常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案

常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.
()()()t A t t Φ=Φ，
.
1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。

2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x =和.
()T x A t x =-的解，所以
111()
()()n k k k n nk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭∑∑，
1121
1111
1222
22*
121()()()n n k k k n n kn k n n n
nn k a a a a a a a d t A t t dt
a a a a ψψψψψψ==⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪
=-ψ=-=-⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪
⎝⎭
∑∑因而
111111
2211(,)(,)(,),,n n k k k k k k n
n kn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑11
1111
11
1
1
1
1
()0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
m m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
所以(),()
()()1
n
t t t t k k k ϕψϕψ≡≡∑=常数。

3.证明：设)t Φ(为系统.
()x A t x =的一个基本解矩阵，则由定理2.11知
[
]1
()
T
t -Φ是系统.
()T
x A
t x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.
()x A t x
=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1
()T t -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0
k k t ∃=>
和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞
⎪⎨Φ≤≤<+∞
⎪⎩,利用常数变易法公式
（2.32），可知式.
()()y A t y B t y =+的初始条件为00()y t y =的解满足
01()()()()()()t
t y t t t s B s y s ds
ϕ-=+ΦΦ⎰因
为11100120()()()()()(),T t t t t t t k k t t ---ΦΦ≤ΦΦ=ΦΦ≤≤<+∞
所
以
120120()()(),t t y t k k x k k B s y s ds t t ≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12
()120().t
t k k B s ds
y t k k x e
⎰≤记12
()12t
t k k B s ds
C k k e ⎰
=设
()B t dt M +∞
=<+∞⎰
则
()()t
t B s ds B t dt M +∞
≤=⎰
⎰
有1212k k M C k k e ≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统
.
()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。

4.解：设以矩阵cos sin ()sin cos t t e t t t e t t ϕ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭为基本解矩阵的线性齐次系统为
.
1112.2122()()()()x a t x a t y y a t x a t y
⎧=+⎪⎨⎪=+⎩则
.
11122122()()
a a t t a a ϕϕ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
即
11122122cos sin cos cos sin sin sin cos sin cos t t t t t t e t e t a a t e t
t t a a e t t e t e t ⎛--⎛⎫
-⎛⎫⎫= ⎪ ⎪⎪ -+⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
得
1112111221222122
cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t t t t t t t
e t e t a e t a e t t a t a t
e t e t a e t a e t t a t a t ⎧-=+⎪
-=-+⎪⎨+=+⎪⎪-=-+⎩整理得11121112
212122cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin sin cos t t a t a t
t a t a t t t a t t t a t a t
-=+⎧⎪=-⎪⎨
+=+⎪⎪=-⎩解得
1221121222
cos sin 1
cos 1sin cos sin a t t a t
a t t a t =-⎧⎪=⎪⎨
=+⎪⎪=⎩所以齐次系统.2
.2cos (cos sin 1)(1sin cos )sin x x t t t y y t t x y t ⎧=+-⎪⎨⎪=++⎩
即为所求。

5.（1）解：由.
cos x x t =，分离变量得
cos dx
tdt x
=解得sin 1t x C e =由
.
sin sin sin 1t
t t
y xe
C e e
--==得.
1y C =，解得12y C t C =+故原方程组得通解为
sin 112
t
x C e y C t C ⎧=⎨
=+⎩（1C ，2C 为不为零的常数） （2）解：由第一个分离变量得dx dt x t =解得1x C t =。

由.1x
y t
=+得.1
1y C =+解得122y t C t C t x C =++=++故原方程组得通解为12
x C t
y t x C =⎧⎨=++⎩
6. (1)解：原方程组化为dx y dt t dy x dt t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可化简为()
1()()1()d x y x y dt t
d x y x y dt
t +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩由初等积
分法得12C x y t x y C t
⎧
+=⎪⎨
⎪-=⎩ （Ⅰ）又知初值(1)2
(1)0x y =⎧⎨=⎩代入（Ⅰ）得1222C C =⎧⎨=⎩，所以22x y t x y t ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得11x t t
x t t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
（2）解：①+②得
()d x y x y dt +=+解得1t x y C e +=（1C 为常数）③令x
u t
=则dx du u t dt dt =+代入①得21du u t u dt ++=，即131du dt u t
=--两边积分得01
ln 31ln 3
u t C -=-+（0C 为常数）
，整理得1
23(31)C u t -=（02C C e =）代回原变量得123
3(1)C x t t -= ④。

将初值1(1)31(1)3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入③，④得1
2
31
1(11)11133
C C e ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩得1200C C =⎧⎨
=⎩得解33t x t
y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
7．证明：令1()))t t s C ϕ=Φ(Φ(（C 为常值向量）2())t t s C ϕ=Φ(+，那么
1()))d t d t s C dt dt ϕΦ(=Φ(，2())().d t d t s d t s C dt dt dt ϕΦ(++=。

因为)t Φ(是)
()
dX t X t dt
(=A 的解，所以由以上两式得11()
())()d t t s C t dt
ϕϕ=AΦΦ(=A ，
22()
)()d t A t s C A t dt
ϕϕ=Φ(+=。

又因为(0)X I =,所以有1(0))s C ϕ=Φ(，2(0))s C ϕ=Φ(。

所以根据解的惟一性定理可知，)))t s C t s C Φ(+=Φ(Φ(，
因而有())t s ΦΦ())t s =Φ(Φ(。

令s t =-，代入上式得(0)))t t E Φ=Φ(Φ(-=,因而1))t t -Φ(=Φ(-。

8.证明：此方程的满足初始条件0(0)x x =的初值问题可等价于积分方程
00()()()t
t X t x A s x s ds =+⎰对上述方程，应用毕卡逐次逼近法，只需考虑
00()X x x E ==,
0()X t E =，0
10()()()()t t
t t X t E A s X s ds E A s ds =+=+⎰⎰，
2211()()()()()(())()(())(())()(())2t
t
t
t t t
t
t t t t t t t t t t X t E A s X s ds E A s ds A t A s ds d E A s ds A s ds d A s d E A s ds A s ds τττττ=+=++=++=++
!⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
00000
22332111()()()()()(())()(())()(())(())223t t t t t t t t t t t t t t X t E A s X s ds E A s ds A A s ds d A A s ds d E A s ds A s ds A s ds τ
τττ
ττττ=+=+++
=+++!!!⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由归纳法易知0
211()()(())(())2t
t
t
n n t t t X t E A s ds A s ds A s ds n =+++
!
!⎰⎰⎰显然0
()lim ()exp(())t
n t t X t X t A s ds →+∞
==⎰，可得原方程的通解为0
exp(())t t A s ds c ⎰，其
中c 为任意的常值列向量。

9. (1)解：矩阵A 的特征值为3，-2，对应于1λ=3的特征向量12x X x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
满
足代数方程组11200()005x E A x λ⎛⎫⎛⎫-== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，所以10x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是1λ=3的一个特征向量。

同理22λ=-对应的特征向量为01y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001P ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
故
331220000A
e e e P P e e ---⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）A 的特征方程为1
01E A λλλ
-=
=-，解之，得特征根为i λ=±。

对应于1i λ=的特征向量12x X x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
满足代数方程组
1121()01x i E A i x λ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以1X i ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是1i λ=对应的一个特征向量。

同样可得2i λ=-对应的一个特征向量为1Y i
⎛⎫
= ⎪-⎝⎭。

由A 的特征值的特征向量
组成的矩阵11P i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，其逆矩阵*1
1
1122
11
22
2i i P P i i P i -⎛⎫
- ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪
⎪⎝⎭
，所以1111()()011cos1sin12222221111sin1cos10
()()222222i i i i i i
i
A i i i i i i i i i e e ie ie e e e e i i i i e ie ie ie ie e e -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（3）解：有：210
2S SI A S --⎛⎫-= ⎪-⎝⎭从而*21
1
1()2(2)()()102SI A S S SI A SI A S -⎛⎫
⎪
--- ⎪-=
=- ⎪
⎪-⎝
⎭
于是2211
2()0A e e e SI A e --⎫⎛⎡⎤=ζ-=⎪ ⎣⎦⎪⎝⎭
（4）解：有24()12S SI A S +⎛⎫-= ⎪--⎝⎭
，从而*221
22
4()()2()1S SI A S S SI A S SI A S ---⎛⎫
⎪
--== ⎪+- ⎪
⎪⎝
⎭
于是1114()13A e SI A ----⎛⎫
⎡⎤=ζ-=
⎪⎣⎦⎝⎭
10.（1）解：1
031031
200
2301
10
1
1A B ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=-→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝⎭
,矩阵A 经过初等变换变为矩阵B ，则矩阵A 与矩阵B 有相同的特征值。

矩阵B 为分
块矩阵，设10C B D ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,则可知1为B 的一个特征值。

下面求231
1D ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
的特
征值。

其特征方程为
223det()501
1D E λλλλλ
--=
=--=--。

则可得121λλ+=。

对于矩阵A ，存在一个非奇异的矩阵P ，使得1P AP J -=,所以1A J e Pe P -=。

故
1231112det A J J e P e P e e e e λλλ++-+=====.
11. (2)解：先求对应的齐次方程组.
.2x y
y x y
⎧=⎪⎨⎪=+⎩的通解。

特征方程为
1
det()(2)(1)021A E λλλλλ
--=
=-+=-，特征值为122,1λλ==-。

对应于
12λ=的特征向量12u U u ⎛⎫= ⎪⎝⎭满足代数方程组1221021u u -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，所以12U ⎛⎫
= ⎪⎝⎭是12λ=对应的一个特征向量。

同理可得对应于21λ=-的特征向量为
11U ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭。

所以得齐次方程组的通解为21222t t t t x e e C C y e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

用常数变易法，令2122()()2t t t t x e e C t C t y e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
将其代入原方程组，得..
212..212
()()5cos 2()()0t t t t C t e C t e t C t e C t e --⎧+=-⎪⎨⎪-=⎩解之得.21.25()cos 3
10()cos 3t
t C t te C t te -⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，积分得
221212()sin cos 3355()sin cos 33t t
t t
C t te te C t te te --⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
得原方程组的一个特解
*222*22sin cos 1255(sin cos )(sin cos )sin 3cos 33332t t t t t t t t x e e t t te te te te t t y e e ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪+-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因此原方程组的通解为21222sin cos sin 3cos 2t t t t x e e t t C C y t t e e --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫
⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪+-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭即2122122sin cos 2sin 3cos t t
t t
x C e C e t t
y C e C e t t
--⎧=+--⎪⎨=-++⎪⎩ （3）解：先求对应的齐次方程组.
.x y
y x
⎧=⎪⎨⎪=-⎩的通解。

特征方程为
21det()101A E λλλλ
--=
=+=--。

特征值为12,i i λλ==-。

对应于1i λ=的特
征向量12
u U u ⎛⎫= ⎪⎝
⎭满足代数方程组1
2
101u i i u -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝
⎭⎝
⎭。

所以1U i
⎛⎫= ⎪⎝⎭
是1i λ=对应的一个特征向量。

此时可得方程组的一个复值解
1cos sin sin cos t t i t Y e i t i t +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
-+⎝⎭⎝⎭，其实部和虚部就是方程组.
.x y
y x
⎧=⎪⎨⎪=-⎩的两个实值解。

且显然它们线性无关。

所以得齐次方程组的通解为
12cos sin sin cos x t t C C y t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其中1C ，2C 是不为零的常数。

用常数变易法，令12cos sin ()()sin cos x t t C t C t y t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，将其代入原方程组，得..2
12..
12()cos ()sin tan 1()sin ()cos tan C t t C t t t C t t C t t t ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩解之得：.1.22()cos ()sin tan C t t
C t t t
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，积分得12()sin 1()cos cos C t t
C t t t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩
得原方程组得一个特解为
**cos sin tan 1sin (cos )sin cos 2cos x t t t t t t t t y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，因此原方程组得通解为12cos sin tan sin cos 2x t t t C C y t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1212
cos sin tan sin cos 2x C t C t t y C t C t =++⎧⎨=-++⎩。

（4）解：先求对应的齐次方程组.
.322x x y
y x y
⎧=-⎪⎨⎪=-⎩的通解。

易知特征方程为
232det()(1)02
1A E λλλλ
---=
=-=--特征值为121λλ==。

因此，齐次方程
组有形如11122122t r r t x e y r r t +⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭
的解。

将其代入非齐次方程组并消去t e 后得
1112121112212221222211122122
3()2()
2()()r r r r r t r r t r r r r r t r r t ++=+-+⎧⎨
++=+-+⎩比较t 的同次幂的系数可得11122112222111222212220,0,220,0
r r r r r r r r r r --=-=-+=-=，即
1222121121,22r r r r r ==-。

令111r =，211r =，则12220r r ==，那么相应的特解
为11
t x e y ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，令110r =，211r =-则12222r r ==-，那么相应的特解为221t x t e y t ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

因此，齐次方程组的通解为1212121t t x t C e C e y t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

用常数变易法，令1212()()121
t t x t C t e C t e y t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭
⎝
⎭
，将其代入原方程组得..12...
122()2()0()2()()15t t
t t t C t e C t te C t e C t te C t e e ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解之
得3
.
2
1.
1
()30()C t t C t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩积分得
5
21322
()12()10C t t C t t ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩。

得非齐次方程组的一个特解为
5
*
5
3222*35221281210121108t
t
t x t t t e t e e t y t t ⎛⎫
⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪
=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪
-⎝⎭于是，原方程组的通解为5
2123522128121108t t t
x t t C e C e e y t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪
-⎝⎭。

即521253
22122
(28)(2810)t t x C C t t e y C C t C t t e ⎧=+-⎪⎨⎪=+--+⎩
12.解：对于方程组.
.sin cos t x x t
y xe
-⎧=⎪⎨⎪=⎩，由.cos x x t =，分离变量得cos dx tdt x =解
得sin 1t
x C e =由.
sin sin sin 1t
t t
y xe
C e e
--==得.
1y C =，解得12y C t C =+故原方程组得
通解为sin 112t
x C e y C t C ⎧=⎨=+⎩（1C ，2C 为不为零的常数），则得系统的一个通解
为sin 120()1t e x t C C t ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则它的基本解矩阵sin 0()1t e t t ⎛⎫
Φ=
⎪⎝⎭
，又0
100(0)0
10
1e I ⎛⎫⎛⎫Φ===
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1
101C πππ
-⎛⎫
=Φ(0)Φ(2)=Φ(2)= ⎪2⎝⎭。

C 的特征方程210det()(1)021C E λλλπ
λ
--=
=-=-。

故其特征值为
121λλ==。

有i
T i e ρλ=得21i e πρ=，故20(mod )i i πρ=，则得该系统的特征乘
数121λλ==，特征指数120(mod )i ρρ==。

13.证明：设)t Φ(是系统（LHP ）的一个基本解矩阵，由定理2.19可知，存在一个可微的周期为T 的非奇异矩阵函数0)P t (,以及一个常值矩阵R ，使得0)).tR t P t e Φ(=(，设J 是矩阵R 的约当标准型，则存在非奇
异
常
值
矩
阵S 使得1S RS J -=,所以
1
1100)).).)..tR tSJS
tJ t P t e P t e
P t S e S --Φ(=(=(=(。

根据定理2.8，且因为)t Φ(是系统（LHP ）的一个基本解矩阵，所以0))..tJ t P t S e ψ(=(也是系统（LHP ）的一个基本解矩阵。

记0()).P t P t S (。

所以)().tJ t P t e ψ(=。

由该系统有一个特征指数是λ，则该系统就有形如().t P t e λ的解，由t e λ是一个常数，故证明了该系统有一个特征指数是λ的充分必要条件是该系统有形如.()t e P t λ的解。

14.证明：系数矩阵的特征方程为
2
22331cos 1cos sin 12
2
det()033221cos sin 1sin 22t t t E A t t t λλλλλ⎛⎫
+--+ ⎪
-==++=
⎪ ⎪++- ⎪
⎝⎭。

则可得特征值
为
1,2λ=。

()exp(())
C A s ds π
π=Φ=⎰。

又22
033(1cos )cos 224s ds s π
πππ-+=-+=-⎰⎰，0033(1cos sin )sin cos 22s s ds sd s ππ
ππ
-=+=⎰⎰，
4cos sin sin cos 44()C e e
ππππππππππ⎛⎫
- ⎪
⎪⎛⎫
⎪-
⎪-- ⎪-⎝
⎭
⎝⎭
=Φ==求
C
的特征方程为
4
42
4
24
4
cos sin det()2cos 0sin cos e
e
E C e
e e
e
ππππ
ππλππ
λλπλπ
λπ
-
-
-
-
-
---=
=-+=-，故得C
的特征值为412e π
λλ-
==。

故此系统的特征乘数为4e π
-。

15.证明：1）设()t ϕ是系统（LNP ）的以T 为周期的周期解，则显然必须有(0)()T ϕϕ=。

反之，设()t ϕ是(LNP)的解，且(0)()T ϕϕ=.下证()t ϕ是以T 为周期的函数。

由
()
()()()d t T A t T t T f t T dt
ϕϕ+=++++以及()()A t T A t += ()()f t T f t +=可得()
()()()d t T A t t T f t dt
ϕϕ+=++并且
()()|
t t t T ϕϕ==+，(0)()T ϕϕ=由初值问题（1）的解得存在惟一性知
()()t t T ϕϕ=+。

2）设)t Φ(是以(1)()t ϕ，(2)()t ϕ，()()n t ϕ为列向量的n 阶方阵，则用常
数
变
易
法
可
求得(LNP)的任一解为110
()()(0)(0)()()()t t t t f d ϕϕτττ
--=ΦΦ+ΦΦ⎰即
10
()()(0)()()()t t t t f d ϕϕτττ-=Φ+ΦΦ⎰由1）知()t ϕ是以T 为周期的解得充要
条件是(0)()T ϕϕ=，因此10(0)()(0)()()()T
T T f d ϕϕτττ-=Φ+ΦΦ⎰亦即(0)ϕ由下述方程确定10(())(0)()()()T
n E T T f d ϕτττ--Φ=ΦΦ⎰其中n E 是n 阶单位矩阵。

此式子能惟一确定(0)ϕ的充要条件是()0n E T -Φ≠即矩阵()T Φ没有等于1的特征根。

16. 解: 作变换，令e t τ=，则dx dx t
dt d τ=
，dy dy
t dt d τ
=，那么，原方程组变为22dx
x y d dy x y
d ττ
⎧=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩，其特征方程为21det()(1)021A E λλλλλ
---=
=-=--，
特征值为120,1λλ==。

相应于10λ=的特征向量12u u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
应满足1221021u u -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即122u u =，令11u =，则22u =，那么相应于10λ=的特解为12
x y ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

相应于21λ=的特征向量12u u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
应满足1
211022u u -⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即12u u =，令21u =，
则11u =，那么相应于21λ=的特解为11
x e y τ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭。

所以方程组得通解为121121
x c c e y τ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
代回原变量得方程组得通解
为121121x c c t y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1212
2x c c t
y c c t =+⎧⎨=+⎩，（12,c c 为非零常数）
它们的朗斯基行列式为1112222(),0c c W t c c t
Ct C c c t
=
=-≠。

()W t 在0t =时等
于0，但当0t ≠时()0W t ≠，这不与定理2.7矛盾，因为在计算过程中
0t ≠，所以()W t 在t J ∈是都不等于零。

17.证明： 充分性：由式（2.88）成立，则可知零解是一直稳定的。

不失一般性，令
01
x η<=，则对00,t t t β
≥≥有
0()110000()))))..t t x t t t x t t x M e α----=Φ(Φ(≤Φ(Φ(≤，于是零解是全局指数
稳定的。

必要性：设系统（LH ）的零解0x =对0t β≥是全局指数稳定的。

则由定义 1.12知道，有0α>，使得对任何0β>，存在()0M β>,使得当
0x β<时，对于一切0t t I ≥∈有0()1000()))().t t x t t t x M x e αβ---=Φ(Φ(≤于
是有0
00()()()1000
1
))()..
()t t t t t t t t M x e M e Me x αααββ-------Φ(Φ(≤==即证式（2.88）成立。

18.证明：系统.
()n
x Ax x =∈
的满足初始条件00()x t x =的特解为
100()()()x t t t x -=ΦΦ，由于它的零解是渐进稳定的，由定义1.4可知，对
ε∀>，存在0(,)0t δε>使
0x δ
<时对一切0t t ≥有
100()()()x t t t x ε-=ΦΦ<，同时0()0t η>使得当00()x t η<时lim ()0t x t →+∞
=。

利用常数变易法可得系统[].
()x A C t x =+的解为
01100()()()()()()()t
t x t t t x t s C s x s ds --=ΦΦ+ΦΦ⎰。

对于上述ε，当0x δ<时，对
一切0t t ≥，0
0()()()t
t x t C s ds r t t εεεε≤+=+-⎰从而可知系统[].
()x A C t x
=+的一切在(,)β+∞上有界，即它的零解对0t β≥是稳定的。

对于上述
0()0
t η>当
00()
x t η<时
[]0
1110000000()()()()()()()()1()t t x t t t x t t x C s ds t t x r t t ---≤ΦΦ+ΦΦ<ΦΦ+-⎰而
100
lim ()()t t t x -→+∞ΦΦ[]01()r t t +-=0由迫敛性知lim ()0t x t →+∞
=。

所以系统
[].
()x A C t x =+的零解对0t β≥是渐近稳定的。

19.证明：系统.
x Ax =满足初始条件00()x t x =的特解为100()()()x t t t x -=ΦΦ。

由于该系统的零解是稳定的，由定义1.4知，任取正数b ε<（b 为常数）存在0(,)0t δε>使得当0x δ<时100()()()x t t t x ε-=ΦΦ<，0t t ≥利用常
数
变
易
法
可得系统
[].
()x A C t x
=+的
解为
1100()()()()()()()t t x t t t x t s C s x s ds --=ΦΦ+ΦΦ⎰，因此0
()()t t x t C s ds εε≤+⎰，
0t t β≥>。

因为()C s ds β
+∞
<+∞⎰
所以记0
()t
t C s ds M =⎰即()(1)x t M ε≤+由此
可见系统[].
()x A C t x =+的一切解在[),β+∞上有界。

20.证明：对于系统0()x x x R +=∈，令.
x y =，则原系统可化为.
.x y
y x
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
此系统对应的特征方程为21
det()101A E λλλλ
--=
=+=--，其特征值为
12,i i λλ==-，故可得到该系统的零解是稳定的，又由对于线性自治系
统来说，稳定与一致稳定是等价的，故系统0()x x x R +=∈的零解是一致稳定的。

对于系统.
1
20,0,x t x x t x R --+=>∈。

令.
x y =，则原系统可化为
.
.
2
x y y x y
t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩
，
此
系统对应的特征方程为
21
2
det()102
1
A E t t
λ
λλλλ
--=
=-+=--，其对应的特征值为
12λλ==，这两个特征值的实部均大于0，所以这个
扰动系统的零解是不稳定的。

23.证明：对于线性系统.
()()x A t x g t =+，设()x x t =是一个未受扰解，令
()()()y t x t x t ~
=-则得扰动系统为线性齐次系统.
()y A t y =，系统.
()()x A t x g t =+的未受扰解()x x t =对应扰动系统的零解0y =。

设()t Φ是
系统.
()y A t y =的一个基本解矩阵，则该系统满足初始条件00()y t y =的特解为100()()y t t y -=ΦΦ。

因为()t Φ为不变的量，故y 与初始值成比例，比例系数为()t Φ，则可得系统.
()y A t y =解的稳定性结果与初始值的大小无关，又由系统.
()()x A t x g t =+的稳定性与.
()y A t y =零解的稳定性一致，故得对于线性系统.()()x A t x g t =+的任何解()x x t =，局部稳定性与全局稳定性是等价的。