高考数学总复习含答案：圆的方程(基础)知识梳理

圆的方程

【考纲要求】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，

2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程

222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2

2

2

x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222

a b r +=.

(2)圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

考点二：圆的一般方程

当22

40D E F +->时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫

-

- ⎪⎝

⎭

为圆心，为半径. 圆的方程

圆的一般方程

简单应用

圆的标准方程

点与圆的关系

要点诠释：由方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=得22

224224D E D E F x y +-⎛

⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

(1)当22

40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-

=-.它表示一个点(,)22

D E --. (2)当2

2

40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当22

40D E F +->时，可以看出方程表示以,2

2D E ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有

(1)若点()00M x y ，在圆上()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=

(2)若点()00M x y ，在圆外()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->

(3)若点()00M x y ，在圆内()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<

圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程垐垐?噲垐?展开

配方

一般方程. 【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.

【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.

解析：设圆心为||3a

a r a ⎛

⎫∴= ⎪⎝⎭

，，

()2

2

2

6133111

a a a a a ⎛⎫

∴-+-= ⎪⎝⎭

∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)

∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112

. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：

【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）

A. 2

2

(2)(1)1x y -+-= B.2

2

(2)(1)1x y -++=

C. 2

2

(2)(1)1x y ++-= D. 22

(3)(1)1x y -+-=

解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|

15

a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是2

2

(2)(1)1x y -+-=，选A.

类型二：圆的一般方程

例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++=，

依题意有⎪⎩

⎪

⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D

解得D=-2，E=-4，F=-95.

于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.

于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.