常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.

()()()t A t t Φ=Φ，

.

1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x =和.

()T x A t x =-的解，所以

111()

()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫

⎪ ⎪== ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭∑∑，

1121

1111

1222

22*

121()()()n n k k k n n kn k n n n

nn k a a a a a a a d t A t t dt

a a a a ψψψψψψ==⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪

=-ψ=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎝⎭

∑∑因而

111111

2211(,)(,)(,),,n n k k k k k k n

n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦

∑∑∑∑11

1111

11

1

1

1

1

()0

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

所以(),()

()()1

n

t t t t k k k ϕψϕψ≡≡∑=常数。 3.证明：设)t Φ(为系统.

()x A t x =的一个基本解矩阵，则由定理2.11知

[

]1

()

T

t -Φ是系统.

()T

x A

t x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.

()x A t x

=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1

()T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0

k k t ∃=>

和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞

⎪⎨Φ≤≤<+∞

⎪⎩,利用常数变易法公式

（2.32），可知式.

()()y A t y B t y =+的初始条件为00()y t y =的解满足

01()()()()()()t

t y t t t s B s y s ds

ϕ-=+ΦΦ⎰因

为11100120()()()()()(),T t t t t t t k k t t ---ΦΦ≤ΦΦ=ΦΦ≤≤<+∞

所

以

120120()()(),t t y t k k x k k B s y s ds t t ≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12

()120().t

t k k B s ds

y t k k x e

⎰≤记12

()12t

t k k B s ds

C k k e ⎰

=设

()B t dt M +∞

=<+∞⎰

则

()()t

t B s ds B t dt M +∞

≤=⎰

⎰

有1212k k M C k k e ≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统

.

()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

4.解：设以矩阵cos sin ()sin cos t t e t t t e t t ϕ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭为基本解矩阵的线性齐次系统为

.

1112.2122()()()()x a t x a t y y a t x a t y

⎧=+⎪⎨⎪=+⎩则

.

11122122()()

a a t t a a ϕϕ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

即

11122122cos sin cos cos sin sin sin cos sin cos t t t t t t e t e t a a t e t

t t a a e t t e t e t ⎛--⎛⎫

-⎛⎫⎫= ⎪ ⎪⎪ -+⎭⎝⎭⎝⎭

⎝

得

1112111221222122

cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t t t t t t t

e t e t a e t a e t t a t a t

e t e t a e t a e t t a t a t ⎧-=+⎪

-=-+⎪⎨+=+⎪⎪-=-+⎩整理得11121112

212122cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t a t a t

t a t a t t t a t t t a t a t

-=+⎧⎪=-⎪⎨

+=+⎪⎪=-⎩解得

1221121222

cos sin 1

cos 1sin cos sin a t t a t

a t t a t =-⎧⎪=⎪⎨

=+⎪⎪=⎩所以齐次系统.2

.2cos (cos sin 1)(1sin cos )sin x x t t t y y t t x y t ⎧=+-⎪⎨⎪=++⎩

即为所求。 5.（1）解：由.

cos x x t =，分离变量得

cos dx

tdt x

=解得sin 1t x C e =由