D对面积的曲面积分

第四节 对面积的曲面积分

一、填空题

1．分片光滑的有界曲面∑，曲面上任一点(,,)x y z 的面密度为(,,)x y z μ，则曲面的质量 为M =

(,,)d x y z S ∑

μ⎰⎰，对x 轴的转动惯量x

I =

2

2()(,,)d y z x y z S ∑

μ+⎰⎰．

2.设光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，它在xOy 面上的投影区域为xy D ，则

(,,)d f x y z S ∑

=⎰⎰(,,(,d xy

D f x y z x y x y ⎰⎰（写出计算公式）．

3．设曲面∑为曲面z =

1z =截下的曲面，则d S ∑

=⎰⎰．

4．（附加题）设∑： 2

2

2

2

x y z R ++=(0)R >，则

222

()d

xy

D f x y z S ∑

++=⎰⎰⎰⎰

(2d f R x y

yz

D =⎰⎰

(2d f R y z xz

D =

⎰⎰

(2d f R z x ，

其中,,xy yz xz D D D ，分别为∑在,,xoy yoz xoz 面的投影．

二、单项选择题

1．∑为球面2222

x y z R ++=(0)R >，则曲面积分222

()d x y z S ∑

++=⎰⎰ C ．

A ．4πR

B ．42πR

C ．44πR

D ．46πR 提示：2

2

2

2

4

()d d 4πx y z S R S R ++==⎰⎰⎰⎰∑

∑

.

2．设S ：()2222

0,0x y z a

z a ++=≥>，1

S

是S 在第一卦限中的部分，则有 C ．

A ．1

d 4d S

S x S x S =⎰⎰⎰⎰ B ．1

d 4d S

S y S x S =⎰⎰

⎰⎰

C ．1

d 4d S

S z S x S =⎰⎰⎰⎰ D ．1

d 4d S

S xyz S xyz S =⎰⎰⎰⎰

提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故

1

1

d 4d 4d S

S S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换对称性）

，其它类似可得. 三、计算题

1．4(2)d 3x y z S ∑

+

+⎰⎰，∑是平面1234

x y z

++=在第一卦限的部分． 解：如图11-5，()4:42,:1,0,0323

xy y x y

z x D x y ∑=--

+≤≥≥

d d S x y =，

原式d xy

D x y =

⎰⎰14322=⋅⋅=

2．2

2

2

()d x y z S ∑

++⎰⎰，∑

是锥面z =

与平面1z =所围成立体的表面．

解：如图11-6，∑

由1:1z z ∑=

≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，

222()d x y z S ∑

++⎰⎰1

2

222222

()d ()d x y z S x y z S ∑∑=+++++⎰⎰⎰⎰

222(d xy

D x y x y =+

⎰⎰22(d xy

D x y x y +++⎰⎰

2π

1

2π

1

320000d d d (+1)d θρρθρρρ=+⎰⎰

⎰.3)π2

=．

3．计算

2

d x S ∑

⎰⎰

，其中∑为圆柱面221x y +=在02z ≤≤的部分． 解：如图11-7

，::02,11yz x D z y =≤≤-≤≤∑，如图11-8，

2(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，

x

y

图11-6

2:1z =∑

z

1:z =∑

O

图11-5

∑∑

z

O 图11-7

y

x

1 z

O

y

yz D

1

2

22

d 2(1d yz

D x S y y z =-⎰⎰⎰⎰

∑2102d 2d 2πyz D y z z y -===⎰⎰⎰⎰．

或由轮换对称性222

1d ()d 2x S x y S =

+⎰⎰⎰⎰∑

∑1d 2S =⎰⎰∑12π122

=⋅⋅⋅2π.=