冲激响应和阶跃响应
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，本文将从以下几个方面进行阐述。
一、定义
冲激响应是指系统对于一个冲击信号的响应，通常用h(t)表示。
而阶跃响应则是指系统对于一个单位阶跃信号的响应，通常用g(t)表示。
二、关系
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过积分的方式来表示。
具体来说，如果我们知道了系统的冲激响应h(t)，那么系统的阶跃响应g(t)可以通过对h(t)进行积分得到，即：
g(t) = ∫[0,t]h(τ)dτ
这个公式的意义是，系统对于一个单位阶跃信号的响应可以看作是对于一系列冲击信号的响应之和。
这也是为什么我们可以通过积分的方式来求解阶跃响应的原因。
三、应用
冲激响应和阶跃响应在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在数字滤波器设计中，我们通常会先求出系统的冲激响应，然后再通过积分的方式来得到系统的阶跃响应。
这样做的好处是，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和幅频响应等信息，从而更好地设计数字滤波器。
此外，在控制系统中，我们也常常需要求解系统的阶跃响应。
例如，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的稳态误差和响应速度等信息，从而更好地设计控制器。
四、总结
综上所述，冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，可以通过积分的方式相互转换。
在实际应用中，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和稳态误差等信息，从而更好地设计数字滤波器和控制系统。
§2.5 冲激响应和阶跃响应ppt课件
H
r t
u t
H
g t
返回
三.冲激响应的求解方法
1. 冲激响应的数学模型
对于线性时不变系统,可以用高阶微分方程表示为：
n n 1 d r ( t) d r ( t) d r ( t) C C C C r ( t) 0 1 n 1 n n n 1 d t d t d t m m 1 d e ( t) d e ( t) d e ( t) E E E E e ( t) 0 1 m 1 m m m 1 d t d t d t
方法2：奇异函数项相平衡法
设特征根为简单根（无重根的单根），则：
当n > m 时，ht 不含 t 及其各阶导数，其解的形式为： n a it h ( t) A u ( t) ie 1 i 当n m 时，h t 中应包含 t ，其解的形式为：
齐次方程
冲激 t 在 t 0时转为系统的储能（由 vC (0 )体现）， t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统 的冲激响应。
求解
1 特征方程 RC a 1 0 特征根 a RC t
v ( t ) A e u ( t ) C
RC
t> 0 时的解
2.求解方法
方法1：冲激函数匹配法：首先求出 0 ~ 0跳变值，由于 冲激响应为零状态响应，则h(n)(0-)=0，所以 h(n)(0+)=跳变值；t 0时， t 及其导数均为零，
因而方程式右端的自由项恒等于零，其解的形式
为微分方程的齐次解 ，即： h( t ) Ai ea t
dt
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
阶跃响应和冲激响应之间的关系
阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。
我们来看一下阶跃响应的定义。
阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。
阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
接下来，我们来看一下冲激响应的定义。
冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。
冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。
事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。
这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。
具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。
假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。
根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。
换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。
这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。
阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。
在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。
阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。
总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。
第二章第2讲_冲激响应与阶跃响应
2
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
(k1 k2 ) (t ) (3k1 k2 ) (t ) (t ) 2 (t )
k1 k2 1 3k1 k 2 2
将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端
ke (t ) ke u(t ) ke u(t ) (t )
k e (t ) (t )
t
t
duc (t ) uc (t ) e(t ) dt
t
t
h (t ) e u (t ) rzs (t ) uczs (t ) e(t ) h(t )
d h (t ) t 3t t 3t ( k1e k2e ) (t ) (k1e 9k2e )u(t ) 2 dt t 3t ( k1e 3k2e ) (t )
(k1 k2 ) (t ) ( k1 3k2 ) (t ) (k1et 9k2e3t )u(t )
当n＝m时， h ( t )
ki e
i 1
i t
u (t ) kn 1 (t )
当n<m时，h(t)中还应包含(t)的导数
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
三、确定h(t)中的系数ki 将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各 级导数代入 方程右端，令对应项系数相等。
k 0
n
2、系统的零状态响应
( t ) h ( t )
对于线性时不变系 统 n
k (t t0 ) kh(t t0 )
rzs (t )
k 0
e ( k t ) t h ( t k t )
阶跃响应冲激响应
(t)
h(t)
零状态
(t)
0
t
(t) 0 (t 0)
(t)dt 1
分析冲激响应时，时间范围为 0 到 t 。
措施一 ： 分两个时间段来考虑
（1） t 在 0- ～ 0+；（2） t > 0+。
例1 已知：uC (0 ) 0。 求： iS(t)为单位冲激时电路旳响应uC(t)和 iC (t)。
f(t )(t)
f (t )
f(t )(t-t0)
t 0 t0
f(t )(t) f(t-t0 )(t-t0)
注意 不要写为
1 R
e
t
RC
(
t
-
t0
)
0
t
例 求图示电路中电流 iC(t)
10k
uS/V
+
iC
10
10k
- uS
100F
0 0.5 t/s
uC(0-)=0
解 uS [10 (t) 10 (t 0.5)] V
2. 延迟旳单位阶跃函数
(t-t0)
def 0
(t t0 ) 1
(t t0 ) (t t0 )
0 t0
t
S
US
R+ uC C
–
开关在t =t0 时闭合
3. 由单位阶跃函数可构成复杂旳信号
例1
f(t)
1
0 t0
t
1
f
(t
)
0
(0 t t0 ) (t 0 , t t0)
试用阶跃函数表达上图所示旳矩形脉冲。
减小，脉冲变窄，面积不变。
0
1 面积不变
令 lim p(t) (t) 0
阶跃响应与冲激响应1
duC uC C + = δ (t) dt R
图 6.30
duC uC C + = δ (t) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30
∫
0+
0
duC uC +∫ = ∫ δ (t ) = 1 C 0 dt R 0
0+
0+
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
L[iL (0 ) iL (0 )] = 1,
+
1 iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
+
说明电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
2） t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RL 零输入响应问题， 如图 6.34 所示， 因此
iL = iL (0 + )e
t
τ
1 τt = e , t ≥ 0+ L
duC 1 2t iC = C = e ε (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2 ( t 0. 5 ) iC = 5[ e ε ( t ) e ε ( t 0.5)] 5 5
= e ε (t ) e
2 t
2 ( t 0. 5 )
ε ( t 0.5) mA
1
1
(1) u ( t )ε ( t )
( 2 ) u ( t 1)ε ( t )
0
2 t 1
－1
0
1
t
( 3 ) u ( t 1)ε ( t 1) 1
( 4 ) u ( t 2 )ε ( t 1 )
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
系统的冲激响应和阶跃响应的关系系统的冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的定义•冲激响应（Impulse Response）是指系统对单位冲激信号的响应。
单位冲激信号是一个幅度为1、宽度为0的信号，其面积为1。
•阶跃响应（Step Response）是指系统对单位阶跃信号的响应。
单位阶跃信号是一个幅度从0突变到1的信号，其面积为1。
冲激响应和阶跃响应的关系•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，而阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系。
•对于线性时不变系统，可以通过积分的方式来获得阶跃响应。
冲激响应和阶跃响应的解释•冲激响应可以看作是系统对瞬时激励的响应。
通过对冲激响应进行积分，可以得到系统对任意激励的响应。
•阶跃响应可以看作是系统对持续激励的响应。
通过对阶跃响应进行微分，可以得到系统对瞬时激励的响应。
总结•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在数学关系，可以通过积分和微分来相互转换。
•通过研究冲激响应和阶跃响应，可以了解系统对不同类型激励的响应特性。
•系统的冲激响应和阶跃响应是系统描述和分析的重要内容。
•冲激响应可以提供系统的频率特性信息，通过对冲激响应进行傅里叶变换，可以得到系统的频率响应函数，从而了解系统的频率选择性。
•阶跃响应可以提供系统的时域特性信息，通过观察阶跃响应的形态，可以得到系统的时间稳定性和响应速度等信息。
•通过对比冲激响应和阶跃响应，可以判断系统的稳定性和动态特性。
•冲激响应和阶跃响应对系统设计和故障诊断也具有重要意义。
•在实际应用中，通过对系统的冲激响应和阶跃响应进行测量和分析，可以优化系统的性能，改善系统的稳定性和响应速度。
补充说明•系统的冲激响应和阶跃响应在信号处理、控制系统、电子电路等领域都是重要的概念和工具。
信号与系统冲激响应和阶跃响应
r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们在时域和频域的特性不同，但在某些情况下存在一定的联系和关系。
冲激响应是指当输入信号为冲激函数（即单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
冲激响应可以用于分析系统的频率响应特性，例如计算系统的频率响应函数、幅频特性和相频特性等。
冲激响应通常被表示为系统的单位脉冲响应函数。
阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数（即单位阶跃函数）时，系统的输出响应。
阶跃响应可以用于分析系统的时域特性，例如计算系统的单位阶跃响应函数、过渡时间、稳态误差和阶跃响应曲线等。
阶跃响应通常被表示为系统的单位阶跃响应函数。
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过拉普拉斯变换进行推导。
拉普拉斯变换是一种常用的信号处理工具，可以将时域的信号转换为复频域的函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将冲激响应和阶跃响应之间建立起联系。
对于一个线性时不变系统，假设其冲激响应为h(t)，阶跃响应为s(t)。
根据定义，阶跃响应可以表示为冲激响应的积分。
具体地，s(t)等于h(t)的积分，即s(t) = ∫h(τ)dτ，其中积分的上限是从0到t。
通过拉普拉斯变换，我们可以将上述关系表示为复频域的函数。
假设冲激响应的拉普拉斯变换为H(s)，阶跃响应的拉普拉斯变换为S(s)。
根据拉普拉斯变换的性质，阶跃响应的拉普拉斯变换可以表示为冲激响应的拉普拉斯变换除以s，即S(s) = H(s)/s。
从上述关系可以看出，冲激响应和阶跃响应之间存在一定的联系。
阶跃响应可以通过冲激响应的积分得到，而冲激响应可以通过阶跃响应的导数得到。
它们之间的关系可以帮助我们在信号处理中进行相互转换和分析。
除此之外，冲激响应和阶跃响应还可以用于系统的稳定性分析和系统参数估计。
通过对冲激响应和阶跃响应的分析，我们可以了解系统对不同类型输入信号的响应情况，进而判断系统的稳定性和性能。
冲激响应和阶跃响应在信号处理中扮演着重要的角色。
它们具有不同的时域和频域特性，但又存在一定的联系和关系。
§2.5 冲激响应和阶跃响应
解形式； 解形式；
2）求h(t)及各阶导数； 及各阶导数； 3）将h(t)及各阶导数代入微分方程的左端，使微分方 及各阶导数代入微分方程的左端，
程左、右两端奇异函数相平衡，从而求出待定系数。 程左、右两端奇异函数相平衡，从而求出待定系数。 这里，绕过了求h(n)(0+)的问题。 的问题。 这里，
令h(n)(t)的系数为1，则方程变为： (t)的系数为 的系数为1 则方程变为： h( n ) ( t ) + an−1 h( n−1 ) ( t ) + K + a1 h' ( t ) + a0 h( t )
= bmδ ( m ) ( t ) + bm−1δ ( m−1 ) ( t ) +K+ b1δ ' ( t ) + b0δ ( t )
响应及其各 阶导数( 阶导数(最 高阶为n 高阶为n次)
令 e(t)=δ(t) 则 r(t)=h(t)
激励及其各 阶导数( 阶导数(最 高阶为m 高阶为m次)
C0h(n) ( t ) + C1h(n−1) ( t ) +K+ Cn−1h(1) ( t ) + Cnh( t )
= E0δ (m) ( t ) + E1δ (m−1) ( t ) +K+ Em−1δ (1) ( t ) + Emδ ( t )
及其各阶导数，其解的形式为： •当n > m 时，h(t )不含 δ(t ) 及其各阶导数，其解的形式为： n αi t h(t) = ∑Ae u(t) i i=1 其解的形式为： •当n = m 时，h (t ) 中应包含 δ (t ) ，其解的形式为：
信号与系统冲激响应和阶跃响应
对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从
阶跃响应和冲激响应的关系
阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。
不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。
阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。
你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。
这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。
而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。
想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。
这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。
看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。
这两者之间的关系就像是亲兄弟。
阶跃响应可以说是冲激响应的积累。
想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。
每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。
学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。
有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。
比如说，你设计一个自动驾驶的系统。
它需要在感知到障碍物时快速反应。
这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。
换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。
哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。
在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。
比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。
而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。
换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。
冲激响应和阶跃响应
大于零的实常数。
(2)初始条件增大 1 倍，当激励为0.5e(t) 时的全响应 r4(t) 。
(1) 设零输入响应为 rzi (t) ，零状态响应为 rzs (t ) ，则有
r1(t) rzi (t) rzs (t) 2e3t sin(2t) 2rzs (t) [e3t 2sin(2t)]u(t)
xn nk xn A
yn Aknk Ak1nk1 A1n A0 yn C
xn rn
yn Crn
xn rn （r与特征根重）
yn C1nrn C2rn
X
)
vC
(t
)
0
齐次方程
冲激 t在 t时转0 为系统的储能（由 体vC现(0） )，
t >0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统
的冲激响应。
X
求解
第 5
页
特征方程 RC 1 0
特征根 1
RC
t
vC (t) Ae RC u(t)
t 0时的解
ht
H
2．一阶系统的冲激响应 3．n阶系统的冲激响应
X
例1 一阶系统的冲激响应
第 4
页
求下图RC电路的冲激响应。（条件：vC 0 0）
R
iC (t)
列系统微分方程：
(t)
RC
d
vC (t dt
)
vC
(t
)
(t
)
C
vC (t)
t 0, t 0
RC
d
vC (t dt
X
第
阶跃响应与冲激响应的关系
阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。
这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。
可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。
别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。
2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。
可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。
这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。
听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。
也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。
3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。
它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。
阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。
3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。
比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。
通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。
4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。
你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。
通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。
冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。
冲激响应和阶跃响应
信号与系统说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励如果冲激响应 不同，说明其系统特性不同， 冲激响应可以衡量系统的特性。
()t δ()h t 1．定义系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h (t )表示。
()t δ响应及其各阶导数(最高阶为n 次)2.冲激响应的数学模型1011110111d ()d ()d ()()d d d d ()d ()d ()()d d d n n n n n n m m m m m m r t r t r t C C C C r t t t te t e t e t E E E E e t t t t------++++=++++对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示()(1)(1)011()(1)(1)011()()()()()()()()n n n n m m m m C h t C h t C h t C h t E t E t E t E t δδδδ----++++=++++激励及其各阶导数(最高阶为m 次)令 e (t )=δ(t ) 则 r (t )=h (t )设特征根为简单根（无重根的单根）1()e ()()i nt i i h t A u t f t λ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 由于δ(t ) 及其导数在 t > 0+ 时都为零，因而方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。
②与n, m 相对大小有关①与特征根有关3. h (t ) 解的形式4.求法:直接代入确定待定系数()()n m h t t δ>不包含 及其各阶导数。
1()e ()i nt i i h t A u t λ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ=包含 。
01()e ()()int i i h t C u t D t λδ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑()()n mh t t δ<包含 及其各阶导数，最阶次为m - n()∑∑-==+⎪⎭⎫ ⎝⎛=nm k k k n i t i t D t u C t h i 01)()(e )(δλ例: 系统微分方程为)(2d )(d )(3d )(d 4d )(d 22t e tt e t r t t r t t r +=++试求其冲激响应。
信号与系统 冲激响应和阶跃响应
i
①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根） h(t )
nm
h(t ) 包含 (t ) 及其各阶导数，最阶次为m - n
i 1
mn n i t h(t ) Ci e u(t ) Dk k (t ) k 0 i 1 4.求法:直接代入确定待定系数
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
可计算得 A 0 ，即 则冲激响应为 h(t ) 由 可得
g (t ) et u(t )
d g (t ) (t ) e t u (t ) dt
y1 (t ) 2et u(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzi (t ) g (t ) yzi (t ) y1 (t ) g (t ) 2et u(t ) et u(t ) et u(t )
信号与系统
一．冲激响应
d 2r (t ) dr ( t ) de( t ) 例: 系统微分方程为 4 3r ( t ) 2e( t ) 2 dt dt dt
试求其冲激响应。
解： n=2，m=1 所以h(t)中不包含 (t)。
特征方程为： 2
4 3 0
1 1, 2 3
d 2 h(t ) t 3t t 3t ( k k ) ( t ) ( k e 3 k e ) ( t ) ( k e 9 k e )u (t ) 1 2 1 2 1 2 2 dt
冲激响应和阶跃响应
dn ry((tt))
dn1 ry(t )
d ry(t)
d t n an1 d t n1 a1 d t a0ry((tt))
d mef((tt))
d m1ef(t(t))
def((tt))
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0ef((tt))
看成f(t)
当f (t) (t)时，冲激响应设为h0(t)
)
bm
h( m
1 0
1)
(t
)
b1h0(t ) b0h0 (t )
X
第
总结
12 页
冲激响应的定义
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况
下加同样的激励 t，看响应 h(t)，h(t)不同，说明其
系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。
第 3 页
2.两者关系
由线性时不变系统的微积分性质知：
(t) h(t)
t
t
(t) ( )d g(t) h( )d
h(t) g(t)
X
第
二、冲激响应
4
页
对于线性时不变系统,可用转移算子表示为
ry((tt) H( p)ef(t(t))
当ef((tt)) (t)时，
h(t) H( p) (t)
p 1 p 2
p n
h(t ) k1 (t) p 1
两边同乘以e 1t，得
h(t) 1h(t ) k1 (t )
e1t h(t ) 1e1t h(t ) k1e1t (t )
e1t h(t ) k1e 1t (t )
e1t h(t )
t 0
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第
一．冲激响应
2） h(t) 解的形式 由于δ(t) 及其导数在 t>0+ 时都为零，因而方程式右端的自 由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 ①与特征根有关
5 页
设特征根为简单根（无重根的单根）
n i t h(t ) Ai e u (t ) i 1
X
第
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号 (t ) 作用下产生的零状态响应，称为单位
3 页
冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
(t )
H
h (t )
说明: 在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 看响应
(t )
h(t ) ，h(t )不同，说明其系统特性不同，
冲激响应可以衡量系统的特性。
h" (t ) a '' (t ) b ' (t ) c (t ) du (t ) ' 可设h (t ) a ' (t ) b (t ) cu (t ) h(t ) a (t ) bu (t )
代入方程得 '' ' a (t ) b 7a) (t ) (c 7b 10 a) (t ) （ (d c 10b)u (t ) '' (t ) 6 ' (t ) 4 (t )
②与n, m相对大小有关
nm nm nm
h(t )不包含 (t )及其各阶导数 h(t )包含 (t ) h(t )包含 (t )及其各阶导数
X
二．阶跃响应
1．定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应。
第
6 页
u (t )
H
g (t )
系统方程的右端包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃 响应关系求阶跃响应。
方法2：直接解方程求解（见教材）
X
第
三．齐次解法求冲激响应（补充）
ˆ ˆ d n h( t ) d n1 h( t ) ˆ a n 1 a0 h( t ) ( t ) dtn d t n 1
14 页
ˆ 令方程左端系数为1，右端只有一项(t)时，冲激响应为 ht
2．一阶系统的冲激响应
X
第
3．n阶系统的冲激响应
1).冲激响应的数学模型 对于线性时不变系统,可以用一高阶微分方程表示
4 页
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
§2.5 冲激响应和阶跃响应
•冲激响应
•阶跃响应
概述
零状态响应= 一部分自由响应 + 强迫响应 有一种特定条件下的零状态响应：单位冲激响应
第
2 页
• 系统的单位冲激响应h(t)的性质可以表示系统 的稳定性和因果性。 • h(t)的变换域表示更是分析LTI系统的重要手段。 • 因此，h(t)是系统分析中非常重要的一个概念， 贯穿于本课程的始终。
X
第
求冲激响应的几种方法
15 页
方法1：冲激函数匹配法求出 0 ~ 0 跃变值，定系数A。 方法2：奇异函数项相平衡法，定系数A。
方法3: 齐次解法求冲激响应。
X
第
总结
冲激响应的定义
16 页
•零状态；
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。 冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况 下加同样的激励 t ，看响应 h(t ) ， h(t )不同，说明其 系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 冲激响应的求解至关重要。
X
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
第
7 页
u (t ) (t
t
dg (t ) h(t ) = dt
阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限
t
－
对因果系统：
t
0
X
第
阶跃响应与冲激响应的关系
X
第 12 页
由两端平衡解得 a 1，b 1， c 1，d 9
h(0 ) h(0 ) b h(0 ) 1 dh(0 ) dh(0 ) dh(0 ) c 1 dt dt dt
将初始条件代入h(t ) A1 e 4 1 解得A1 ，A2 3 3
10 页
t 0 时 h" (t ) 7h' (t ) 10 h(t ) 0 它的齐次解形式为：
h(t ) A1 e
2t
A2 e
5t
u(t)
X
第 11 页
利用冲激函数匹配法求h(0+)及其导数h(0+)。由 于方程右端自由项(t)的最高阶导数为(t)
左端最高阶微分中含有(t)项
(n-1)阶微分中含有u(t)项。
可以由此定初始条件
( n 1 ) ( n 2 ) h (0 ) 1, h(0 ) h(0 ) h(0 ) h (0 ) 0
此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更 有优越性。
t
4 t 2 1 t 5 ( )d e d e d 3 0 3 0
t
2 u (t ) 3
e
2 t
1 1 u (t ) 15
e
5t
1 u (t )
2 2 t 1 5t 2 e e u (t ) 15 5 3
8 页
X
第
例2-5-3（教材例2-9、2-10）
求例2-5中系统的电流i(t)对激励e(t)=(t)的冲激响应 h(t)和阶跃响应g(t).
2
e(t ) 4V
9 页
s
1
i(t )
R1 1
ic (t )
iL (t )
L 1 H 4
e(t ) 2V
C 1F
R2
3 2
解：系统的微分方程为：
2 t
A2 e
5t
u(t )
微分方程n m，a 1, 则h(t)还将含（t）
4 2 t 1 5t h(t ) (t ) e e u (t ) 3 3
X
第
求阶跃响应
方法1：由阶跃响应和冲激响应的关系求解
13 页
g (t ) h( )d
d 2i(t ) di(t ) d 2e(t ) de(t ) 7 10i (t ) 6 4e(t ) 2 2 dt dt dt dt
X
第
求系统的冲激响应h(t)
其满足上方程：
d 2 h(t ) dh(t ) 7 10h(t ) " (t ) 6 ' (t ) 4 (t ) dt 2 dt h(0 ) dh(0 ) 0 dt
用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简 捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确。
X
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
e(t)=(t) 则 r(t)=h(t)
令
激励及其各 阶导数(最高 阶为m次)
C0 h( n ) (t ) C1h( n1) (t ) Cn1h(1) (t ) Cn h(t ) E0 ( m) (t ) E1 ( m1) (t ) Em1 (1) (t ) Em (t )