ)π(θ)∫︀Θp (x |θ)π(θ)d θ.假如决策函数类D 中存在决策函数δ*(x ),使得R π(δ*|x )=inf δ∈D R π(δ|x ),x ∈χ,(2.9)则δ*(x )称为决策函数类D 在后验风险准则下的最优决策函数,简称Bayes(后验型)估计.下面给出与本文证明容许性有关的两个定理及两个引理:定理2.2.1[1]在Bayes 决策问题中,假如先验分布π(θ)在Θ上处处为正,对每一个估计δ(x ),其风险函数R (θ,δ)是θ的连续函数,其Bayes 风险R π(δ)是有限的,则θ的Bayes 估计是容许的.定理2.2.2[1]给定的Bayes 决策问题中,假如先验分布π(θ),θ的Bayes 估计δπ(x )是唯一的,则它是可容许的.引理2.2.1[12](Blyth 引理)假定参数空间Ω∈R n 是开的,并且具有连续风险函数的估计形成一个完全类,令δ是一个具有连续风险函数的估计,{πn }是一列(可能不真,是广义的)先验测度且满足:(a)r (πn ,δ)<∞,∀n ;(b)对任一非空开子集Ω0∈Ω,存在常数B >0和N ,满足∫︀Ω0πn (θ)d (θ) B ,∀n ≥N ;(c)r (πn ,δ)−r (πn ,δπn )→0;(n →∞);则估计量δ是可容许的.引理2.2.2[13](Brown 引理)令µ是Y 分布的实位置参数,R 是µ在损失函数L *(µ,δ*)=W *(δ*−µ)下的MRE 估计的风险,且假定R <∞,以及(i )R (µ,Y +c i )→R (µ,Y ),当i →∞⇔c i →0,当i →∞;(ii)∫︀+∞{supν>0∫︀λ−λ[W*(y)−W*(y+ν)]q(y)dy}·dλ<∞;(iii)∫︀+∞−∞|y|W*(y)q(y)dy<∞;那么,对于µ在L*下的MRE估计Y是可容许的.第三章Mlinex损失函数下定数截尾情形下的参数估计S3.1引言设总体X服从指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx,其中λ>0.用从n个服从指数分布相互独立的样本X1,X2,···,X n中抽取前r个截尾样本X(n)1,X(n)2,···,X(n)r(r≤n)来估计λ.其中X(n)1,X(n)2,···,X(n)r表示X1,X2,···,X n的前r个次序统计量,记:X(i)=X(n)i(i=1,2,···,n).其截尾样本的联合密度函数为f x(1),x(2),···,x(r)(x(1),x(2),···,x(r))=n!(n−r)!λr exp{−λ(r∑︁i=1x(i)+(n−r)x(r))},(3.1)这里x(i)是X(i)的取值.令T(X)=r∑︀i=1X(i)+(n−r)X(r),文献[19]中已经证明了T(X)服从分布Γ(r,λ)分布.本章主要研究Mlinex损失函数下定数截尾情形下(样本服从指数分布情形)的参数λ的估计问题,并讨论[aT(x)+d]−1类估计量的容许性问题以及均值θ=1/λ的经验Bayes估计问题,下面给出一类修正的线性指数损失函数,即Mlinex损失函数的定义.定义3.1.1[7]Mlinex损失函数定义为L c(λ,δ)=ω[(δλ)c−c ln(δλ)−1],ω>0,c 0,(3.2)其中δ是未知参数λ的判别空间的一个估计.S3.2Mlinex损失函数下λ的MRE估计现在考虑由在参数空间Θ及策略空间∆上的诱导的变换群G={g b:g b(x)= bx,b>0}.我们可得:定理3.2.1令Z=(Z1,Z2,···Z r),Z i=X(i)/X(r),i=1,2,···,n.在Mlinex损失函数下,假设λ的任一同变估计量δ0(x)的风险有限,λ的MRE估计由δ0(X)[E1((δ0(X))c|Z)]−1c给出,当δ0(X)取1/T(X)时,λ的MRE估计的精确形式为δ*(X)=1T(X)·[1(r−1)(r−2)···(r−c)]−1c,并且几乎处处唯一,这里E1表示λ=1时的数学期望.证明:由命题2.1.1知,任一同变估计量δ(X)有δ0(X)/W(Z)的形式,对应的风险函数为R(λ,δ)=Eλ{L c(λ,δ)}=E{E1{ω[(δ(X)λ)c−c ln(δ(X)λ)−1]|Z}},欲使R(λ,δ)极小化,又因为上式不依赖于λ,故只要极小化E1{ω[(δ(X)λ)c−c ln(δ(X)λ)−1]|Z}即可.又由于E1{ω[(δ(X)λ)c−c ln(δ(X)λ)−1]|Z}=ω{︃1[W(Z)]cE1(δ0(X)c|Z)+c ln(W(Z))−cE1(ln(δ0(X))|Z)−1}︃,令h(x)=1x cE1(δ0(X)c|Z)+c ln x−cE1(ln(δ0(X))|Z)−1,当∂h(x)∂x =−c1x c+1E1(δ0(X)c|Z)+cx=0⇒x=[E1(δ0(X)c|Z)]1c,进一步可得δ(X)=δ0(X)[E1((δ0(X))c|Z)]−1c时,风险R(λ,δ)达到最小值.通过函数的凹凸性,我们可得估计的唯一性.当δ0(x)取1/T(X)=r∑︀i=1X(i)+(n−r)X(r)时,我们欲求估计MRE的精确形式δ*(x):在文献[19]中通过计算联合密度函数和边际密度函数证明了T(X)与Z独立,故1/T(X)与Z独立,则δ*(X)=δ0(X)[E1((δ0(X))c|Z)]−1c=δ0(X)[E1(δ0(X))c]−1c=1T(X)·[︃Γ(r)Γ(r−c)]︃−1c.综上,我们运用同变估计的估计方法得出了λ的MRE估计以及MRE估计的精确形式.随着数理统计学的发展,参数的估计方法也在不断地更新与完善,参数的估计方法有很多种,下面我们将运用Bayes估计方法对参数λ进行估计.S3.3Mlinex损失函数下λ的Bayes估计问题在本节中,我们将在Mlinex损失函数下对定数截尾情形下且X服从指数分布时,参数λ的Bayes估计问题和均值θ=1/λ的经验Bayes估计问题进行讨论,本文只考虑Mlinex损失函数中c>0的情况,对于c<0情况可进行类似讨论.S3.3.1λ的Bayes估计本小节中我们将研究Mlinex损失函数下定数截尾情形下的Bayes估计问题,详细讨论相关估计量的容许性.定理3.3.1[22]在Mlinex损失函数(3.2)和定数截尾模型(3.1)下,若存在参数λ的估计量δ,其Bayes风险r(δ)<∞,给定任一先验分布π(λ),θ有唯一的Bayes估计:δB(X)= {E[(1λ)c|X]}−1c.定理3.3.2在Mlinex损失函数(3.2)和模型(3.1)下,给定λ先验分布服从Γ(α,β),λ有唯一的Bayes估计:δB(X)=[Γ(r+α)Γ(r+α−c)]1c(T(X)+β)−1,且为可容许估计.证明:λ的先验分布服从Gamma分布Γ(α,β),根据Bayes公式的定义可以得出λ的后验密度:π(λ|X)∼Γ(r+α,T(X)+β).根据Gamma分布的密度函数,可以推出λ的Bayes 估计:δB(X)={E[(1λ)c|X]}−1c=[︃Γ(r+α)Γ(r+α−c)]︃1c(T(X)+β)−1.接着,与文献[4]定理2.1证明过程相似:通过分析δB(X)的风险以及Bayes风险的有限性,进一步证明在Mlinex损失函数(3.2)下,当λ的先验分布服从Γ分布时,λ的Bayes 估计是唯一的,从而是可容许的.S3.3.2估计量[aT(X)+d]−1的容许性在上一小节中我们得到,在Γ分布族的先验分布下,通过δB(X)=[︃(Γ(r+α)Γ(r+α−c))−1c·T(X)+(Γ(r+α)Γ(r+α−c))−1c·β]︃−1,我们可以进行延伸估计形如[aT(X)+d]−1的估计类的可容许性,估计量的可容许性与不可容许性与a与d的取值有关,本小节针对不同的a与d的取值对[aT(X)+d]−1的估计类的容许性进行分类讨论,以下令a*=(Γ(r−c)Γ(r))1c,并总结为以下定理:定理3.3.3当0≤a<a*,d>0,r>1时,[aT(X)+d]−1是可容许的.证明:当0<a<a*,d>0,r>1时,由于Γ(θ)是θ的连续函数,故一定存在α和β使得a=[Γ(r+α)Γ(r+α−c)]−1c,d=(Γ(r+α)Γ(r+α−c))−1c·β成立,此时,[aT(X)+d]−1是λ的先验分布服从Γ(α,β)在Mlinex损失函数(3.2)下的Bayes估计,在定理3.3.2中已经证明了此Bayes估计为可容许的,进而得出估计量[aT(X)+d]−1是可容许的.当a=0时,估计量[aT(X)+d]−1变成常数值1/d,运用反证法易得得常数1/d为可容许的.为了证明a=a*,d>0,r>1时,[aT(X)+d]−1是可容许的,我们首先证明了以下几个命题:命题3.3.1对形如δ=[aT(X)+d]−1其中a=a*,d>0时的这一类估计,其风险函数r(λ,δ)<∞.证明:当d>0时,估计量为[aT(X)+d]−1,其Bayes风险为:r B(δ)=ω[(a*T(X)+d)−c E(λ−c|X)]+c ln(a*T(X)+d)+cE(lnλ|X)−1] <ω[(a*T(X)+d)−c E(λ−c|X)]+c ln(a*T(X)+d)+cE(λ|X)−1]=ω[Γ(r)Γ(r−c)·Γ(r+α−c)Γ(r+α)−ln(Γ(r)Γ(r−c))−c ln[T(X)+β]+c·(r+αT(X)+β)−1] <∞,从而证明对形如δ=[aT(X)+d]−1的估计量,有r B(δ)<∞,进而可得风险函数r(λ,δ)是有限的.命题3.3.2设δ(X(1),···,X(r))风险有限,在Mlinex损失函数下,对形如δ=[aT(X)+ d]−1的这一类估计,其风险函数是关于λ连续的.证明:根据文献[4]定理2.3证明过程中证明风险函数连续的方法,证明在Mlinex损失函数下,δ的风险函数是关于λ连续的.根据函数连续性的定义,我们需证明,在任取的λ的某个邻域内,|r(λ,δ)−r(λ1,δ)|→0.我们取λ1>0,及λ12<λ<2λ1:|r(λ,δ)−r(λ1,δ)|≤ω(∫︁|(δλ)c−c ln(δλ)−(δλ1)c+c ln(δλ1)|dFλ1(δ)+∫︁|(δλ1)c−c ln(δλ1)|d|Fλ(δ)−Fλ1(δ)|)=ω(I1(λ)+I2(λ)),其中,运用积分变量替换定理,取δ*(X1,X1,···X n)=δ(X(1),X(2),···,X(r)).I1(λ)=∫︁|(δλ)c−c ln(δλ)−(δλ1)c+c ln(δλ1)|dFλ1(δ)≤∫︁((1λ1)c|δ*|c+2c ln2)λ1n e−λ1n∑︀i=1x idx1dx2···dx n,由上一个引理知,r(λ,δ)是有限的,可得Eλ1(1λ1)c|δ(X)|c=Eλ1(1λ1)c|δ*|c有界,从而I1(λ)的被积函数为有界的,故当λ→λ1时,由控制收敛定理得,I1(λ)→0.下面证明当λ→λ1时,I2(λ)→0.我们同样运用积分变量替换定理,取δ*(X1,X1,···X n)=δ(X(1),X(2),···,X(r)).I2(λ)≤∫︁R r |(δ*λ)c−c ln(δ*λ)|(λn e−λn∑︀i=1x i+λ1n e−λ1n∑︀i=1x i)dx1···x n≤∫︁R r (2λ1)c|δ*|c·2·(2λ1)n e−λ12n∑︀i=1x i+c ln|δ*|·2·(2λ1)n e−λ12n∑︀i=1x i+(|ln(λ12)|+|ln(2λ)|)·2·(2λ1)n e−λ12n∑︀i=1x idx1···dx n<+∞,由控制收敛定理可得,λ→λ1⇒I 2(λ)→0.因此,对于[aT (X )+d ]−1的这一类估计,其风险函数满足函数连续性的定义,故是关于λ连续的.定理3.3.4当a =a *,d >0,r >1时,[aT (X )+d ]−1是可容许的.证明:给定非退化先验分布具有如下概率密度函数:πn (λ)=β1n Γ(1n )·λ1n −1·e −βλ,β>0,则在Mlinex 损失函数(3.2)下,λ的Bayes 估计为:δπn=[Γ(r +1n )Γ(r +1n −c )]1c ·1T (X )+β,令δ=[Γ(r )Γ(r −c )]1c ·1T (X )+β,我们已经得到r (πn ,δπn )和r (πn ,δ)有限,对∀n ,r (πn ,δ)−r (πn ,δπn )=ωE λ{︃E X |λ{︃(︃δ(X )λ)︃c −(︃δn (X )λ)︃c +c ln (︃δn (X )λ)︃−c ln (︃δ(X )λ)︃}︃}︃=ω(︃Γ(r +1/n −c )·Γ(r )Γ(r +1/n )·Γ(r −c )−1)︃+ωln (︃Γ(r +1/n )Γ(r −c )Γ(r +1/n −c )Γ(r ))︃.令a =Γ(r +1/n −c )·Γ(r )Γ(r +1/n )·Γ(r −c ),则原式=ω(ln a +1a−1)=ω(ln(1+(a −1))−(a −1)·11+(a −1)),我们利用ln(1+x )和11+x的Taylor 展开式,进行泰勒展开:原式=O (a 2)=O (1n 2c ),从而当n →+∞时,有r (πn ,δ)−r (πn ,δπn )→0.此时,由文献[4]定理2.3证明知:如果A 是[0,+∞)的非退化凸子集,则∃n 0,使对∀n >n 0时,有∫︁Aβ1n ·λ1n −1·e −βλd λ≥ε0,对某些ε0>0.综上所述,由引理2.2.1(Blyth 引理)、命题3.3.1和命题3.3.2可知当a =a *,d >0,r >1时,[aT (X )+d ]−1是可容许的.定理3.3.5当a =a *,d =0,r >1时,[a *T (X )]−1是可容许的.证明:令Z =[(Γ(r −c )Γ(r ))1cT (X )]−1,Y =1cln Z ,如果p (z )是当λ=1时Z 的概率密度函数,那么q(y)=ce cy·p(e cy)是Y的概率密度函数.又因为损失函数L(λ,δ)是一个δλ的函数,此时在Z的基础上估计λ等价于在Y的基础上估计µ=1clnλ,损失函数是L*(µ,δ*)= W*(δ*−µ),这里W*(x)=W(e x),W(x)=ωx c−c ln x−1.因此,L*(µ,δ*)=ω{e c(δ*−µ)−c(δ*−µ)−1}.这样,对于λ在损失函数L(λ,δ)下估计量Z是可容许的等价于对于µ在损失函数L*(θ,δ*)下Y是可容许的.基于上述探究,要证明定理3.3.5,只需证明引理2.2.2(Brown引理)中的三个条件同时成立.下面证明Brown引理的第一个条件成立:当i→+∞时,有R(µ,Y+c i)→R(µ,Y)⇔Eµ=0[e cY(e cc i−1)−cc i]→0⇔e cc i−cc i−1→0⇔c i→0.接下来验证第二个条件成立:1ωsupv∫︁λ−λ[W*(y)−W*(y+v)]g(y)dy=supm>0∫︁λ−λ[e cy(1−m)−ln m]q(y)dy=supm>0{(1−m)∫︁e cλe−cλzp(z)dz+ln m∫︁e cλe−cλp(z)dz}=supm>0{(1−m)·s(λ)+ln m·t(λ)},由文献[4]定理2.4证明过程可得欲证第二个条件,只须证∃A>0,∫︁A0|s(λ)−t(λ)|·|1−t(λ)s(λ)|dλ+∫︁+∞A|s(λ)−t(λ)|·|1−t(λ)s(λ)|dλ<+∞.x根据文献[4]定理2.4的证明过程我们易得∫︀A|s(λ)−t(λ)|·|1−t(λ)s(λ)|dλ<+∞.y接下来试证∫︀+∞A|s(λ)−t(λ)|·|1−t(λ)s(λ)|dλ<+∞.首先计算s(λ)−t(λ):已知Z=[(Γ(r−c)Γ(r))1c T(X)]−1⇒T=(Γ(r−c)Γ(r))1c·1Z,由p(t)=1Γ(r)e−t t r−1(当λ=1时),得p(z)=1Γ(r)(Γ(r)Γ(r−c))rc(1z)r+1e−1z(Γ(r)Γ(r−c))1c,进而s(λ)−t(λ)=∫︁e cλe−cλzp(z)dz+∫︁e cλe−cλp(z)dz=1Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−1c·u r−1·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u⃒⃒⃒⃒e cλe−cλ−∫︁e cλe−cλ1Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−2c·u r−2·[(Γ(r)Γ(r−c))1c−(r−1)]d(e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u)···(按分部积分法依次进行计算)=1Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−1c·u r−1·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u⃒⃒⃒⃒e cλe−cλ−r∑︁i=21Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−ic·[(Γ(r)Γ(r−c))1c−(r−1)]·i−1∏︁j=2(r−j)·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u·u r−i⃒⃒⃒⃒e cλe−cλ,故对于A<λ,|1−t(λ)s(λ)|<1,可得∫︁+∞A |s(λ)−t(λ)||1−t(λ)s(λ)|dλ≤∫︁+∞|s(λ)−t(λ)|dλ≤m(λ)+n(λ),其中m(λ)=∫︁+∞1Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−1c·u r−1·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u⃒⃒⃒⃒e cλe−cλdλ=1 c·Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−1c·∫︁+∞p r−2·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·p dp(变量替换p=e cλ或p′=e−cλ)=1c(r−1)<+∞,n(λ)=∫︁+∞r∑︁i=21Γ(r)·(Γ(r)Γ(r−c))r−ic·[(Γ(r)Γ(r−c))1c−(r−1)]·i−1∏︁j=2(r−j)·e−(Γ(r)Γ(r−c))1c·u·u r−i⃒⃒⃒⃒e cλe−cλdλ=1c(r−1)·r∑︁i=2[(Γ(r)Γ(r−c))1c−(r−1)]<+∞.因此,∫︁+∞A |s(λ)−t(λ)||1−t(λ)s(λ)|dλ≤m(λ)+n(λ)<+∞.综上第二个条件得证,即supv ∫︀λ−λ[W*(y)−W*(y+v)]g(y)dy<+∞.根据文献[4]定理2.4证明过程中证明条件三成立的方法相似,我们易得第三个条件成立.综上所述,我们先后验证了Brown引理的三个条件成立,证明了对于θ=1clnλ,在损失函数L*(θ,δ*)=ω{e c(δ*−θ)−c(δ*−θ)−1}下,Y=1cln Z是可容许的.从而证明了对于λ,Z=[(Γ(r−c)Γ(r))1c T(X)]−1在Mlinex损失函数下是可容许的,即定理3.3.5.定理3.3.6只要下列条件之一成立,估计量[aT(X)+d]−1是不可容许的:(i)a<0或d<0;(ii)0<a a*,且d=0;(iii)a>a*且d>0;证明:首先我们易得(i)(ii)成立.接着比较δ*=(a*T(X)+a*a d)−1与δ=(aT(X)+d)−1的优劣.R(λ,δ)−R(λ,δ*)≥ω{(1−(aa*)c)E(1λc(aT(X)+d)c)+c ln aa*}>0,则δ*=(a*T(X)+a*ad)−1好于δ=(aT(X)+d)−1,故当a>a*且d>0时,δ=(aT(X)+d)−1是非容许的.根据以上对估计量[aT(X)+d]−1的容许性问题的讨论,我们进行了总结,并绘制如下图:图3.1估计量容许性其中,a*=(Γ(r−c)Γ(r))1c.当a,d的取值在蓝色区域时,估计量[aT(X)+d]−1是非容许的.当a,d的取值在橘色区域时,估计量[aT(X)+d]−1是可容许的.S3.3.3均值θ的经验Bayes估计当X服从指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx时,我们可得E(X)=1/λ,故在本小节中,我们令θ=1/λ,研究θ的经验Bayes估计及其性质.已知T(X)服从Γ(r,1/θ),当λ服从先验分布Γ(α,β)时,θ服从先验分布Γ−1(α,β),θ服从后验分布Γ−1(r +α,β+T (X )),其中α,β为超参数.由定理3.3.2得:θ有唯一的Bayes 估计为δB (X )=[Γ(r +α)Γ(r +α+c )]1c (T (X )+β).(3.3)接下来分别从超参数α已知β未知以及超参数α与β均未知两种情况来讨论θ的参数型经验Bayes 估计(PEB 估计)问题:(I):超参数α已知β未知时的PEB 估计问题:在经验Bayes 估计中,设(T 1(X ),θ1),···,(T n (X ),θn ),(T (X ),θ)=(T n +1(X ),θn +1)是相互独立的随机向量,其中θ1,θ2,···θn 与θ=θn +1具有相同的先验分布Γ−1(α,β),T 1(X ),···T n (X )和T (X )=T n +1(X )是n +1次定数截尾实验求得,是可以观察的.由文献[20]1.1节可知,根据矩方法,我们可得ˆβn =(α−1)T (X )r,(3.4)其中,T (X )=∑︀ni =1T i (X )/n ,将ˆβn 代入δB (X )中,可得δEB (X )=[Γ(r +α)Γ(r +α+c )]1c [T (X )+(α−1)T (X )r].(3.5)下面分别计算PEB 估计和一致最小方差无偏估计的均方误差,即计算MSE(ˆθ)=E (ˆθ−θ)2,讨论两种估计的优良性.MSE(δEB (X ))=E (δEB (X )−θ)2=(︃Γ(r +α)Γ(r +α+c ))︃2c ⎡⎢⎢⎢⎢⎣E (T (X )2)+2·α−1r E (T (X ))E (T (X ))+(︃α−1r)︃2E (T (X )2)⎤⎥⎥⎥⎥⎦−2(︃Γ(r +α)Γ(r +α+c ))︃1c [︃E (θT (X ))+α−1r E (θT (X ))]︃+E [︁θ2]︁,(3.6)在文献[20]1.2节中,经计算已得出E (T (X )),E (T (X )2),E (T (X )2),E (θT (X )),E (θT (X )),代入(3.6)式中,得:MSE(δEB(X))=β2(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c[︃r+r2(α−1)(α−2)+2rα−1+1+α+r−1nr(α−2)(3.7)−(︃2r−2(α−2)(α−1)(α−2))︃(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃1c+1(α−1)(α−2)·(︃Γ(r+α+c)Γ(r+α))︃2c]︃,又因MSE(θu)=β2(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c·1r(α−1)(α−2)(︃Γ(r+α+c)Γ(r+α))︃2c,(3.8)当α>c2−2c+2rc,n>r−22c+rc2+2r2c−4rc−3r时,由(3.7)和(3.8)式可得MSE(θu)−MSE(δEB(X))=β2(α−1)(α−2)nr(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c[︃(2r2n+2nrα−4nr)(︃Γ(r+α+c)Γ(r+α))︃1c+(n−nr)(︃Γ(r+α+c)Γ(r+α))︃2c−nr(r+r2)−2nr2(α−2)−(α+r−1)(α−1)]︃≥β2(α−1)(α−2)nr(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c[︃−2nrα+2nrc+nα2+2nαc+nc2−2nr2c +nα2r−2nrαc−nrc2−α2+2α−rα+r−1]︃≥β2(α−1)(α−2)nr(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c[︃(c2−2c+2rc)(2nc+2+nrc2−4nrc+2nr2c−3nr−r) +(n−1)(α2+1)+(c2−1)n]︃≥β2(α−1)(α−2)nr(︃Γ(r+α)Γ(r+α+c))︃2c[(n−1)(α2+1)+(c2−1)n]≥0,即当α>c2−2c+2rc,n>r−22c+rc2+2r2c−4rc−3r时,θ的PEB估计优于θ的UMVUE估计.例如当c=2时,若α,n满足α>4r,n>r−24r2−7r+4,θ的PEB估计就优于θ的UMVUE估计. (II):超参数α与β均未知时的PEB估计问题:当超参数α与β均未知时,采用矩估计方法,文献[20]2.1节已经计算出ˆα*n =2rS 2+(r −1)T (X )2rS 2−T (X )2,ˆβ*n =T (X )3+T (X )S 2rS 2−T (X )2.(3.9)将(3.9)式代入(3.3)中得δEB *(X )=[︃Γ(r +2rS 2+(r −1)T (X )2rS 2−T (X )2)Γ(r +2rS 2+(r −1)T (X )2rS 2−T (X )2+c )]︃1c(T (X )+T (X )3+T (X )S 2rS 2−T (X )2),(3.10)其中S 2=1n −1n ∑︀i =1(T i (X )−T (X ))2,T (X )=1n n ∑︀i =1T i (X ).在本小节中,我们主要研究了θ的参数型经验Bayes 估计(PEB 估计)及其性质,在超参数α已知β未知以及超参数α与β均未知两种情况下,分别求出了PEB 估计的具体形式,并在超参数α已知β未知情形下,通过均方误差准则,讨论了θ的PEB 估计相对于UMVUE 估计的优良性.S 3.4随机模拟本小节中,我们用Matlab 软件对参数进行估计,运用蒙特卡洛模拟比较不同估计方法的估计效果,误差估计方法采用较为常用的均方误差方法,即MSE(ˆλ)=E (λ−ˆλ)2,其中ˆλ为参数λ的一个估计.(I):考虑λ=1的指数分布,损失函数(3.2)式中的ω=1,λ的先验分布取Γ(4,4),通过改变样本容量n 、截尾数量r 、损失函数(3.2)中c 的取值,分别进行1000次模拟,计算出λ在Mlinex 损失函数下的Bayes 估计δMB (X )、λ在加权平方损失函数下的Bayes 估计δDB (X )、MLE 估计的平均估计值以及各自的均方误差.表3.1定数截尾情形下λ的Bayes估计(n,r,c)δMB(X)δMLE(X)δDB(X)估计值均方误差估计值均方误差估计值均方误差(100,50,2) 1.00000.0194 1.02220.02460.98130.0226(100,40,2)0.99710.0208 1.02480.02760.97350.0251(150,50,2)0.99240.0167 1.01360.02070.97300.0196(100,50,3)0.98750.0173 1.01860.02200.97790.0204(100,50,4)0.96680.0166 1.01060.02040.97600.0191从表3.1中我们可以看出,Mlinex损失函数下Bayes估计的误差小于相同情形下加权平方损失函数下Bayes估计和MLE估计的误差,估计效果较为理想;适当地增加样本容量、截尾数量、损失函数(3.2)中c的取值均会使估计的误差减小.(II):接下来考虑超参数α已知β未知时θ=1/λ的PEB估计问题:考虑θ=1的指数分布,损失函数(3.2)中的ω=1,超参数α=7,产生200个历史样本来估计超参数β,进行1000次模拟,计算出θ的PEB估计和极大似然估计的平均估计值以及各自的均方误差.表3.2定数截尾情形下θ的PEB估计(超参数α已知β未知)(n,r,c)δEB(X)θMLE估计值均方误差估计值均方误差(200,50,4) 1.01550.0157 1.00190.0196(200,50,3) 1.02150.01710.99650.0206(200,50,2) 1.03360.0178 1.00020.0203(200,100,2)0.95790.0101 1.00320.0104(100,50,3)0.91060.02090.99460.0213由表3.2我们可以直观的看出,超参数α已知β未知时θ=1/λ的PEB估计方法对参数估计的效果尚可,所以文中提出的估计方法是可行的,但仍有改进的空间.(III):最后考虑超参数α、β均未知时,θ=1/λ的PEB估计问题:考虑θ=1,损失函数(3.2)中令ω=1,每次产生200个历史样本来估计超参数α、β,进行1000次模拟,计算出θ的PEB估计和极大似然估计的平均估计值以及各自的均方误差.表3.3定数截尾情形下θ的PEB估计(超参数α、β均未知)(n,r,c)δ*EB(X)θMLE估计值均方误差估计值均方误差(200,100,2)0.97350.0097 1.00020.0105(300,100,2) 1.0030.00860.99770.0095(300,100,4)0.99920.0094 1.00160.0104(300,150,4)0.97760.00650.99990.0067由表3.3我们可以直观的看出,超参数α、β均未知时,PEB估计的误差一般小于相同情形下MLE的误差,估计效果较为理想,文中提出的PEB估计方法是可行的.第四章Mlinex损失函数下定时截尾情形下的参数估计本章主要讨论定时截尾情形下指数分布参数在Mlinex损失函数下的Bayes估计以及其容许性.S4.1Mlinex损失函数下定时截尾情形下λ的Bayes估计设X服从指数分布,其分布函数为:F(x)=1−e−λx,其中λ>0.其中X1,X2,···,X n是来自指数分布的随机变量序列,独立同分布,其分布是F(x),用定时截尾方案(n,T)得到n组随机变量对:(Y1,δ1),(Y2,δ2),···,(Y n,δn),其中Y i=X i∧T,δi=I{X i≤T},i=1,2,···,n.故其截尾样本的联合密度是f(y1,y2,···,y n,δ1,δ2,···,δn)=λn∑︀i=1δiexp{−λ(n∑︁i=1y i)},(4.1)这里y(i)是Y(i)的取值.根据定理3.3.1,当λ先验分布服从共轭分布族Γ(α,β),有如下定理:定理4.1在Mlinex损失函数(3.2)和模型(4.1)下,给定λ先验分布服从Γ(α,β),λ有唯一的Bayes估计:δB(X)=[Γ(n∑︀i=1δi+α)Γ(n∑︀i=1δi+α−c)]1c(n∑︀i=1y i+β)−1,且为可容许估计.证明:λ的先验分布服从Gamma分布Γ(α,β),则有密度函数形式:π(λ|α,β)=βαΓ(α)λα−1e−βλ,其中λ>0,α>0,β>0,根据Bayes公式可以得出λ的后验密度:π(λ|X)∼Γ(n∑︀i=1δi+α,n∑︀i=1y i+β).根据Gamma分布的密度函数，可以推出λ的Bayes估计:δB(Y)={E[(1λ)c|X]}−1c第四章Mlinex损失函数下定时截尾情形下的参数估计=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩[n∑︀i=1y i+β]n∑︀i=1δi+αΓ(n∑︀i=1δi+α)∫︁+∞λ−cλn∑︀i=1δi+α−1e−(n∑︀i=1y i+β)λdλ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭−1c=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩[n∑︀i=1y i+β]cΓ(n∑︀i=1δi+α)Γ(n∑︁i=1δi+α−c)⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭−1c=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Γ(n∑︀i=1δi+α)Γ(n∑︀i=1δi+α−c)⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦1c(n∑︁i=1y i+β)−1.(4.2)下面证明Bayes估计的可容许性:由于Bayes估计的Bayes风险不大于任何估计的Bayes风险,若存在一个λ的估计δ0,其Bayes风险是有限的,则可以说明δB(Y)的Bayes 风险是有限的,进而可得δB(Y)是唯一的,且是可容许的.我们取δ0=T.r(π,δ0)=ωE[(Tλ)c−c ln(Tλ)−1]=ω{E(Tc)c−cE(ln T)+cE(lnλ)−1},(4.3)这里E表示关于λ和T的联合分布取期望.其中|E(Tc)c|<+∞,|cE(ln T)|<+∞是很显然的,故只需证明|cE(lnλ)|<+∞即可.在文献[4]2.3节已经证明了|E(lnλ)|<+∞,则r(π,δ0)<+∞,故δB(Y)是唯一的,且是可容许的.S4.2随机模拟本小节中,我们用Matlab软件对参数进行估计,采用均方误差方法对λ的Bayes估计与极大似然估计进行比较.考虑λ=1的指数分布,损失函数(3.2)中令ω=1,λ的先验分布取Γ(4,4),改变样本容量n、定时截尾T和损失函数(3.2)中c的取值,分别进行1000次模拟,计算出λ的Bayes估计与极大似然估计的平均估计值以及各自的均方误差.。
定时截尾寿命实验与定数截尾实验下的最大似然估计法
长，由于时间和财力的限制，我们不可能得到完全样本，于是就考虑截尾寿命试验.
常用的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种截尾寿命试验：
一种是定时截尾寿命试验。假设将随机抽取的 n 个产品在时间 t=0 时同时投入试
验，试验进行到事先规定的截尾时间 t0 停止.如试验截止时共有 m 个产品失效，它们
的失效时间分别为
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ L ≤ tm ≤ t0 ,
应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的一个样本值，则似然函数为
n
n
∏ L( p) =
n
p xi (1 −
p)1− xi
=
∑ xi p i=1 (1 −
∑ n− xi p) i=1 ,
i =1
n
n
∑ ∑ 于是 ln L( p) = xi ln p + (n − xi ) ln(1 − p) .
考虑函数
n
∏ f (xi ;θ ) dxi
i =1
n
∏ L(θ ) = L( x1, x2 ,L, xn ;θ ) = f (xi ;θ ) i =1
同样称 L(θ ) 为样本的似然函数.
最大似然估计法的方法:
固 定 样 本 观 察 值 x1, x2 ,L, xn ， 在 θ 取 值 的 可 能 范 围 内 Θ 挑 选 使 似 然 函 数
这一概率随θ 的取值而变化，它是θ 的函数，称 L(θ ) 为样本的似然函数.
统计基础课程标准
《统计基础》课程标准1.概述1.1课程的性质统计基础是专业基础课，是概率论的后续课程，在现实中的应用性很强，是各种统计理论的数学基础分析理论，先期完成的课程必须有高等代数、数学分析和概率论。
统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。
由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。
统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制、时间序列分析应用于石油勘测和经济管理、马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是统计发展的一个新趋势。
通过对统计基础的学习，使学生掌握统计基础的基本概念、基本理论及基本思想和方法，而且能够熟练地应用这些方法解决科学研究和实际工作中实际问题，并为今后学习后续课程打下必需的基础。
1.2课程设计理念●着重基础、着重标准，在我国迄今为止，有关统计理论的教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色，只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致；●力求在简洁的基础上使学生能从总体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如的应用这些理论。
1.3课程开发思路●以《概率论与数理统计》（第三版）浙江大学盛骤谢式千编，高等教育出版社,2001为蓝本，极力用较为通俗的语言阐释统计基础的思想和方法；●紧密结合实际应用与计算机应用加以阐述和学习；●理论和方法相结合，以强调统计基础理论的应用价值，总之，强调理论与实际生活应用相结合的特点，力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的学习打下良好的基础；●针对课程特点，形成了新的教学指导思想，即以学生为本，注重学生基础数学理论培养，使学生掌握“统计”的基本概念和方法，培养学生解决相关实际问题的能力。
随机截尾情形下几何分布的参数估计
随机截尾情形下几何分布的参数估计何朝兵;刘华文【摘要】得到了随机截尾情形下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.【期刊名称】《湘潭大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(035)001【总页数】4页(P29-32)【关键词】随机截尾;几何分布;最大似然估计;置信区间;中心极限定理【作者】何朝兵;刘华文【作者单位】安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455000;山东大学数学学院,山东济南250100【正文语种】中文【中图分类】O213.2几何分布是一种很重要的离散型寿命分布,并且与指数分布有许多相似性,例如都具有无记忆性等.对几何分布的研究虽然没有指数分布那么成熟,但也有一些研究成果,可参看文献[1～10].文献[11～13]研究了随机截尾试验下连续型分布的参数估计,而对于几何分布情形还没有文献研究.本文得到了随机截尾试验下几何分布参数的最大似然估计和近似置信区间,并且求出了平均寿命极大似然估计的数学期望和方差.1 离散型寿命随机截尾试验模型设受试产品寿命X1,X2,…是相互独立、同分布且取正整数的随机变量序列,Xi的分布律为P(Xi=m)=P(m;p),i=1,2,…,这里p是参数.寿命截尾时间Y1,Y2,…是相互独立、取正整数的随机变量序列,Yi的分布律为P(Yi=m)=gi(m),i=1,2,…,gi(m)与参数p无关.假定Xi与Yi相互独立.现在有n个产品进行寿命试验.设观察到的数据为{Zi},i=1,2,…,n.每个Zi如下取值.(1) 当Xi≤Yi时,产品在截尾之前失效,此时知道产品寿命的确切值,故取Zi=Xi;(2) 当Xi>Yi时,产品寿命大于截尾时间,此时只知道截尾时间而不知道产品寿命,故取Zi=Yi.综上知Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi).再取i=1,2,…,n.在试验结束时,可得到n组观察值:(m1,δ1),(m2,δ2),…,(mn,δn),这就是我们能获得的随机截尾试验数据.为求似然函数,先求Zi与δi的联合分布律.P(Zi=mi,δi=0) =P(Yi=mi,Xi≥mi+1)=P(Yi=mi)P(Xi≥(k;p),P(Zi=mi,δi=1)=P(Xi=mi,Yi≥mi)=P(Xi=mi)P(Yi≥mi)=P(mi;,故Li(p) =[P(mi;δi(k;p)]1-δi,mi=1,2,… ; δi=0,1.则似然函数,由于截尾时间分布中不含未知参数p,故若记,则.2 随机截尾情形下几何分布参数的极大似然估计当产品寿命Xi服从几何分布Geo(p)时,(Z1,δ1),(Z2,δ2),…,(Zn,δn)的联合分布律,即似然函数为,对上述似然函数求对数,令其导数为零可得p的极大似然估计为δi/,而平均寿命θ=1/p的极大似然估计为/δi.如果Yi服从几何分布Geo(p0),可以求出的数学期望与方差定理在随机截尾寿命试验中,若产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),产品平均寿命为θ=1/p,为θ的极大似然估计,则;,其中 , b=qq0 , ,q=1-p,q0=1-p0.证明此时,则似然函数,令 , b=qq0 , ,则.的数学期望为的数学期望为3 随机截尾情形下几何分布参数的区间估计假设产品寿命服从几何分布Geo(p),截尾时间服从同一几何分布Geo(p0),下面讨论p的区间估计.设δi,则N服从二项分布b(n,p1).若N=r,由文献[14]知p1的1-α置信区间为,,其中,,而Fα/2(2r+2,2n-2r)是F分布F(2r+2,2n-2r)的下α/2分位点.由,得,则p的1-α置信区间为,,其中,上面求置信区间时只用了(δ1,δ2,…,δn),而未用(Z1,Z2,…,Zn),下面我们利用(Z1,Z2,…,Zn)再求出一个置信区间,然后取它们的并集作为最后的置信区间,这样一来,样本的信息都用到了.由于Zi=Xi∧Yi=min(Xi,Yi)服从几何分布Geo(p2),p2=1-qq0,所以E(Zi)=1/p2,Var(Zi)=q2/.由中心极限定理知～AN(n/p2,nq2/,则≤,zα/2为标准正态分布的上α/2分位点.经过简单计算,得p2的1-α置信区间为[x1,x2],x1<x2,其中x1,x2是下面方程的根, .由p2=1-qq0,得,则p的1-α置信区间为,.设,,∪,,则P(p∈,≥1-α,所以,为p的1-α近似置信区间.参考文献[1] BHOJ D, ABSANULLAH M.Estimation of the generalized geometric distribution using ranked set sampling[J]. Biometrics,1996(52):685-694. [2] FERGUSON T S. A characterization of the geometric distribution[J].Amer Math Mothly,1972,27(2):256-260.[3] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布的统计特征[J].数学年刊A辑(中文版),1998,19(2):155-164.[4] 毛用才.基于顺序统计量的几何分布特征的进一步结果[J].纯粹数学与应用数学,1995,11(2):115-119.[5] 徐晓岭,费鹤良,王蓉华.几何分布的两个统计特征[J].应用概率统计,2006,22(1):10-20.[6] 杨振海,王松桂.几何分布的参数估计及应用[J].应用概率统计,1998,14(1)：31-37.[7] 吴绍敏,程细玉.几何分布恒加应力寿命试验下的混合数据分析[J].华侨大学学报,1997,18(1):6-10.[8] 徐晓岭,王蓉华,费鹤良.几何分布产品定数截尾场合下参数的点估计[J].强度与环境,2009,36(2):51-63.[9] 魏立力,张文修.几何分布的一类贝叶斯停止判决法则[J].应用数学学报,2003,26(3):181-185.[10] 刘银萍.截断情形下几何分布的参数估计[J].东北师大学报(自然科学版),2009,41(3):14-16.[11] 陈家鼎.随机截尾情形下Weibull分布参数的最大似然估计的相合性[J].应用概率统计,1989,5(3):226-233.[12] 杨纪龙,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE的相合性及渐近正态性[J].应用概率统计,2000,16(1):9-19.[13] 陈怡南,叶尔骅.带有不完全信息随机截尾试验下Weibull分布参数的MLE[J].数理统计与应用概率,1996,11(4):353-363.[14] 茆诗松,汤银才,王玲玲.可靠性统计[M].北京:高等教育出版社,2008:128.。
基于截尾数据对女性寿命的估计
第 １ 期
刘 小 锋 等 ： 基 于截 尾 数 据 对 女 性 寿 命 的估 计
４ ５
子 的概率 。Ｃ ：如 果 一个 女性 移居 ，则 Ｃ是她 的移 居 年龄 ，否 则 ｃ 妄∞，ｃ～Ｇ．Ａ：若一 个 女性 的丈夫 在她 生第 Ｊ Ｖ个孩 子 后死 亡 ，此 时女 性 的年龄 是 Ａ，否则 Ａ＝Ｏ ，则 Ａ拥 有 一个 未知 的分 布 函数 Ｄ，Ｄ 是 绝对连 ＿ｏ
ｍａ ｉ ｘ ｍｕｍ ｋ ｌｈ ｏｄｍｅ ｈ ｄ ｗａ ｓ ｄ ｔ ａ ｅｅ ｔｍａｅ ｈ ｋ ｏ ａ ａ ｔｒ ｎ ｔ ｅｍｏｄ １ ｌ ｅ ｉ ｏ ｔ ｏ ｓｕ ｅ ｈ ｖ ｓｉ ｔｄ ｔ ｅｕｎ ｎ ｗｎ ｐ ｒ ｍｅｅ ｓｉ ｈ ｉ ｏ ｅ．
许 多 国外统 计学 家 ，根据 英 国十七 、十八世 纪堂 区登记 册上 的数 据 ，用 不 同的方法 估计 了 当时人们 的
续 的 。Ａ １ ｃ表 示一 个 女性 的死 亡年 龄 是否 被 登记 。 ＝ ）
１ Ｍ≤ Ｔ人Ｃ） 示 一个 女性 的结婚年 龄 是否被 ｛ 表
登 记 。 Ｗ＝ ｛ Ⅳ≤ Ａ ≤ Ｃ＾Ｔ 】表 示 一 个 女 性 的 丈 夫 死 亡 时 她 的 年 龄 是 否 被 登 记 。 ＩＢ Ｎ ｍａ ｛ｔ Ｉ ＝ ｘ ｉ ： ≤ 人ＣＡＣｐ￣ ～个 女 性生 育孩 子的 个数 。ｃ 表 示 女性 更 年期 开始 的 年龄 ，并 假 定所有 ＞ Ｂ ｝ ｍ 女性 更年 期 开始 的年 龄 一样 。 ｙ ｍｉ｛ ，Ｙ ， ｖ － ｘ ｘ ） ＝ ｎｘ 】 ｍａ ｛ ，Ｙ ． ｙ 下面 是 关于 一个 女性 的观 察 值 ：
寿命 。登记册 上包括 所有 生活在 这个 堂区 的人 的出生 、结婚 、生 子 、孩子 或配 偶 的死 亡和 本人 死亡 的 日期 。
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称
《概率论与数理统计》教学大纲课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability Theory and Mathematical Statitics课程编号：09420003学时数及学分：54学时 3学分教材名称及作者：《概率论与数理统计》（第三版）, 盛骤、谢式干、潘承毅编出版社、出版时间：高等教育出版社，2001年本大纲主笔人：邓娜一、课程的目的、要求和任务概率统计是一门重要的理论性基础课，是研究随机现象统计规律性的数学学科，本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质。
通过本课程的学习，要使学生初步理解和掌握概率统计的基本概念和基本方法，了解其基本理论，学习和训练运用概率统计的思想方法观察事物、分析事物以及培养学生用概率统计方法解决实际问题的初步能力。
概率统计的理论和方法的应用是非常广泛的，几乎遍及所有科学技术领域，工农业生产和国民经济的各个部门，例如使用概率统计方法可以进行气象预报，水文预报以及地震预报，产品的抽样检验，在研究新产品时，为寻求最佳生产方案可以进行试验设计和数据处理，在可靠性工程中，使用概率统计方法可以给出元件或系统的使用可靠性以及平均寿命的估计，在自动控制中，可以通过建立数学模型以便通过计算机控制工业生产，在通讯工程中可用以提高抗干扰和分辨率等。
所以我院各专业学习概率统计是非常必要的，它也是学习专业课的基础。
二、大纲的基本内容及学时分配本课程的教学要求分为三个层次。
凡属较高要求的内容，必须使学生深入理解、牢固掌握、熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“熟练掌握”一词表述。
在教学要求上一般的内容中，概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“掌握”表述。
对于在教学上要求低于前者的内容中，概念、理论用“会”一词表述，方法、运算用“知道”表述（一）随机事件及其概率1、理解随机实验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念。
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
ｊ
Ｈ （ｅ ） ｅ 。 － Ａ一 一 ）３ １． ｉ
ｆ Ｉ ＝
删失情形 下 的参 数 估计 却 不 是那 么 简单 ，例 如在
文献 ［ ］ 中对定数截 断情形下 的离散 型分 布泊松 ２ 分布 的参 数估 计 问题 进 行 了 讨论 ，但 对 连 续 型分 布却没有 给出进一步 的结论 ． 本 文就是 讨 论在 定 数 截 断 和随 机 删 失这 两 种
进 一步 可得对数 似然 函数 为 ：
ｌ （） ＝ ∑ ｌ （ｅ ） ） ＝ ｎＡ Ｌ ｎ Ａ ｅ 卜 ］ ［
ｉ １ ：
主 １ —Ｙ１ ． ［ ８ Ａ（一 ｎ一 ｈ ｏ ］
对 Ａ求 偏 导 得 ： Ｙ（ ） ． ｏ １一 ］ ＝
ｉ ｌ ＝
情形 下截尾指 数分布 的参数估计 问题 ． １定数截 断情形下 的参数估计 设 Ｘ为非 负 随 机 变量 ， Ｘ 表示 服从 参 数 为 用
＋
２ １ 年第 １ ０１ 期
陆
安 ：两种截断 和删 失情形下截尾指数分布 的参数估计
‘３ ・ ５
设 Ｘ＝（
．， ）为观 测数 据所 组 成 的向量 ， －
霉． … 一Ａ擎 ０） ． ２ ： ｌ ｎ Ｌ （
：
由于种 种原 因 ， 者 没 有 观 测 到 ｘ， 观 测 到 了 Ｙ 笔 只
两种截断和删失情形下截尾指数分布的参数估计
陆 安
（ 安徽大 学数学科 学学院 安徽合肥
关键 词 ：截尾 指数 分布 定数 截 断 随机删 失
２０ ３ ） ３ ０ ９
Ｅ 算 法 Ｍ
极 大似然估 计
中图分类号：０２２１ 文献标识码： 文章编号：１７ ９４ ２ １）０ — ０４一 （３ １． Ａ ６４— ５５（０１ １ ０３ ０） 所 谓截 尾指 数 分 布 ，即指 服 从 指数 分 布 的随 机变量 均为 非负 的情 况．截 尾 指 数分 布 是 概 率统 计 中一种重 要 的分 布 ，也是 生 存 分 析 中最 重 要 的 参数模 型 之一 ．在 实 际应用 中 ，常 用 截 尾 指 数分
基于威布尔辅助模型的参数估计方法在伽玛分布的应用
（７）
λ ＝ μ／ α
威布尔分布的概率密度函数为
ｆ（ ｔ） ＝
βæ ｔ ö
ç
÷
ηèηø
β－１
数为
ｌｎ（ Ｌ） ＝
ｒ
∑ ｌｎ［ ｆ ｇ（ ｔ ｉ ；α，λ） ］ ＋
ｉ＝１
ｎ
ｌｎ［１ － Ｆ ｇ（ τ ｊ ；α，λ） ］
∑
ｊ＝１
（１３）
直接最大化式（１３） ，即可得到参数 α 和 λ 的极大
α ＝ １２ ７。因此，可 以 确 定 α 的 常 用 取 值 范 围 大 致 为
α∈［１，１２ ７］ 。 考 虑 α ＝ （３，５，７，９，１１） 。 由 于 假 定 了
μ ＝ １００，因此，由式（７） 可以确定每个 α 的取值对应的
Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１０１１４， Ｃｈｉｎａ）
摘要
由于现场所需观察的系统较多且观测时间相对于产品的平均寿命较短，实际收集的寿命数据往往是高度截
尾数据。 对于此类数据，经典的参数估计方法不能提供精确且稳健的估计。 为此，提出了一种基于威布尔辅助模型的参
数估计方法，并使用一个数值实验证实了该方法在高度截尾数据条件下，可以为伽玛分布提供比经典参数估计方法更精
（ 例如威布尔分布、伽玛分布） ，然后根据模型的特征
量对产品可靠性进行预测
［１］ ５１⁃５８
。 在此过程中，参数
估计是关键的环节之一，参数估计的精度直接影响到
可靠性预测的准确性。
法［１０⁃１２］ 、 线 性 无 偏 估 计 法［１３］ 和 其 他 方
布尔分布。 考虑伽玛分布的文献还局限于极大似然法
和计算烦琐的 Ｂｏｏｔｓｔｒａｐ 方法 ［１７⁃１８］ 。 因此，亟需针对伽
截尾分布的x 2优化参数估计法
但对于截尾数据或数据不完全状态 ， 大似然方 极
法、 矩法 、 图分析法等传统方法的误差相 当大 ， 下面通
过 最小的优化方法来估计截 尾数据或不完整数据 的分布参数及确定其分布类型。
计及分布模型的确定有着很重要的意义。 参数估计一般有图分析 法和数值分析法两种 ， 图
分析法一般在概率纸上进行 ， 它的缺点是精度低 ， 如果 数据量相 当大 ， 图也有 困难 ； 作 优点是 简单 、 方便 、 直 观， 适用于现场和精度要求不高的场合。但现在辅助 Ｍ ＴＡ Ａ Ｌ Ｂ软件可方便地做 出一些数据 的概率 图， 为用
Ｃ ｒｅ ｏ ｄ ｎ ａ ｔ ｏ ： Ｉ Ｃ ｕ ｌ ，Ｅ ｍ ｌ ： ｉｃ ｅ ｌｉ ２ ５＠ｅ ｏ Ｌ ｒ ， ｅ ｉ＋８ — ０ ５ ６ ８ ０ ， ａ ：＋８ 一 ０ ５ ６ ３ ９ ｏｒ ｐ ｎ ｉ ｓ ｇ ｕｈ ｒ Ｌ Ｕ ｈ ｎ￣ｉ － ａ ｌ ｌ ｈ ｎｅ０ １ ｕ ｙ ｕ． ＇ｆ Ｔ ｌ ｏｔ ６ １— １８２４ Ｆ ｘ ６ ｌ — １８ １ ５ Ｍａ ｕ ｃ ｐ ｅ ｅｖ ０ ４ ３ ８，ｉ ｅ ｉ ｄ ｆｒ ２ ０ ０ ２ ． ｎ ｓ ｒ ｔ ｃ ｉｅ ２ ０ ０ １ ｉ ｒ ｄ ｎ ｒｖｓ ｏｍ ０ ４ ５ ８ ｅ
统计-基础课程标准.
《统计基础》课程标准1.概述1.1课程的性质统计基础是专业基础课，是概率论的后续课程，在现实中的应用性很强，是各种统计理论的数学基础分析理论，先期完成的课程必须有高等代数、数学分析和概率论。
统计是数学的一个有特色且又十分活跃的分支，一方面，它有别开生面的研究课题，有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻;另一方面，它与其他学科又有紧密的联系，是近代数学的重要组成部分。
由于它近年来突飞猛进的发展与应用的广泛性，目前已发展成为一门独立的一级学科。
统计的理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中，如预测和滤波应用于空间技术和自动控制、时间序列分析应用于石油勘测和经济管理、马尔科夫过程与点过程统计分析应用于地震预测等，同时他又向基础学科、工科学科渗透，与其他学科相结合发展成为边缘学科，这是统计发展的一个新趋势。
通过对统计基础的学习，使学生掌握统计基础的基本概念、基本理论及基本思想和方法，而且能够熟练地应用这些方法解决科学研究和实际工作中实际问题，并为今后学习后续课程打下必需的基础。
1.2课程设计理念●着重基础、着重标准，在我国迄今为止，有关统计理论的教材不少，这些教材和理论参考文献各自保持了自己的特色，只有着重基础、着重标准，才能与国际先进的理论研究趋势保持一致；●力求在简洁的基础上使学生能从总体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如的应用这些理论。
1.3课程开发思路●以《概率论与数理统计》（第三版）浙江大学盛骤谢式千编，高等教育出版社,2001为蓝本，极力用较为通俗的语言阐释统计基础的思想和方法；●紧密结合实际应用与计算机应用加以阐述和学习；●理论和方法相结合，以强调统计基础理论的应用价值，总之，强调理论与实际生活应用相结合的特点，力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的学习打下良好的基础；●针对课程特点，形成了新的教学指导思想，即以学生为本，注重学生基础数学理论培养，使学生掌握“统计”的基本概念和方法，培养学生解决相关实际问题的能力。
概率论.pdf
考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。
带截尾数据的混合广义指数分布的参数估计
渐减少或者保持稳定 ． 工程师常常将这种现象归结为不 同的失效机制 ， 从统计上说就是产品总来 自于不 同的子 总体［ 本文 中主要研究 混 合广义 指数 分 布在 截 尾 场合 下 的参数 估 计 方 法 ， 型 的概 率 密度 由式 ． 模
（） １给出 ：
／ Ｐ， Ｐ一，ｌ 口，１ ） ｐ［ ｆ 一ｅ 产ｔｌ ］ ＞０ ’ ，ｌ ｌ口， ， （ …， …， …， ＝∑ （ — ）－ — ， ａ １ ／ｅ ｉ
近来 ，ｕｔ和 Ｋ ｎｕ 提出了广义指数分 布， Ｇｐ ａ ｕｄ ［ 并研究 了它 的一些性质 ． 单总体广义指数分布的研究
见 文献 ［ ２—５ ， 实际 上常 常遇 到混合 分 布 的情 形 ． 合广 义 指 数 分 布 的失 效模 型在 许 多领 域 都 有广 泛 ］但 混
应用， 尤其在 偏斜 的寿命 数据 分析 中 ， 人们 经常 发现其 失效 率 起初相 当高 ， 后 随着年 龄 的增加 失 效率 逐 然
２ Ｄ ｐｒ ｅｔ ｆ ｔｅ ａ ｃ，Ｓｕ ｅｓ Ｕ ｉ ｒ ， ａｊ ｇ １１９ ｈ ａ ． ｅａｔ ｎ ｏ ｈｍ ｔｓ ｏｔ ａ ｎ ｅ ｉ Ｎ ｎ ｎ １８ ，Ｃｉ ） ｍ Ｍａ ｉ ｈ ｔ ｖｓ ｉ ２ ｎ
Ａ ｓ ａｔ Ｉ ｔ ｓ ａｅ， ｉ ｒ ｍ ｄｌ ｆ ｉ ｄｇｎｒ ｉ ｄｅｐｎｎｉ ｉ ｒ ｕｉ ｓ（ Ｅ ）ｉｃｎｉ． ｂｔ ｃ ： ｎ ｈ ｐｒ ａ ａ ｕｅ ｏ ｅ ｏ ｘ ｅｅ ｌ ｅ ｏ ｅｔ ｌ ｓ ｉ ｔ ｎ ＭＧ Ｄ ｓ ｏｓ ｒ ｉｐ ｆｌ ｍ ｅ ａｚ ｘ ａ ｄ ｔｂ ｏ ｄ
第 ２ 卷 第 ｌ ２ ０期
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． ０ １２ １
重 庆 工 学 院 学 报（ 自然科 学）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎｑｎ ｓｔｔ ｏ ｅｈ ｏ ｇ（ ａ ｒｌ ｃ ｎ ｅ ｏｒａ ｏ ｏｇｉｇＩ ｔｕ ｆ ｃｎｌ ｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） Ｃ ｎｉ ｅ Ｔ ｏ ｕ ｅ
基于截尾数据的极值分布参数的简单估计量
基于截尾数据的极值分布参数的简单估计量
孙春燕
【期刊名称】《荆州师专学报》
【年(卷),期】1990(000)002
【摘要】本文介绍了极值分布参数的新的估计量，对截尾少于20％（0．8≤P＜1．0）的情况，新估计量显示出比原先提出的估计量有更高的效率，本文对新估计量的一优势作了分析，并找出了一这优势存在的原因，由此说明通过新估计量可进行显著检验和计算置信区间。
【总页数】4页(P21-24)
【作者】孙春燕
【作者单位】荆州师专数学科
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.基于定数截尾数据指数分布参数的最短区间估计 [J], 王玉芳
2.一类正极值指标的截尾估计量 [J], 刘传递;何江平;彭作祥
3.基于Matlab的随机截尾数据下的Weibull分布参数估计 [J], 史景钊;张峰;陈新昌
4.基于截尾数据威布尔寿命分布参数的MLE的存在唯一性 [J], 陈怡南
5.基于截尾数据的极值分布参数的简单估计量 [J], 孙春燕
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概率论与数理统计：7-2基于截尾样本的最大似然估计
t1
t
2
tm
(
n
m
)
tm
]
对数似然函数为
ln
L()
m
ln
1
[t1
t2
tm
(n
m)tm
],
令 d ln L() 0, d
则
m
1 2
[t1
t2
tm
(n
m)tm
]
0,
得到 的最大似然估计为 ˆ s(tm ) . m
其中 s(tm ) t1 t2 tm (n m)tm 称为总 试验时间, 它表示直到时刻tm 为止 n 个产品的 试验时间的总和.
(二)定数截尾寿命试验
假设将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时 同时投入试验, 试验进行到有m 个(m 是事先规 定的, m n) 产品失效时停止, m 个产品的失效 时间分别为 0 t1 t2 tm , 这里 tm 是第m 个产品的失效时间, 所得的样本t1, t2 ,, tm 称 为定数截尾样本.
均寿命θ的最大似然估计.
解 n 50, m 15, s(t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
8270,
的最大似然估计为 ˆ 8270 15
551.33 (小时).
第二节 基于截尾样本的最 大似然估计
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计
一、基本概念
1.寿命分产布品:寿命T 是一个随机变量,它的分布称
为寿命分布.
2.完全样本:
将随机抽取的n 个产品在时间t 0 时,同时 投入试验, 直到每个产品都失效. 记录每一个产 品的失效时间, 这样得到的样本(即由所有产品 的失效时间0 t1 t2 tn 所组成的样本)叫 完全样本. (一种典型的寿命试验)
位置-尺度分布族基于逐次定数截尾样本拟合优度检验
浙江工商大学硕士论文——————————＿————————————————————————————————————————————————————————————一第一章引言第一节研究背景及选题意义由于在统计分析中很多统计推断方法的有效性取决于样本是否服从某一分布（族）的假设，所以检验样本数据是否来自某具体分布（族）至关重要。
为此，许多统计学者提出了各种形式的检验方法，这类检验统称为“拟合优度＂检验。
拟合优度检验在统计理论中有其特殊地位，它不仅是统计基本理论的重要组成部分，而且和实际应用密切相关。
众所周知，参数估计和参数假设检验，是总体分布服从某一类型的情况下进行的。
例如，当总体服从正态分布时，关于分布的参数（如期望、标准差）的点估计、区间估计和假设检验，有极其严密、系统的理论，在实际中得到广泛应用。
当总体服从多元正态分布时，有关参数的点估计、区间估计和假设检验构成了多元统计分析的主体。
在线性回归模型，或更复杂的其它模型中，通常也是在假定样本服从特定分布的前提下展开相关的理论研究。
在分析实际数据时，通常也总是先选定统计模型，然后按照选定的模型的理论分析实际数据。
因此，不管是从理论研究还是实际数据的分析，经常需要回答总体分布或者样本数据是否来自设定的统计模型所要求的总体分布族这个问题。
寿命数据分析以及对老化或失效过程模型化的过程就是一个典型，在这个过程中经常会遇到：是否可用已知分布（族）拟合现实数据，拟合好坏的标准是什么等诸如此类问题。
自英国统计学家Ｐｅａｒｓｏｎ在１９００年提出ｚ：检验以来，经过无数统计学者的努力，对基于完全样本的拟合优度检验，成果丰硕。
一些适合特定分布的拟合检验方法，特别是常见分布的拟合检验方法为广大统计工作者熟悉和应用。
然而，在许多寿命测试和可靠性研究中，为了减少相关实验的成本和时间，人为的事先有计划的移走部分未失效的试验单位，或者由于其它的原因，实验者往往不能获得所有试验单位失效时间的信息，从而形成了有删失的不完全样本。
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163,166,167,170,172. 试求电池的平均寿命估计.
解 定数截尾试验
n = 50, m = 15,
s(t15 ) = 115 + 119 + ⋅ ⋅ ⋅ + 172 + (50 − 15)× 172 = 8270
寿命分布是指数分布，概率密度
f
(t
)
=
⎪⎨⎧θ1
−t
eθ
,
t
>
0
⎪⎩0 ,t ≤ 0
下面估计θ ：
θ > 0 未知
一个产品在 (ti ,ti + dti ] 失效的概率近似为
f (t
)dt
=
1
e − ti θ
dt
i = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅, m
i
θ i
i
∫ ti +dti f (t )dt ti
取似然函数：
θ θ L(
)=
−[t1 +t2 +⋅⋅⋅+tm +(n−m )tm ]
1θ e m
ln
L(θ
)
=
−m
lnθ
−
1
θ
[t1
+
t2
+
⋅⋅⋅
+
tm
+
(n
−
m)tm ]
令
d ln L(θ ) dθ
=
−
m
θ
+
1
θ2
[t1
+
t2
+
⋅⋅
⋅
+
tm
+
(n
−
m)tm
]
=
0
⇒ θ 的最大似然估计量为：θˆ = s(tm )
一、 定数截尾试验的最大似然估计 抽取 n 个产品，t = 0 时开始试验，试验
进行到 m 个（m 是事先规定的 m < n ）失效 时间停止. m 个失效产品的失效时间分别为：
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ⋅⋅⋅ ≤ tm
tm --第m个的失效时间
0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ tm --定数截尾样本
其余 n − m 个寿命&m
1
θ
e
−
t
θ
dt
)n−m
= (e−tm θ )n−m
n 个样本所出现观察结果的概率
∏ ≈
(Cnm
m i =1
1
θ
e
−
ti
θ
dti
)
(e
−
tm
θ
)n−m
=
Cnm
1
θm
−[t1 +t2 +⋅⋅⋅+tm +(n−m )tm ]
e
θ
dt1dt2
⋅
⋅
⋅
dtm
θ 的最大似然估计为
θˆ = 8270 = 551 .33 小时
15
第二节 基于截尾样本的最大似然估计
一、定数截尾试验的最大似然估计 二、定时截尾试验的最大似然估计
引言
可靠性. 寿命T—随机变量 — 随机变量分布—寿命分布
完全样本：n 个产品，同时投入试验， 直到每个产品都失效的样本.
不完全样本：截尾寿命试验
截尾寿命试验
⎧ ⎨ ⎩
定时截尾寿命试验 定数截尾寿命试验
m
其中 s(tm ) = t1 + t2 + ⋅ ⋅ ⋅ + tm + (n − m)tm
——总试验时间.
二、 定时截尾试验的最大似然估计
定时截尾样本 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ tm ≤ t0
（ t0 为截尾时间）
似然函数 θ θ L(
)=
−[t1 +t2 +⋅⋅⋅+tm +(n−m )t0 ]
1θ e m
θ 的最大似然估计为 θˆ = s(t0 ) ，其中
m
s(t0 ) = t1 + t2 + ⋅ ⋅ ⋅ + tm + (n − m)t0
——总试验时间.
例 设电池的寿命服从指数分布, 其概率密度
为
f
(t
)
=
⎪⎧ 1
⎨θ
e−t
/θ
,
t > 0,
⎪⎩0,
t ≤ 0,
θ > 0 未知. 随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到其中有15只失效时结束试 验, 测得失效时间(小时)为