第3讲-差分方法1

传统计算方法： 有限差分法， 有限元法， 谱方法（谱元法） 传统计算方法： 有限差分法， 有限体积法 ， 有限元法， 谱方法（谱元法）等； 最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子 ），无网格 最近发展的方法 基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格 ）， 优点 有限差分法 有限体积法 有限元法 谱方法 粒子类方法 简单成熟， 简单成熟，可构造高精 度格式 守恒性好， 守恒性好，可处理复杂 网格 基于变分原理， 基于变分原理，守恒性 好 精度高 算法简单， 算法简单，可处理复杂 外形 缺点 适用范围
u = sin( x) → du = cos( x) dx
理论方法， 展开， 理论方法，Taylor展开，求余项 。 对 展开 于复杂（如非线性）格式，难度大。 于复杂（如非线性）格式，难度大。
Fj = δ xu j
实验方法， 实验方法，通过算例考核精度 精确解
φ j 为该离散函数的模
计算误差
err = F j − cos(x j ) cos( x
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理论研究
“计算流体力学”作为一个学 计算流体力学” 其研究手段依然包括理论、 科， 其研究手段依然包括理论、 实验及数值模拟。 实验及数值模拟。
流体 力学
实验研究
理论研究： 理论研究： 格式推导、 稳定性分析， 格式推导、 稳定性分析， 精度/误差分析 误差分析， 精度 误差分析，……
数值研究
计算流体力学 数值计算技术、 （数值计算技术、 计算方法研究） 计算方法研究） 实验研究： 实验研究： 数值实验， 数值实验， 采用 实际问题考核方法 的正确性
n +1 n u n − u n−1 ∆x ∂u ∂u u j − u j ∆x 2 ∆t ∆t 2 j j +a = +a − u xx + u xxx + utt + uttt + ...... ∂t ∂x ∆t ∆x 2 6 2 6
微分方程=差分方程 截断误差 微分方程 差分方程+截断误差 差分方程
∂u ∂u +a =0 ∂t ∂x
u n +1 − u n j j ∆t +a u n − u n−1 j j ∆x =0
n u n − u n−1 ∆x ∆x 2 ∂u j j − u xx + u xxx + ... = ∆x 2 6 ∂x j
差分方程
截断误差
n n +1 n ∆t 2 ∂u u j − u j ∆t uttt ⋯ + utt + = 2 6 ∆t ∂t j
Shu-Osher问题的计算结果 （Li et 问题的计算结果 al. Init. J. Num. Fluid. 2005)
航空领域权威的考核算例—— DPW标准计算模型 航空领域权威的考核算例 标准计算模型
Copyright by Li Xinliang 常用一、 常用一、二维算例整理后已发到流体中文网 www.cfluid.com 6
分析误差对网格步长的依赖关系 lg err 斜率为精度的阶数 （通常用最小二乘法计算）
常用的模： 常用的模： φ 1 模： 2 模： φ 无穷模： 无穷模
j 1
= =
∑φ
j
j
j 2
1 N
j
∑φ
j
2 j
φj
∞
= max φ j
lg ∆x
典型的文章： 提出方法+理论分析 + 算例验证
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前差 后差 中心差
… j-2
后
j-1 j
前
j+1 …
其他： 向前（ 偏心差分； 其他： 向前（后）偏心差分
c.
差分方程 经差分离散后的方程， 经差分离散后的方程，称为差分方程
∂u ∂u +a =0 ∂t ∂x
u n +1 − u n j j ∆t +a u n − u n−1 j j ∆x =0
如何确定精度？ 如何确定精度？ 1） 理论方法， 给出误差表达式 ） 理论方法， 2）数值方法， 给出误差对 ∆x ）数值方法， 的数值依赖关系
讲义、 流体中文网） 流体论坛” “ 讲义、课件上传至 www.cfluid.com (流体中文网） -> “流体论坛” ->“ CFD基础理论 ” 流体中文网 基础理论
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有限差分法（ ） 第三讲 有限差分法（1） 教材第3.1、 节及第 节及第4章 （教材第 、3.2节及第 章）
精度 （1阶） 截断误差 （2阶）
2 ∂u u j +1 − u j 1 ∂ u − 2 ∆x + ⋯ = ∆x 2! ∂x j ∂x j
u j +1 − u j −1 1 ∂ 3u ∂u + ( 3 ) j ∆x 2 = 2∆x 3! ∂x ∂x j
∂u 1 ∂ 2u 1 ∂ 3u 2 u j +1 = u j + ( ) j ∆x + ( 2 ) j ∆x + ( 3 ) j ∆x 3 ...... ∂x 2! ∂x 3! ∂x
2 ∂u u j +1 − u j ∂ u ∆x − 2 = ∂x 2! + ⋯ ∆x ∂x j j
u j +1 − u j −1 1 ∂ 3u ∂u = + ( 3 ) j ∆x 2 2∆x 3! ∂x ∂x j
u n +1 − u n j j ∆t
=µ
1 +1 +1 u n+1 − 2u n +1 + u n−1 j j j 2 ∆x
[
]
多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑） 多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑） ；（时间同样考虑
1 ∂ 2u a ∂ 2u TE = 2 ∆t + 2 ∆x + ⋯ 2! ∂t j 2! ∂x j
n n
微分方程
差分方程
截断误差： 截断误差：
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d. 差分方程的修正方程
修正方程—— 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程 差分方程准确逼近（无误差逼近） 修正方程
处理复杂网格不够灵 相对简单外形的 高精度计算 活 不易提高精度（ 不易提高精度（二阶 复杂外形的工程 以上方法复杂） 以上方法复杂） 计算 对于复杂方程处理困 多用于固体力学 等 难 外形、 外形、边界条件简单 简单外形的高精 度计算 精度不易提高 复杂外形的工程 计算
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研究CFD的计算手段 的计算手段 研究
例： 差分格式构造
理论方法： 手工推导系数（工作量大） 理论方法： 手工推导系数（工作量大） 数值方法： 数值方法： 通过数值手段推导系数
∂u = a1u j − 2 + a2 u j −1 + a3u j + a4 u j +1 + O(∆3 ) ∂x j
数值求解， 数值求解，获得系数
n +1 n ∂u u j − u j + O( ∆t ) = ∂t j ∆t n
比有限体积法计算量小； 比有限体积法计算量小； 便于构造高阶格式； 便于构造高阶格式
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基本概念： 基本概念：
a. 差分表达式及截断误差 差分表达式及截断误差:
∑ ( j − 3)
j =1
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k
a j = bk
k = 0 ,1, 2 ,3
格式优化； 格式优化； 分析; 通过数值计算手段进行 Fourier分析 分析 ……
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§ 3.1 有限差分法基本原理 1. 差分方法的基本原理 离散点上利用Taylor展开，把微分转化成差分 展开， 微分转化成差分 离散点上利用 展开 转化成
例：Fourier分析 分析 线性系统： 线性系统： 线性方程+ 线性方程 线性格式 初始值 差分系统 (解差分 解差分 方程) 方程 数值解（ 数值解（特 定时刻离散 的函数值） 的函数值）
记为： v j = Φu j Φ 是差分算子，把离散函数 是差分算子， 有限点列） （有限点列）{u j }映射为另 一个离散函数 {v j }
u n +1 − u n j j ∆t
∆t
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u n − u n−1 j j ∆x
∆x
∆x a∆x 2 ∆t ∆t 2 = ut + a u x + u xx − u xxx + utt + uttt + ...... 2 6 2 6
uj = ˆ ∑u e
k k ikx j
任意函数都可分解为三角函数的叠加 {vi} 与{ui}的依赖关系 的依赖关系 线性系统， 线性系统，可大为简化
vj =
∑ vˆ e
k k
ikx j
ˆ 与 ˆ} {vk } {u k的依赖关系
ˆ ˆ ˆ ˆ (v1 = f (u1 ), v2 = f (u 2 ),......)
计算流体力学讲义
有限差分法（ ） 第三讲 有限差分法（1）
李新亮 lixl@imech.ac.cn ；力学所主楼 力学所主楼219； 82543801 ；
知识点： 知识点：
差分方法的理论基础 （相容、收敛、稳定性；Lax等价定理；精度、修正方程; 守恒性） 相容、收敛、稳定性； 等价定理；精度、修正方程 守恒性） 等价定理 差分格式的构造 差分格式的Fourier分析 差分格式的 分析
差分表达式
b. 前差、后差、中心差 前差、后差、
u j +1 − u j ∂u + O (∆x) = ∆x ∂x j u j − u j −1 ∂u + O (∆x) = ∂x j ∆x u j +1 − u j −1 ∂u + O( ∆x 2 ) = 2∆x ∂x j
2维算例： 维算例： 维算例 后台阶、 问题、 激波干扰、 前/后台阶、双马赫反射、二维 后台阶 双马赫反射、二维Riemann问题、漩涡 激波干扰、翼 问题 漩涡-激波干扰 型扰流、 型扰流、圆柱绕流 3维复杂算例： 维复杂算例： 维复杂算例 各向同性湍流的DNS, 槽道湍流的 槽道湍流的DNS, 激波 边界层干扰的 激波-边界层干扰的 边界层干扰的DNS 各向同性湍流的
ˆ 波数空间单一的依赖关系： ˆ 波数空间单一的依赖关系： vk = f (u k )
线性差分系统： 针对一个单波 研究经过差 一个单波， 一个单波 分系统后的变化就可以了解该系统。 Fourier误差分析； Fourier稳定性分析
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原理： 原理： 线性系统，输入一个波， 线性系统，输入一个波，只能 输出一个波（且波数不变）。 输出一个波（且波数不变）。 非线性系统会产生多个谐波
err = α∆x n ⇒ lg err = n lg ∆x + lg α
斜率为精度的阶数n
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常用的验证算例（ 实验验证” 常用的验证算例（“实验验证”）
考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则， 考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则， 无法突出方法的优越性。 无法突出方法的优越性。 1维算例： 维算例： 维算例 Sod 激波管， Shu-Osher, 方波 尖波 激波管， 方波/尖波 尖波……
… j-2 j-1 j j+1 …
（等距网格） 等距网格）
∂u ∂ 2u =µ 2 ∂t ∂x
0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ t ≤ T
u j +1 − u j ∂u + O (∆x) = ∆x ∂x j u j +1 − u j −1 ∂u + O( ∆x 2 ) = 2∆x ∂x j
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理论分析的局限性： 对于复杂系统（非线性方程、非线性格式） 理论分析的局限性： 对于复杂系统（非线性方程、非线性格式）非常困难
研究CFD的实验手段 的实验手段 研究
思想： 通过具体算例来研究（考核，分析…） 思想： 通过具体算例来研究（考核，分析 ）差分方法 例： 精度分析 du 差分离散 dx
数值研究： 数值研究： 采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性 分辨率…… 稳定性/分辨率 采用数值计算推导格式、考察精度 稳定性 分辨率
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举例说明： 举例说明： 研究“计算流体力学 学科的理论手段 实验手段及 计算流体力学” 理论手段、 研究 计算流体力学 学科的理论手段、实验手段及计算手段 研究CFD的理论手段 的理论手段 研究