基于Matlab平台的图论模型的仿真实验

第２８卷㊀第８期长㊀春㊀大㊀学㊀学㊀报

Ｖｏｌ.２８㊀Ｎｏ.８㊀２０１８年８月

ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ

Ａｕｇ.２０１８㊀

收稿日期:２０１８￣０４￣２０

基金项目:山东科技项目(Ｊ１５Ｌ１５７)

作者简介:孙建英(１９７９－)ꎬ女ꎬ山东烟台人ꎬ副教授ꎬ硕士ꎬ主要从事应用数学方面研究ꎮ

基于Ｍａｔｌａｂ平台的图论模型的仿真实验

孙建英

(青岛理工大学琴岛学院ꎬ山东青岛２６６１０６)

摘㊀要:在Ｍａｔｌａｂ２０１４ａ平台下ꎬ利用图论工具箱中的函数求解图论模型中的最短路㊁最大流和最小支撑树问题ꎮ用３个实例进行仿真ꎬ能快速方便地得到最优解ꎮ对图论模型的进一步研究有重要意义和实用价值ꎮ

关键词:最短路ꎻ最大流ꎻ最小支撑树ꎻＭａｔｌａｂ２０１４ａ

中图分类号:Ｏ２９㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００９－３９０７(２０１８)０８－００２１－０４

㊀㊀图论模型是数学建模中一类非常重要的模型ꎬ它的应用非常广泛ꎮ购买机票㊁设备更新㊁配送路线选择等ꎬ都属于最短路径问题ꎻ景区的旅游车辆的最大通行量㊁石油管道的最大输送量等ꎬ都属于最大流问题ꎻ电线的架设问题㊁居民区的供水管道问题等ꎬ都属于最小支撑树问题ꎮＭａｔｌａｂ２０１４ａ平台中的图论工具箱ꎬ可以实现图论模型的快速求解ꎬ不必编写复杂的程序ꎬ对计算机不是很懂的学者也可以很快地掌握ꎮ本文从３个实例出发ꎬ详细介绍了如何利用图论工具箱快速准确地求解图论模型中的最短路㊁最大流和最小支撑树问题ꎬ对图论模型的进一步研究有重要意义和实用价值ꎮ

１㊀预备知识

１.１㊀图论工具箱

Ｍａｔｌａｂ２０１４ａ平台下图论工具箱中的相关函数ꎬ如表１所示ꎮ

表１㊀Ｍａｔｌａｂ图论工具箱中的相关函数

函数名功能介绍

ｇｒａｐｈｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈ求解无向图和有向图中任意指定顶点的最短距离和最短路径

ｇｒａｐｈｍａｘｆｌｏｗ

求解有向图中的最大流

ｇｒａｐｈｍｉｎｓｐａｎｔｒｅｅ求解最小支撑树

１.２㊀稀疏矩阵

稀疏矩阵是指零元素很多ꎬ非零元素比较少的矩阵ꎮ

稀疏矩阵的存储方式:ａ(ｉꎬｊ)＝ｍꎬ其中ꎬａ表示稀疏矩阵ꎬｉ表示非零元素的行标ꎬｊ表示非零元素的列标ꎬｍ表示非零元素的数值ꎮ

稀疏矩阵的使用说明:１)有向图中ꎬ可以直接使用Ｍａｔｌａｂ中的ｓｐａｒｓｅ命令ꎬ把邻接矩阵转化为稀疏矩阵ꎻ２)无向图中ꎬ由于Ｍａｔｌａｂ只存储下三角矩阵中的非零元素ꎬ要先把邻接矩阵转置ꎬ再应用ｓｐａｒｓｅ命令ꎮ

２㊀实例仿真

２.１㊀最短路问题

例１购买机票问题[１]:某集团公司在六个城市Ｃ１ꎬＣ２ꎬ ꎬＣ６中有分公司ꎬ从Ｃｉ到Ｃｊ的直飞航程票价如表

２所示( － 表示无直飞航班)ꎮ如今ꎬ集团巡视组要分别从Ｃ１出发到其他城市去检查工作ꎮ请问:应该如何安排航班ꎬ方可使得票价最低?

２２长㊀春㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第２８卷

表２㊀各分公司所在城市之间的航程票价(单位:元)

Ｃ１Ｃ２Ｃ３Ｃ４Ｃ５Ｃ６

Ｃ１０８５０－１４００７５０６００

Ｃ２８５００１０００８００－５００

Ｃ３－１００００６５０８２０－

Ｃ４１４００８００６５００１３００１２５０

Ｃ５７５０－８２０１３０００９５０

Ｃ６６００５００－１２５０９５００

㊀㊀解:Ｍａｔｌａｂ程序:

ｃｌｃꎬｃｌｅａｒ

ａ＝ｚｅｒｏｓ(６)ꎻ

ａ(１ꎬ２)＝８５０ꎻａ(１ꎬ４)＝１４００ꎻａ(１ꎬ５)＝７５０ꎻａ(１ꎬ６)＝６００ꎻ

ａ(２ꎬ３)＝１０００ꎻａ(２ꎬ４)＝８００ꎻａ(２ꎬ６)＝５００ꎻ

ａ(３ꎬ４)＝６５０ꎻａ(３ꎬ５)＝８２０ꎻ

ａ(４ꎬ５)＝１３００ꎻａ(４ꎬ６)＝１２５０ꎻ

ａ(５ꎬ６)＝９５０ꎻ

ａ＝ａ ꎻ

ａ＝ｓｐａｒｓｅ(ａ)ꎻ

ｂ＝[１:６]ꎻ

[ｐｒｉｃｅꎬｐａｔｈ]＝ｇｒａｐｈｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈ(ａꎬ１ꎬｂꎬ Ｄｉｒｅｃｔｅｄ ꎬ０)

运行结果:

ｐｒｉｃｅ＝

㊀㊀㊀０㊀㊀㊀㊀８５０㊀㊀㊀㊀１５７０㊀㊀㊀㊀１４００㊀㊀㊀㊀７５０㊀㊀㊀㊀６００

点击工作区中的ｐａｔｈꎬ出现ｐａｔｈ变量表ꎬ见表３ꎮ

表３㊀ｐａｔｈ变量

１２３４５６

１[１ꎬ２][１ꎬ５ꎬ３][１ꎬ４][１ꎬ５][１ꎬ６]

㊀㊀结果分析:Ｃ１直达到Ｃ２ꎬＣ４ꎬＣ５ꎬＣ６ꎬ票价分别为８５０ꎬ１４００ꎬ７５０ꎬ６００ꎻＣ１经Ｃ５

转机到Ｃ３ꎬ票价为７５０＋８２０＝１５７０ꎮ

２.２㊀最大流问题㊀

例２管道输流问题[１]:某石油公司拥有一个管道输送网络系统ꎬ如图１所示ꎬ使用该系统将石油从开采地Ａ输送到销售地Ｇꎮ由于管道(以两个地点之间的弧表示)直径的变化ꎬ各段管道的容量是不一样的ꎬ弧上的数字意味着各管道的最大容量(单位:万加仑/小时)ꎮ请问:欲使得从开采地Ａ到销售地Ｇ每小时输送的石油量最大ꎬ应采取什么样的配送方案?最大配送量是多少万加仑?

解:Ｍａｔｌａｂ程序:

ｃｌｃꎬｃｌｅａｒ

ａ＝ｚｅｒｏｓ(７)ꎻ

ａ(１ꎬ２)＝６ꎻａ(１ꎬ３)＝８ꎻａ(２ꎬ４)＝３ꎻａ(２ꎬ５)＝６ꎻ

ａ(３ꎬ４)＝４ꎻａ(３ꎬ６)＝１ꎻａ(３ꎬ７)＝３ꎻ

ａ(４ꎬ５)＝３ꎻ

ａ(５ꎬ７)＝５ꎻａ(６ꎬ７)＝４ꎻ

ｂ＝ｓｐａｒｓｅ(ａ)ꎻ[Ｍａｘｆｌｏｗꎬｐａｔｈ]＝ｇｒａｐｈｍａｘｆｌｏｗ(ｂꎬ１ꎬ７)ꎻＰａｔｈ＝ｓｐａｒｓｅ(ｐａｔｈ)ꎻ

Ｍａｘｆｌｏｗ

ｖｉｅｗ(ｂｉｏｇｒａｐｈ(Ｐａｔｈꎬ[]ꎬ ＳｈｏｗＡｒｒｏｗｓ ꎬ ｏｎ ꎬ ＳｈｏｗＷｅｉｇｈｔｓ ꎬ ｏｎ ))运行结果:Ｍａｘｆｌｏｗ＝

９

图１㊀石油输送量最大的配送方案

２.３㊀最小支撑树问题

例３电线架设问题[２]:如图２ꎬＳ㊁Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ㊁Ｄ㊁Ｅ㊁Ｔ代表村镇ꎬ它们间连线表明各村镇间现有道路交通情

况ꎬ连线旁数字代表道路的长度ꎮ现要求沿途中道路架设电线ꎬ使上述村镇全部通上电ꎬ应如何架设使总的线路长度为最短?

解:Ｍａｔｌａｂ程序

:图２㊀线路最短的电线架设方案

ｃｌｃꎬｃｌｅａｒａ＝ｚｅｒｏｓ(７)ꎻ

ａ(１ꎬ２)＝２ꎻａ(１ꎬ３)＝５ꎻａ(１ꎬ４)＝４ꎻａ(２ꎬ３)＝２ꎻａ(２ꎬ５)＝７ꎻａ(３ꎬ４)＝１ꎻａ(３ꎬ５)＝５ꎻａ(３ꎬ６)＝３ꎻ

ａ(４ꎬ６)＝４ꎻａ(５ꎬ６)＝１ꎻａ(５ꎬ７)＝５ꎻａ(６ꎬ７)＝７ꎻａ＝ａ ꎻａ＝ｓｐａｒｓｅ(ａ)ꎻ[ＳＴꎬｐｒｅｄ]＝ｇｒａｐｈｍｉｎｓｐａｎｔｒｅｅ(ａꎬ Ｍｅｔｈｏｄ ꎬ Ｋｒｕｓｋａｌ )ꎻ

ｓｔ＝ｆｕｌｌ(ＳＴ)ꎻ

ｔｒｅｅｌｅｎｇｔｈ＝ｓｕｍ(ｓｕｍ(ｓｔ))

ｖｉｅｗ(ｂｉｏｇｒａｐｈ(ｓｔꎬ[]ꎬ ＳｈｏｗＡｒｒｏｗｓ ꎬ ｏｆｆ ꎬ Ｓｈｏｗ￣Ｗｅｉｇｈｔｓ ꎬ ｏｎ ))

运行结果:

ｔｒｅｅｌｅｎｇｔｈ＝１４

３㊀结语

图论中的最短路㊁最大流和最小支撑树问题ꎬ在Ｍａｔｌａｂ２０１４ａ平台下ꎬ可以利用图论工具箱快速地得到最优解ꎮ其实ꎬ运筹学中的很多模型ꎬ像整数线性规划和目标规划问题[３]等ꎬ也可以借助Ｍａｔｌａｂ实现快速求解ꎮ但是还有很多问题ꎬ例如有初始可行流的最大流问题和最小费用最大流问题等ꎬ目前ꎬＭａｔｌａｂ没有相应

３

２第８期孙建英:基于Ｍａｔｌａｂ平台的图论模型的仿真实验