点线面的位置关系与平行关系

点线面的位置关系与平行关系

点、线、面位置关系以及线面平行关系

【教学目标】

一、知识目标

1、熟练掌握点、线、面的概念；

2、掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程；

3、掌握点、线、面平行的性质．

二、能力目标

1、在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法，培养学生类比思维能力；

2、通过对公理，定理的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力；

2、培养学生的空间想象能力，通过归纳总结，促进学生自主学习和归纳的能力．

三、情感目标

1、使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣；

2、让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣；

3、让学生了解空间与平面互相转换的数学思想．

【教学重点】

1、异面直线的概念；

2、直线与平面平行的判定定理及应用；

3、两个平面平行的判定．

【教学难点】

1、异面直线所成角的计算；

2、两平面平行性质定理的正确运用；

3、两平面平行判定定理的证明．

【知识点梳理】

1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a．符号语言：．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点．③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0，90]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：

A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．

B、证明作出的角即为所求角．

C、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补．

3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：aα；a∩α＝A；a∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．

4、平面与平面之间的位置关系：平行有一条公共直线：

α∩β＝l．

5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：．图形如右图所示．Pab

6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：．图形如右图所示．βa

7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：．图形如右图所示．

8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：、其它性质：①；②；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．

【典型例题】

题型

一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是A

B、A

D、B

C、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P 是两平面公共点．即，已知：EF∩GH＝P，E∈A

B、F∈AD，G∈BC，H∈CD，求证：

B、

D、P三点共线．

【解析】

证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论

2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴ P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即

B、

D、P三点共线．

【点评】

结合本例，说明证三点共线的常规思路．变式1：如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边A

B、AD的中点，F、G分别是边B

C、CD上的点，且＝＝，则（

）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上

【解析】

依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M 在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在平面ACB与平面ACD的交线AC上．选（D）．【点评】

本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题．利用四个公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点．变式2：如图所示，设，，，分别是空间四边形的边，，，上的点，且，，求证：（1），，，四点共面；（2）当时，四边形是平行四边形；（3）当时，四边形是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明即可．

【解析】

证明：连结，在中，，∴ ，且．在中，，∴ ，且．∴ ，

∴ 顶点，，，在由和确定的平面内．（1）当时，，故四边形为平行四边形；（2）当时，，故四边形是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．特别地，当时，，，，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件，这时，平行四边形是菱形．题型

二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2：

A是△BCD平面外的一点，E、F分别是B