最新[理学]离散数学课件第十一章 半群与群讲学课件

•为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵
令
T0a 00
aR
1 0
0 1
则T S，且T对矩阵乘法•是封闭的，
所以<T,•>是V1＝<S,•>的子半群。 1 0
易见在<T, 所以<T, •
,•> 10中存00 在着>也自构己成的一单个位独元异 0点。0
，
但它不是V2=<S,•,e>的子独异点，因为V2中的单位元
V1×V2中的单位元，因此V1×V2也是独异点。
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半群与独异点的同态映射
定义11.3
(1)设V1＝<S1,>,V2＝<S2,>是半群,: S1→S2。 若对任意的x,y∈S1有 (xy)＝(x)(y)
则称为半群V1到V2的同态映射,简称同态(homomorphism)。 (2)设V1＝<S1 ,,e1>,V2＝<S2 ,,e2>是独异点, : S1→S2.
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11.2 群的定义与性质
群是特殊的半群和独异点。 群论中常用的概念或术语：
有限群、无限群、平凡群、交换群、元素的幂和阶。 群的运算规则。
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群的定义
定义11.4 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运算是可结 合的，存在单位元e∈G，并且对G中的任何元素x都有x-1∈G,则 称G为群（group）。
若对任意的x,y∈S1有 (xy)＝(x)(y) 且(e1)＝e2,
则称为独异点V1到V2的同态映射,简称同态。
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省略表达
为了书写的简便，有时经常省略上述表达式中的算符 和，而简记为 (xy)＝(x)(y)
应该记住，该表达式中左边的xy是在V1中的运算，而右 边的 (x) (y)是在V2中的运算。
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同态举例
对于例11.2中的半群和独异点,令 : S → S,
a 0 d 0 a 0 0 0 , a 0 d 0 S
则对任意的
a01 d02,a02 d02S 有
a01
d01a02
0 d2
a10a2
0 d1d2
a1a2 0
0 0
a01 d01a02 d02a01
举例（考虑例11.1），
(1)<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群,而<Z+,+>和<N,+>不是群。
(2)<Mn(R),+>是群,而<Mn(R),·>不是群。因为并非所有的n阶实 矩阵都有逆阵。
(3)<P(B),>是群，因为对任何B的子集A，A的逆元就是A自身。
(4)<Zn,>是群。0是Zn中的单位元。x∈Zn，若x＝0，x的逆元就 是0，若x≠0，则n-x是x的逆元。
本节的主要内容
集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）。 集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）。 半群与独异点的两条幂运算规则：xn xm＝xn+m ，(xn)m＝xnm 。 半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）。 独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭，
单位元属于A）。 通过笛卡尔积构造直积 。 同态映射的判别：(xy)＝(x)(y)
对于独异点要加上(e)＝e。
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定义11.2说明
任取<a,b>,<c,d>,<u,v>S (<a,b>•<c,d>)•<u,v> = <ac,b*d>•<u,v> = <(ac)u,(b*d)*v> = <acu,b*d*v> <a,b>•(<c,d>•<u,v>) = <a,b>•(<c u,d*v>) = <a(cu),b*(d*v)> = <acu,b*d*v>
由于独异点V中含有单位元e，对于任意的x∈S,可以定义x 的零次幂,即
x0＝e
xn+1＝xn x
n∈N
不难证明，独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，只不 过m和n不一定限于正整数，只要是自然数就成立。
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子半群与子独异点
半群的子代数叫做子半群。 独异点的子代数叫做子独异点。 根据子代数的定义不难看出：
e=
1 0
0 1
T。
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半群与独异点的直积
定义11.2 设V1＝<S1,>，V2＝<S2,*>是半群(或独异点), 令S＝S1×S2,定义S上的·运算如下： <a,b>,<c,d>∈S, <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d> 称<S,•>为V1和V2的直积，记作V1×V2。
可以证明V1×V2是半群。 若V1和V2是独异点，其单位元分别为e1和e2，则<e1,e2>是
(5)<AA,>，当|A|≥2时不是群。
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Klein四元群
设G＝{a,b,c,d}，•为G上的二元运算，见下表。
G是一个群： • e a b c e为G中的单位元； e e a b c 运算是可结合的； a a e c b 运算是可交换的； b b c e a G中任何元素的逆元就是它自己； c c b a e 在a,b,c三个元素中,任何两个元素
–如果V＝<S,>是半群,TS，要T对V中的运算封闭，那 么<T,>就是V的子半群。
–对独异点V＝<S,,e>来说，TS，不仅T要对V中的运算 封闭,而且e∈T，这时<T,,e>才构成V的子独异点。
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例11.2
例11.2 设半群V1＝<S,•>，独异点V2＝<S,•,e>。
其中
S0a 0d
ad, R
00a02
00
ห้องสมุดไป่ตู้
a1a2 0
0 0
即
a01
d01a02
0 d2
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a01
d01a02
d02
自同态
因此，是半群V1到自身的同态，称为V1的自同态。
但不是独异点V2的自同态,因为它没有将V2的单位元 映到V2的单位元。
注意：
1 0 V2 S,,0 1
10 1010 00
而
1 0
0 0
不是V2的单位元。
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运算的结果都等于另一个元素。
称这个群为Klein四元群,简称四元群。
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群的直积
设<G1,>, <G2,*>是群，在G1G2上定义二元运算•如下： <a,b>,<c,d>∈G1×G2 , <a,b>•<c,d>＝<ac,b*d>
称<G1×G2,•>是G1与G2的直积。 上一节已经证明：<G1G2,•> 是独异点， 可以证明对任意的<a,b>∈G1G2 ,<a-1,b-1> 是<a,b>的逆元， 因此G1×G2关于•运算构成一个群。
[理学]离散数学课件第十一章 半群与群
本章内容
11.1 半群与独异点
11.2 群的定义与性质
11.3 子群
11.4 陪集与拉格朗日定理
11.5 正规子群与商群
11.6 群的同态与同构
11.7 循环群与置换群
本章总结
例题选讲
作业
2
3
4
5
6
独异点中的幂
独异点是特殊的半群，可以把半群的幂运算推广到独异点 中去。