用平面向量坐标表示向量共线条件讲解

两个向量a, b平行的条件： a=λb，b≠0.
那么当向量a的坐标为(a1, a2), b的坐标为 (b1, b2)时，代入上式，得 (a1, a2)=λ(b1, b2) .
(a1,a2)=(λb1, λb2) 即 a1=λb1 ， a2=λb2
a1b2－ a2b1=0
⑴
⑴式就是两个向量平行的条件
2.设点P在平面上做匀速直线运动,速度向量
v (4, 3) ,设起始P(－10,10), 则5秒钟后点P 的坐标为( ).
解：5秒种后，P点坐标为 (－10, 10)+5(4, －3)=(10, －5).
3.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则
(2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7), 5λ+5<0,7λ+4<0 ,
所以x=5λ+5，y=7λ+4.
解得λ =
1 2
所以λ<－1.
• 书后题 • 练习册
作业
• 再见
7. △ABC的三条边的中点分别为(2, 1)和(－3, 4),(－1,－1)，则△ABC的重心坐标为(__23_,_43_)__
a+3b=(7, 3),
4.已知A, B, C三点共线,且A (3, －6), B(－5, 2),
若点C横坐标为6, 则C点的纵坐标为 ( C )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
5. 若三点P(1, 1)，A(2, －4)，B(x, －9)共线， 则（ B ）
A．x =－1
B．x=3
C．x= 9
限时训练
如图，在△OAB 中，O→C＝41O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，设O→A＝，O→B＝b，以{a，b}为基底表示O→M.
解析 设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)， 则A→M＝O→M－O→A＝(m－1)a＋nb， A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b， ∵A、M、D三点共线，∴m－－11＝n1，
那么当向量b不平行于坐标轴时，即b1≠0，
b2≠0时，⑴式可化为：
a1 a2
⑵
b1 b2
⑵式用语言可表示为:两个向量平行的条件 是相应坐标成比例。
向量平行的充要条件三种形式：
Hale Waihona Puke Baidu
(1)a //b(b 0) a b
a b a b (2) // a1b2 a2b1 0, (a1, a2 ), (b1,b2 )
a b a b
（3）
//
a1 b1
a2 b2
,
(a1, a2 ),
(b1, b2 )
且b1 0,b2 0
例1 已知向量 AB =（2，5）和向量a(1,y),并 且向量 AB ∥a，求a的纵坐标y。
解：利用⑴式可求出y的值， 1×5－2×y=0
所以 y 5 2
例2. 在直角坐标系xOy内，已知A(－2,－3)、 B(0,1)、C(2,5)，求证：A、B、C三点共线。
D．51
2
3
6.设a=( 2 , sinα)，b=(cosα,
角α为 ( )C
A．30o
B．60o
)1，且a// b，则锐
3
C．45o
D．75o
8.已知向量a=(2x, 7), b=(6, x+4)，当x=_3_或__－__7_ 时，a//b．
9.若|a|=2 3 ，b =(－1, 3)，且a//b，则a
y=3
2.已知a=(3, 4), b=(cosα, sinα), 且a//b,
求tanα.
tanα=4 /3
3. 已知a=(1, 0), b=(2, 1), 当实数k为何值时,向 量ka－b与a+3b平行? 并确定它们是同向还是 反向.
解：ka－b=(k－2, －1),
∵a//b,
k 1 3
这两个向量是反向。
说明：利用向量的线性运算求出向量 AB, AC
的坐标，再利用向量平行的条件式 ，就可知A、 B、C三点共线。
解：AB (0,1) (2, 3) (2, 4) AC (2,5) (2, 3) (4,8)
∵2×8－4 ×4=0， 所以 AB // AC 因此A，B，C三点共线.
练习： 1.已知a=(4, 2)，b=(6, y)，且a//b，求y.
8.已知向量a=(2x, 7), b=(6, x+4)，当x=_3_或__－__7_ 时，a//b．
2 即m＋2n＝1. 而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb，
C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b， ∵C、M、B三点共线，∴m－－1414＝n1， 即4m＋n＝1.
由m4m＋＋2nn＝＝11，， 解得mn＝＝3717，，
∴O→M＝17a＋37b.
2.2.3用平面向量坐标表示 向量共线条件
=_____．
( 30 , 3 30 ), ( 30 , 3 30 )
55
5
5
练习1. 设向量a=(1,－3)，b =(－2,4)，c =(－1,
－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的
有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d
为
.
解： 4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0, 所以d=－6a－4b+4c=(－2, －6).