数学建模电力生产问题精修订

数学建模电力生产问题 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
电力生产问题
摘要
对于该电力生产问题，在解决发电机的发电量能满足每日的电力需求的条件下，为了使每日的总成本达到最低。

我们通过对发动机工作合理安排问题的探究和讨论，通过数学规划，建立了非线性的动态规划模型。

问题一，首先我们根据题意运用非线性规划方法列出目标函数即四种型号的发电机的总的固定成本、总的边际成本、总的启动成本的和函数，根据表一和表二所给的数据要求，列出模型约束条件，编出相应的程序，对建立的模型进行求解，最终得出每天最低总成本为1465840元
问题二，将第一个问题中的发电机的输出功率变为原来的80%，分析方法和问题一类似。

最终求得发电机的工作安排，运行成本为1532952元
关键词：固定成本、边际成本、启动成本、动态规划、最低总成本
一、问题重述
为满足每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），可以选用四种不同类型的发电机。

每日电力需求如下表1。

表1：每日用电需求（兆瓦）
每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。

所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。

这些数据均列于表2中。

表2：发电机情况
只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。

与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。

问题（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？
问题（2）如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。

那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时最小总成本又为多少？
二、模型的假设
（1）发动机的实际功率为最大输出功率
（2）所有发动机在运行过程无故障出现
（3）启动发动机的一瞬间就达到最大输出功率
三、符号的说明
四、问题分析
此题解决的是在不同时间段应如何选择不同发电机的型号使总成本最低的优化模型问题。

要使所选择的发电机的总成本最低应该需要建立合理的模型。

总成本是由各个时间段的总的固定成本、总的边际成本和总的启动成本构成，即W=W1+W2+W3。

总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出。

总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最
小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本。

总的启动成本W3，在不同时间段中，上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，
这样就会进接影响总成本，因此在考虑电机的运行费用时应该把下一阶段电机的运行状况和上一阶段的运行状况联系起来，最后得到总的启动成本。

在解决此问题的同时，除了考虑满足每天的用电需求外，还应该使每天电机的运行费用尽可能的小。

对于问题二要在任何时候，使正在工作的发电机必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升，我们只需要在第一问的基础上，把各时段电机最大输出功率总和的80%作为各时段电机输出功率总和的最大值。

再根据第一问的模型思想，通过非线性规划，得到最低总成本。

五、数据分析
根据题目的表1，将一天分为时间分为七个时间段，列出相关的数据运行时间及需求功率表（表一）,功率（MW），时间（小时）
根据题目中的表2，将数据中发电机的情况表列出（表二），功率（MW），固定成本、边际成本（元/小时），启动成本（元）。

六、模型的建立与求解
问题一
由表中数据可得，总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出
W1=∑∑NN NN NN
4
N=1
7
N=1
而总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本
W2=∑∑(NNN
7
N=1−
4
N=1
NN NNNNN)NN NN
再者，求总的启动成本W3，由于上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，其值与上阶段启动的发动机数量及下阶段新启动的发动机数量有关，再根据不同型号的发动机启动成本就得出总的启动成本
W3=∑(N1N−N7N)N1N+ 4
N=1∑∑NNN−N(N−1)N
4
N=1
7
N=2
NNN
约束条件如下
{NNN≥NN
0≤N1≤10
0≤N2≤5
0≤N3≤8
0≤N4≤4
最后由总的固定成本W1，总的固定成本W2，总的启动成本W3，得到最小总成本
W=W1+W2+W3
具体结果如下表（表三）
问题二
由于问题二与问题一的的模型思路类似，由表中数据可得，总的固定成本W1由每台发动机的固定成本和发动机的工作时间及发动机数量的乘积求出
W1=∑∑NN NN NN
4
N=1
7
N=1
而总的边际成本W2是通过先求出当前型号发动机的功率与其相同型号发动机最小功率的差，再将差值与一台该型号的发动机的边际成本及其工作时间相乘，得到的乘积即为总的边际成本
W2=∑∑(80%NNN
7
N=1−
4
N=1NN NNNNN)NN NN
再者，求总的启动成本W3，由于上一阶段的电机运行情况将影响下一阶段的启动成本，其值与上阶段启动的发动机数量及下阶段新启动的发动机数量有关，再根据
不同型号的发动机启动成本就得出总的启动成本
W3=∑(N1N−N7N)N1N+ 4
N=1∑∑NNN−N(N−1)N
4
N=1
7
N=2
NNN
约束条件如下
{NNN≥NN
0≤N1≤10
0≤N2≤5
0≤N3≤8
0≤N4≤4
最后由总的固定成本W1，总的固定成本W2，总的启动成本W3，得到最小总成本
W=W1+W2+W
具体结果如下表（表四）
七、模型误差分析
1.模型过于理想化，在实际操作中发动机的输出功率不可能达到最大输出功率
2.通过lingo软件的计算得到了较为准确的数值，使结果更为精确
3.发动机在实际工作中功率是缓慢增加，不可能一瞬间达到，所以实际中的结果
与理想化的模型也会有一定的偏差
八、模型评价
1．该模型在求最低成本的问题上思路明确，从固定成本、边际成本、启动成本三个因素开始计算，通过其总和求出最低成本，步骤及思路清晰。

2．将一天作为一个整体进行求解，考虑到了各个时段间的关联，考虑到前段时间的启动成本与后一阶段的启动成本可能存在的发动机启动重复性，通过合理的分析，排除前阶段启动后阶段仍然启动的发动机的启动成本，使结果更为精确。

3．本模型忽略了一些实际问题中的问题，是较为理想化的模型，存在误差。

九、模型的推广和改进
在实际操作中，需要计算发动机工作时，从最小功率上升到最大功率的时间和在这期间的输出功率。

发动机在工作中会产生热量，这就代表发动机不可能一直以最大功率进行输出。

这需要考虑到发动机随工作时间增长其实际输出功率的变化，从而进行。

十、参考文献
[1]司守奎数学建模算法与应用习题解答北京：国防工业出版社，2013.1
[2]焦云芳数学建模入门北京：冶金工业出版社，2012.4
[3]姜启源谢金星叶俊数学模型(3版) 北京：高等教育出版社.2
十一、附录
问题一
NMI( 1, 1) 2.000000 //所用（时间段，型号）台数
NMI( 1, 2) 5.000000 NMI( 1, 3) 0.000000 NMI( 1, 4) 0.000000 NMI( 2, 1) 2.000000 NMI( 2, 2) 5.000000 NMI( 2, 3) 8.000000 NMI( 2, 4) 2.000000 NMI( 3, 1) 2.000000 NMI( 3, 2) 5.000000 NMI( 3, 3) 7.000000
NMI( 4, 1) 5.000000 NMI( 4, 2) 5.000000 NMI( 4, 3) 8.000000 NMI( 4, 4) 1.000000 NMI( 5, 1) 5.000000 NMI( 5, 2) 4.000000 NMI( 5, 3) 5.000000 NMI( 5, 4) 0.000000 NMI( 6, 1) 5.000000 NMI( 6, 2) 5.000000 NMI( 6, 3) 5.000000 NMI( 6, 4) 1.000000 NMI( 7, 1) 5.000000 NMI( 7, 2) 5.000000 NMI( 7, 3) 1.000000
W( 1, 1) 58800.00 //总成本（时间段，型号）
W( 1, 2) 87000.00 W( 1, 3) 0.000000 W( 1, 4) 0.000000 W( 2, 1) 29400.00 W( 2, 2) 43500.00 W( 2, 3) 144960.0 W( 2, 4) 69960.00 W( 3, 1) 29400.00 W( 3, 2) 43500.00 W( 3, 3) 110040.0 W( 3, 4) 0.000000 W( 4, 1) 64000.00 W( 4, 2) 29000.00 W( 4, 3) 86240.00
W( 5, 1) 98000.00 W( 5, 2) 46400.00 W( 5, 3) 104800.0 W( 5, 4) 0.000000 W( 6, 1) 98000.00 W( 6, 2) 59600.00 W( 6, 3) 104800.0 W( 6, 4) 46240.00 W( 7, 1) 49000.00 W( 7, 2) 29000.00 W( 7, 3) 10480.00 W( 7, 4) 0.000000问题二
NMI( 1, 1) 4.000000 18568.00
NMI( 1, 2) 5.000000 11839.98
NMI( 1, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 2, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 2, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 2, 3) 8.000000 15960.00 NMI( 2, 4) 0.000000 0.000000 NMI( 3, 1) 10.00000 11784.00 NMI( 3, 2) 5.000000 6720.000 NMI( 3, 3) 3.000000 11160.00 NMI( 3, 4) 0.000000 25800.00 NMI( 4, 1) 10.00000 7856.000 NMI( 4, 2) 5.000000 4480.000 NMI( 4, 3) 3.000000 9040.000 NMI( 4, 4) 4.000000 18400.00 NMI( 5, 1) 10.00000 15712.00 NMI( 5, 2) 5.000000 8959.981
NMI( 5, 4) 0.000000 33199.99 NMI( 6, 1) 10.00000 2280.000 NMI( 6, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 6, 3) 6.000000 0.000000 NMI( 6, 4) 0.000000 -239.9721 NMI( 7, 1) 5.000000 -280.0000 NMI( 7, 2) 5.000000 0.000000 NMI( 7, 3) 3.000000 0.000000 NMI( 7, 4) 0.000000 0.000000 W( 1, 1) 94272.00 0.000000
W( 1, 2) 67200.00 0.000000 W( 1, 3) 0.000000 0.000000 W( 1, 4) 0.000000 0.9989899 W( 2, 1) 147840.0 0.000000 W( 2, 2) 33600.00 0.000000
W( 2, 4) 0.000000 0.9555556 W( 3, 1) 117840.0 0.000000 W( 3, 2) 33600.00 0.000000 W( 3, 3) 40680.00 0.000000 W( 3, 4) 0.000000 0.000000 W( 4, 1) 78560.00 0.000000 W( 4, 2) 22400.00 0.000000 W( 4, 3) 27120.00 0.000000 W( 4, 4) 73600.00 0.000000 W( 5, 1) 157120.0 0.000000 W( 5, 2) 44800.00 0.000000 W( 5, 3) 54240.00 0.000000 W( 5, 4) 0.000000 0.000000 W( 6, 1) 157120.0 0.000000 W( 6, 2) 44800.00 0.000000
W( 6, 4) 0.000000 0.000000 W( 7, 1) 39280.00 0.000000 W( 7, 2) 22400.00 0.000000 W( 7, 3) 27120.00 0.000000 W( 7, 4) 0.000000 0.8016131。