云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考数学试题(解析版)

高一年级六月月考数学试卷
一､选择题(每小题5分，共60分)
1. 已知数列{}n a 满足*112,10()n n a a a n N +=-+=∈，则此数列的通项n a 等于
A. 3n -
B. 1n +
C. 1n -
D. 21n +
【答案】A 【解析】 【详解】
1112(1)(31)01n n n n n a a a n n a a ++=--+=∴∴=+--=--+
2. 若0b a <<，0d c <<，则（ ）． A. bd ac < B.
a b
c d
> C. a c b d +>+ D. a c b d ->-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用不等式的基本性质对各选项进行验证. 【详解】
0b a <<，0d c <<，0bd ∴>，0ac <，则bd ac >，A 选项错误；
0a c
<，0b d >，则a b
c d <，B 选项错误；
a b >，c d >，a c b d ∴+>+，C 选项正确；
取1a =，2b =-，1c =-，5d =-，则2a c -=，3b d -=，a c b d ->-不成立，D 选项错误.故选C. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查利用不等式的性质判断不等式是否成立，除了利用不等式的性质之外，也可以利用特殊值法来进行判断，考查推理能力，属于中等题. 3. 在等比数列中，112
a =，1
2q =，132n a =，则项数n 为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 试题分析：由已知
1
111()3222
n -=⨯，解得5n =，故选C ． 考点：等比数列的通项公式．
4. 不等式()2
00ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）
A. 0,0a <∆<
B. 0,0a <∆≤
C. 0,0a >∆≥
D. 0,0a >∆>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据一元二次不等式在R 上恒成立的条件判断出正确选项.
【详解】由于一元二次不等式()2
00ax bx c a ++<≠的解集为R ，所以0,0a <∆<.
故选：A
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式在R 上恒成立问题，属于基础题. 5. 在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于（ ） A.
23
B. 23
-
C. 13
-
D. 14
-
【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理化角
边得::2:3:4a b c =；设2340a k b k c k k ===>，，（）
利用余弦定理得解. 【详解】由正弦定理可得sin sin sin ::234A B C a b c ==:::: 设2340a k b k c k k ===>，，（）
由余弦定理可得，c 22222249161
cos 22234
a b c k k k C ab k k +-+-===-⨯⨯，
故选：D
点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.
6. 一个等比数列{}n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A. 63 B. 108
C. 75
D. 83
【答案】A 【解析】
试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即
成
等比数列，题中，根据等比中项性质有，则
，故本题正确选项为A.
考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.
7. 设,x y 满足约束条件1
{2
x y y x
y +≤≤≥-，则3z x y =+的最大值为 （ ）
A. -8
B. 3
C. 5
D. 7
【答案】D 【解析】
试题分析：不等式表示的可行域为直线1,,2x y y x y +===-围成的三角形及其内部，三个顶点为
()()11,,2,2,3,222⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，当3z x y =+过点()3,2-时取得最大值7 考点：线性规划
8. 下列函数中，能取到最小值2的是（ ） A. ()1
0y x x x
=+
< B. 2sin sin 2
x y x =+ C. ()1x
x y e x R e
=+∈
D. 22
1
y x =
+【答案】CD 【解析】 【分析】
利用基本不等式可验证各选项中函数的最值，同时在利用基本不等式时，要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A 选项，当0x <时，1
0y x x
=+
<，A 选项不合乎题意； 对于B 选项，当()22k x k k Z πππ-<<∈时，sin 0x <，则2sin 0sin 2
x y x =+<，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，对任意的x ∈R ，0x e >，由基本不等式可得211x x x x y e e e e
=≥+=⋅， 当且仅当1
x
x e e =
时，即当0x =时，等号成立， 所以，函数()1x
x y e x R e
=+∈的最小值为2，C 选项合乎题意；
对于D 选项，
2
2222
2
2
2
11112
121
1
1
1
x y x x x x x x ++=
=
=++
≥+⋅
=++++，
当且仅当2
2
11
x x +=
+时，即当0x =时，等号成立，
所以，函数22
1
y x =+的最小值为2，D 选项合乎题意.
故选：CD.
【点睛】本题考查利用基本不等式求解函数的最值，要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.
9. 如图长方体中，23AB AD ==，12CC =，则二面角1C BD C --的大小为（ ）
A. 30︒
B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒
【答案】A 【解析】 【分析】
设BD 的中点为E ，连结1,EC EC ，易知△CBD 为等腰三角形，可得BD EC ⊥，可证明△11DD C ≌△11BB C ，则11DC BC =，从而可得1BD EC ⊥，即1C EC ∠为二面角1C BD C --所成的平面角，进而由1
1tan CC C EC EC
∠=
，可求出1C EC ∠，即可得出答案. 【详解】设BD 的中点为E ，连结1,EC EC ，由23AB AD ==23BC CD ==CBD 为等腰三角形，故BD EC ⊥，
又因为111111111190
DD BB D C B C DD C BB C ︒⎧=⎪
=⎨⎪∠=∠=⎩，所以△11DD C ≌△11BB C ，则11DC BC =，
所以1BD EC ⊥，
所以1C EC ∠为二面角1C BD C --所成的平面角，
在△1C EC 中，190C CE ︒
∠=，11
223622
EC BD =
==12CC ， 所以1123tan 36
CC C EC EC ∠=
==
，即130C EC ︒∠=. 所以二面角1C BD C --的大小为30︒. 故选：A.
【点睛】本题考查二面角的求法，考查学生计算求解能力，属于基础题. 10. 函数2
1()cos 2
f x x =-
的周期为（ ）
A.
4
π
B.
π2
C. 2π
D. π
【答案】D 【解析】 【分析】 由2
1cos 2
cos 22
x x -
=
，结合周期公式2π
T ω=，可求出答案.
【详解】2
11()cos 2
21cos 2cos 222
f x x x x =--+=
=， 所以函数()f x 的周期为2π
π2
=. 故选：D.
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式的运用，考查三角函数的周期，考查学生的计算能力，属于基础题. 11. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A. -4 B. -6 C. -8 D. -10
【答案】B 【解析】 【分析】
把3a ，4a 用1a 和公差2表示，根据1a ，3a ，4a 成等比数列，得到2
314a a a =
解得.
【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，
2314a a a ∴=
即()()2
11146a a a +=+ 解得18a =- 故选：B
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题. 12. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A.
π2
B.
6
π C.
4
π D.
π3
【答案】B 【解析】 【分析】
设正方体的棱长为a ()0a >，可知与该正方体各面都相切的球的半径为2
a
r =，进而求出球的表面积及正方体的表面积，从而可求出答案.
【详解】设正方体的棱长为a ()0a >，则与该正方体各面都相切的球的半径为2
a r =
， 该球的表面积为2
2
214π4ππ4
a S r a ==⨯=，正方体的表面积为26S a =，
所以球的表面积与正方体的表面积之比为212ππ
66
S a S a ==.
故选：B.
【点睛】本题考查正方体的
内切球，考查球的表面积及正方体的表面积，属于基础题.
二､填空题(每小题5分，共20分)
13. 在ABC 中，已知4,6,120a b C ==∠=，则sin A 的值是_________. 【答案】57 【解析】 【分析】
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-⋅，可求出c ，再结合正弦定理sin sin a c
A C
=，可求出sin A . 【详解】在ABC 中，已知4,6,120a b C ===，
则由余弦定理可得2
2
2
12cos 163648762c a b ab C ⎛⎫
=+-⋅=+-⨯-
= ⎪⎝⎭
， 76219c ∴==，
由正弦定理sin sin a c A C
=，可得3
4sin 572sin 219
a C A c ⨯
===. 故答案为：
57. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 14. 某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是 【答案】3
【解析】 试题分析：
，解得
.
考点：球的体积和表面积 15. 已知数列{}的前n 项和 2
1n s n n =++，则89101112a a a a a ++++=________．
【答案】100 【解析】
试题分析：(
)(
)
2
2
8910111212712121771100a a a a a S S ++++=-=++-++=． 考点：数列求和．
16. 如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角 C 1—BD —C 的大小为____________
【答案】300
【解析】
取BD 的中点E ，连接1,CE CE ，由已知23AB AD ==，12CC =，易得，23CB CD ==，1114C B C D ==,根据等腰三角形三线合一的性质，我们易得
1,C E BD CE BD ⊥⊥，则1CE C ∠即为二面角的平面角，在1CE C
∆中，
122C E =12CC ，6CE =故130CE C ∠=︒，故二面角的大小为30，故填30. 三､计算题(共计70分)
17. （1）求不等式的解集：2450x x -++<； （2）求函数的定义域：1
52
x y x -=
+. 【答案】解：（1）{}
|15x x x -或 (2) {|21}x x x <-≥或 【解析】
试题分析：(1)解一元二次不等式要结合与之对应二次方程的根与二次函数性质求解；(2)函数定义域为使函数有意义的自变量的取值范围，本题中需满足被开方数为非负数
试题解析：(1) ()()2
2
4504505105x x x x x x x -++∴--∴-+>∴>或1x <-，所以解集为
{}
|15x x
x -或
(2)要使函数有意义，需满足
1
012
x x x -≥∴≥+或2x <-，所以函数定义域为{}|21x x x <-≥或 考点：函数定义域及一元二次不等式解法
18. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异
面直线1B D 与MN 所成角的余弦值
.
25
【解析】 【分析】
如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可
【详解】解：如图，连接1B C ，
因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ， 所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，
因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =
++=++⨯=，
221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，
所以1DC B C ⊥， 所以11125
cos 45B C DB C DB ∠=
==， 所以异面直线1B D 与MN 25
【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题 19. 已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱. （1）求此圆柱的侧面积的表达式. （2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积2S rx =π，由
r H x
R
H
-=能求出圆柱的侧面积（2）圆柱侧面积为关于x 的二次函数，利用二次函数性质可知圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.
【详解】（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示， 因为
r H x R H -=，所以R r R x H =-．从而2
2π2π2πR S rx Rx x H
==-侧．
（2）由（1）22π2πR S Rx x H =-
侧，因为2π0R
H
-<， 所以当2π4πR 22b R H x a H
=-==
时，S 侧最大， 即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积的求法，圆柱侧面积最值的求法，解题时注意等价转化思想的应用，属于中档题. 20.
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】（Ⅰ）y=225x+
2
360
360(0)
x
x
-〉
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．【解析】
试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得
360
a
x
=，此时
再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用
21. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．
【答案】(1)212n a n =-;(2)4(13)n n S =-.
【解析】
【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n 项和的综合运用．、
（1）设{}n a 公差为d ，由已知得
1126{50
a d a d +=-+=解得110{2a d =-=, 212n a n =-
（2）21232324b a a a a =++==-，
∴等比数列{}n b 的公比21
2438
b q b -===- 利用公式得到和8(13)4(13)13
n n n S -⨯-==--．
22. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求证：//PB 平面AEC ；
（3）求二面角E AC D --的大小.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）45
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证出AC ⊥平面PAB ，再利用线面垂直的性质定理即可证明.
（2）连接BD 交AC 与点O ，连接EO ，证明//EO PB ，再利用线面平行的判定定理即可证明. （3）取AD 的中点F ，连接,EF OF ，证明EOF ∠为E AC D --的二面角，即可求解.
【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，
PA AC ∴⊥， 又AB AC ⊥，
AC ∴⊥平面PAB ，
∴AC PB ⊥.
（2）连接BD 交AC 与点O ，连接EO ，
ABCD 为平行四边形，
O ∴是BD 的中点 ，
又点E 是PD 的中点，
∴//EO PB ，
又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，
∴//PB 平面AEC .
. （3）取AD 的中点F ，连接,EF OF ，
//EF PA ，////OF DC AB ，
因为PA ⊥平面ABCD ，
所以EF ⊥平面ABCD ，
由AC ⊂平面ABCD ，则EF AC ⊥
因为AB AC ⊥，则OF AC ⊥，
因为OF EF F ⋂=，所以AC ⊥平面EOF .
所以EOF ∠为E AC D --的二面角，
因为PA AB =，90EFO ∠=，则EF OF =，
所以45EOF ∠=
即二面角E AC D --的大小为45
【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理、线面平行的判定定理，求面面角，考查了考生的逻辑推理能力以及计算求解能力，属于基础题.。