多目标决策方法

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1.3 α一法
先对P个分量fj(x)求极小化 (j 1 ,2 , ,P ), 假设得到P个相应的 极小点xj (j 1 ,2 , ,P )，然后把这个P个极小点分别依次代入各个 目标函数，就能得到P2个值。
fk0fk * m x Xfki(x ) n fk(x k)(k 1 ,2 ,) ,P ) fk j fj(x k)(j k,j 1 ,2 , P )
权系数及其对应的最优解（表1）.
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表1 线性加权法的最优解
序
w=(w1,w2,w3)
1
(1, 0, 0)
2
(0, 1, 0)
3
(0, 0, 1)
4
(1/3, 1/3, 1/3)
5
(3/6, 2/6, 1/6)
X(w)=(x1,x2)
(1, 1) (2, 3) (4, 2) (7/3, 2) (11/6, 11/6)
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定义权系数wi≥0(j=1,2,3), w1+w2+w3=1.
构造评价函数
3
U(x) wjfj(x)
j1
求解单目标最优目标问题：
miU n(x)3 wj fj(x)
j1
显然，对于不同s.的t. 权x系X数，最优解x*(w)是不同的
，但是它们都是原多目标问题的非劣解，下面给出几组
可以证明，这个问题的全部非劣解为：
x * (w ) (x x 1 2 * * ) w 1 x 1 w 2 x 2 , w 3 x 3
其中： x1 1 1 , x2 3 2 , x3 2 4
w=(w1,w2,w3)≥0
F1=(f1,f2,f3)
(0, 5, 10) (5, 0, 5 ) (10, 5, 0) (25/9, 10/9, 25/9) (25/18, 25/18, 85/18)
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1.2 平方加权和法
先求各分量的最优值
f1 * m x xfj(i x )n (j 1 ,2 , ,P )
分别赋以权系数wj (j 1 ,2 , ,P ),再作平方加权和评
价函数：
P
2
U(x) wf[fj(x)fj*]
j1
P
2
（ P 2） m inU (x)s .t.j1w xj [fX j(x)fj*]
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多目标决策方法
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1 分量加权和方法
考虑多目标规划：
（ P 0 ） s m .t i. n F ( x ) x [f X 1 ( x ) ,f2 ( x ) , ,fp ( x ) ]
其中可行集 X x R n / h i ( x ) 0 , 1 i m
x34, 2
3个极小点依次代入3个目标函数后，可以构造线性方程组如下：
0 5w1 10w3 a
150ww1 105w52w3
a 0a
w1 w2 w3 1
不难解出，这个方程组有唯一解：
a5 ， w1*
1 2
，w2*
百度文库
0
，
w3*
1 2
，
其相应的线性加权和问题（P1）的最优解为 x* w* 5, 3，它 2 2
也是多目标问题（P0）的非劣解，这时 F5, 5, 13 。
2 2 2
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1.4 统计加权和法
这是用统计方法处理权系数，同时进行方案比较的方法，
1976年同B. A. ByНКИН等人提出。首先，由l个老手（专家）
各自独立地提出一个权系数方案（见表3.2所示），所以这个方法
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[例1] 求解 m s.t.xF i(X x n )[f1(x)f,2(x)f,3(x)]
这里：f1(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 f2(x)=(x1-2)2+(x2-3)2 f3(x)=(x1-4)2+(x2-2)2
X={x∈R2/x1+2x2≤10，x2≤4，x1≥0，x2≥0} X是凸集，f1(x),f2(x),f3(x)都是X上的凸函数。
又称“老手法”。
权系数 老手
1
k
l 均值
表3.2 权系数方案
w1
w2
…
wj
…
wp
w11
w12
…
w13
…
w1p
\
\
wk1
wk2
…
wk3
…
wkp
\
\
wl1
wl2
…
wlj
…
w1p
w1
w2
…
wj
…
wp
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在对在均值偏差太大的权系数进行适当协商和调整之后，求
出各个权系数wj的平均值：
1.1 线性加权和法
分别给多目标函数F(x)的第j个分量fj(x)赋以权
系数 w i(j1 ,2 ,P ), 作线性加权和评价函数：
P
U(x) wj fj(x)
j1
把求解多目标问题(P0)转化成求解单目标问题
(P1):
(P1)miUn(x) jP 1wj fj(x)
s.t. xX
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然后，作线性方程组 jp1wj fkj k1, 2, 3, P
jP1wj 1
其中是待定常数，由此可以解出权系数 w j 1 ,2 ,3 , ,P
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[例2] 用法求本节例1的权系数。
从表1可知，3个单目标分量单独求极小化，所得3个极小点是：
x11, 1，
x22, 3，
s.t. xX只要可行集X是凸集，目标函数fj(x)都
是X上的凸函数(1≤j≤0);如果对于给定的权系数
w j 0 (j 1 ,2 , ,P ),问题（P1）的最优解x*(w)是唯一 解，那么x*(w)一定是问题(P0)的非劣解；或者给它的
权系数 w j 0 (j 1 ,2 , ,P ),那么问题(P1)的最优解 x*(w)也一定是问题(P0）的非劣解。
假定多目标函数 F(x1()x= 2)(,[ x ff)f,p(x中)]的各个分量
fi(x),[(1≤j≤p)具有相同的度量单位，那就可以按照一定的规
则加权后，再按某种方式求和，构成评价函数。然后，再对评价 函数求单目标极小化。对于权系数的不同处理和求和方式的不同 ，可有下列不同方法。
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wj 1l k1wkj
然后构造统计加权和评价函数:
Ux
P
wj
fj
x
j1
因为这时把权系数wj看成是一个随机数，因此在比较两个方
案x1和x2的优劣时，不能直接比较 Ux1和 Ux2的大小，而只能
按统计方法进行比较，例如利用假设检验的方法来确定不同方案