运筹学电子教案-LP单纯形法、表

s.t. 4X1+3X2+X3 =120
2X1+ X2+ X4= 50
X1，X2，X3，X4≥0
（1.18）
此线性规划问题转化为了一个含有四个变量的线性规划问题，X3，X4 为松弛变量（或剩余变量）。为求解上面的LP问题，我们要考虑满
足约束条件s.t.并使 Z 取得Max的X1，X2，X3，X4的值，由此分析 如下---
优基 本可行解
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线性规划Linear Programming（LP）
基本理论
线性规划的标准型的向量和矩阵表达形式
向量式：
矩阵式：
max Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
max Z=CX
s.t. p1x1+p2x2+…+pnxn=b
s.t. AX = b
xj≥0 （j=1，2，…n）
X≥0
式中：pj=（a1j，a2j，…，amj）T C =（c1，c2，…，cn）
9Байду номын сангаас
线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表
选择入基变量： 由于在目标函数Z1=50X1+30X2 中X1，X2的系数都为 正，哪一个入基都可使目标函数值得到改善。对于求目标函数极大化
的问题，我们希望目标值增加得越快越好，因此系数最大的X1入基。 选择出基变量： X1入基后，其值从零增加并由于约束条件的原因会引 起其他变量的变化。由典式（1.19）以及变量必须取正值的条件，我
a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n
……………
am1 am2… amn
X =（x1，x2，…，xn）T b =（b1，b2，…，bm）T
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线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表
单纯形方法是Dantzig于1947年首先发明的。近50年来，一直是求解 线性规划的最有效的方法之一，被广泛应用于各种线性规划问题的求 解。本节讨论单纯形法的基本算法。
们可以得到下列不等式关系：
X3 = 120 - 4X1- 3X2 ≥0 X4= 50 - 2X1- X2 ≥0
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线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表
确定初始基可行解：
通过观察可以发现，松弛变量X3和X4对应的等式约束条件中的系数矩 阵为单位矩阵可以作为初始可行基矩阵。因此
取：X3，X4为基变量；X1，X2为非基变量。则（1.18）可变为
Max Z =50X1+30X2
s.t. X3 = 120 - 4X1- 3X2
xB=（x1，x2，…，xm）T
与非基向量pj对应的变量xj xN=（xm+1，…，xn-m）T
在约束条件AX = b中不妨设基矩阵B是A的前m个列向
量。于是AX = b可改写为： B xB + N xN = b，然后令 xN =0，即可解得xB= B -1 b， 则X=（ xB ， xN ）T=（ B -1 b， 0）T ，称为对应基矩
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线性规划Linear Programming（LP）
基本理论
基向量 非基向量 基变量 非基变量 基本解
基本可行解 凸集
基矩阵B的向量pi=（a1i，a2i，…，ami）T i =1，2，…，m 非基矩阵N的向量pj=（a1j，a2j，…，amj ）T j = m+1，…，
n-m
与基向量pi对应的变量xi
阵B的基本解
若基本解中B -1 b≥0，则称其为对应B的基本可行解
这样的点集合----其集合中任意两点的连线上的全部点
都在该点集合内
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线性规划Linear Programming（LP）
基本理论
极点（顶点）
凸集上不在两个不同点的连线上的点
线性规划基本定理 1 线性规划所有可行解组成的集合S={X| AX = b，
X ≥ 0}是凸集
线性规划基本定理 2 X是线性规划问题的基本可行解的充要条件是
X为凸集S={X| AX = b，X ≥ 0}的极点
线性规划基本定理 3 给定线性规划问题， A是秩为m的mn矩阵， （i） 若线性规划问题存在可行解，则必存在基本可行解
（ii） 若线性规划问题存在有界最优解，则必存在有界最
单纯形法的初步讨论
例1.8 求解LP问题
Max Z=50X1+30X2 s.t. 4X1+3X2 ≤ 120
2X1+ X2 ≤ 50 X1，X2 ≥0
（1. 17）
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线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表
单纯形方法由以下步骤构成：
将原问题转化为标准型模型：
Max Z=50X1+30X2
X4= 50 - 2X1- X2
（1.19）
X1，X2，X3，X4≥0
（1.19）称为关于基的典式——
1、等式约束条件中显含基可行解
2、目标函数中不含基变量
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线性规划Linear Programming（LP）
单纯形法、单纯形表
在典式（1.19）中令： X1=X2 =0， 我们得到一个基本可行解 X1 =（ X1，X2，X3，X4 ）T=（0，0，120， 50）T ，其对应的目标函数值 Z1 = 50X1 + 30X2 = 0 最优性检验： 基本可行解 X0是最优解吗？显然不是。应寻找更好的解。从问题的 数学角度分析，在典式（1.19）的目标函数中，非基变量X1，X2前的 系数都为正，表明目标函数值有增加的可了可能。只要将目标函数中 系数为正的某非基变量与某一基变量地位对换。 换基迭代： 进行换基就是要从非基变量中选一个变量入基，再从基变量中选一个 变量出基。并且换基后仍需满足： 1、新的解仍是基本可行解； 2、目标函数值将得到改善。
运筹学电子教案-LP单纯形法、 表
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线性规划Linear Programming（LP）
基本理论
可行解 可行域 最优解 唯一最优解 无穷多最优解 无界最优解
有界最优解
基矩阵B
非基矩阵N
满足所有约束条件的向量 X =（x1，x2，…，xn）T 全部可行解的集合 使目标函数达到极值的可行解 有唯一可行解使目标函数达到极值 有无穷多可行解使目标函数达到极值 存在可行解使目标函数值∣Z∣≥ M（M是任意大 的正数） 存在可行解使目标函数值∣Z∣≥ M（M是任意大 的正数） 满秩系数矩阵A（n m）的任一个mm满秩子矩阵 即由矩阵A的任意m列线性无关的列向量构成的矩阵 即由矩阵A去掉B的m列所余下的n-m列向量构成的 矩阵