随机时序模型

现在让我们考察二阶自回归过程 AR（2） ： （13-20） 它的均值为 （13-21） 以及 为平稳的一个必要条件是 。 现在计算 的方差和协方差（其中 是以关于均值的离差形 式度量的） ： （13-22） （13-23） （13-24）
一般的，对于 k>2 (13-25) 解联立公式（13-22）（13-23）和（13-24） 、 ，可得出 关于 ， 和 的表达式。 公式（13-23）也可以写成 （13-26）

经典回归模型的问题：
迄今为止，对一个时间序列的变动进行 解释或预测，是通过某个单方程回归模型或联 立方程回归模型进行的，由于它们以因果关系 为基础，且具有一定的模型结构，因此也常称 为结构式模型（structural model）。
Байду номын сангаас


然而，如果Xt波动的主要原因可能是我们无 法解释的因素，如气候、消费者偏好的变化等， 则利用结构式模型来解释Xt的变动就比较困难 或不可能，因为要取得相应的量化数据，并建 立令人满意的回归模型是很困难的。 有时，即使能估计出一个较为满意的因果关 系回归方程，但由于对某些解释变量未来值的 预测本身就非常困难，甚至比预测被解释变量 的未来值更困难，这时因果关系的回归模型及 其预测技术就不适用了。
定义差分算子取之于数学概念，即为运算符号 , （13-9） 我们在第十一章中看到，如果一个时间序列是一 阶求积的[即它是I(1)]，那么它的一阶差分序列就是 I(0)，即平稳的。类似的，如果一个时间序列是I(2) ，则它的二阶差分序列就是I(0)。一般的如果一个时 间序列是I(d)，那么将它差分d次，d阶差分序列就 得到一个I(0)序列。
13.1.4
自回归求积移动平均（ARIMA）模型
以上几种模型仅限于描述平稳时间序列，而实际应用中遇到的时
间序列往往是非平稳的，这时需要把它平稳化。在经济工作中，许多 非平稳序列只要进行一次或多次差分，称为求积（integrated） ，就可 以把它转化为平稳序列。这种时间序列称为齐次非平稳序列。差分的 次数称为齐次的阶。 例如表 13-1 中的原序列是非平稳的， 一次差分后仍具有线性趋势， 二次差分后就把原序列变为平稳序列。所以，可以把差分转换方法用 于建立非平稳序列的模型。

随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去 的变化特征来预测未来的变化趋势。
使用时间序列分析模型的另一个原因在于： 如果经济理论正确地阐释了现实经济结构，则 这一结构可以写成类似于ARMA(p,q)式的时间 序列分析模型的形式。
13.1 随机时间序列模型
13.1.1 自回归（AR）模型的定义 设 为一随机时间序列。如果我们把 的模型写为： （13-1） 若上式中 是有零均值和恒定方差 的不相关随机误差项 （即 是白噪音） ，则我们说 遵循一个一阶自回归（first-order autoregressive）或 AR（1）随机过程。这里， 在时期 t 的预测 值是它在时间（t-1）的值的一个比例部分加上在时期 t 的一个 随机冲击或干扰。
其中， 为参数， 则称
（13-4）
满足均值为零，且等方差的白噪音序列，
为一阶移动平均过程，简记为 MA（1）过程。 同样地，若随机时间序列 可表示为
（13-5） 其中， ， 为参数，则称 （2）过程。 更一般的，有： （13-6） 此时， 是一个移动平均过程，简称 MA（q）过程。总之， 移动平均过程不外乎是一些白噪音误差项的一个线性组合。 为二阶移动平均过程，简记为 MA
function，简记PACF）。在p，q，d已知的条件
下，还需要对模型中的参数进行估计。
13.2.1
设
AR模型的估计与识别
为 AR（p）过程，则 (13-10)
1.自回归阶数 p 已知的情况
如果自回归过程是平稳的，则它的均值关于时间一定是常数，即
于是， 或 （13-11）
这个与过程均值有关的公式同时给出了一个关于过程平稳性的条件。如果过程平 稳，则等式（13-10）中的均值μ 一定是有限的。
表 13-1 求积后的数据 原 序 序 号 列 1 2 3 4 5 6 7 18 20 24 30 一次差 分 20-18=2 24-20=4 30-24=6 38-30=8 一次差分 二次差 二次差分 后的序列 分 后的序列 2 4 6 8 10 2 4-2=2 6-4=2 8-6=2 10-8=2 12-10=2 2 2 2 2 2
13.1.3 自回归移动平均（ARMA）模型
若随机时间序列 满足 = 其中， ， ， 和 ， ， 是参数， （13-7） 是白噪声序列，则
称 为(p,q)阶自回归移动平均过程，简记为 ARMA（p，q）过 程。显然 AR（p）和 MA（q）都是它的特例。 （13-7）式称为 ARMA（p，q）模型，它有 p 个自回归和 q 个移动平均项。因为 很可能兼有 AR 和 MA 的特性，从而 它是 ARMA。比如说，如果 可以写为： （13-8） 其中有一自回归项和一移动平均项，那么它就是一个 ARMA（1，1）过程。
=E( +Y +u +21Yt-1u t )
2 1 2 t-1 2 t
= 1 0 +
2
2 u
所以 我们还可以计算 的协方差
（13-15）
(13-16) (13-17) 类似地，时期差为 k 的协方差为 (13-18) 因此，AR（1）的自相关函数特别简单，它由 开始，随后呈几何下降： (13-19) 注意：这个过程有无限记忆力，过程当前值与过去所有时期的值相关， 且时期越早，相关性越弱。
简称 AR（p）过程。 （13-3）式成为 P 阶自回归模型，简记 为 AR（p）模型。 注意，所有上述模型仅涉及现期和前期的 Y 值， 是关 于它自己过去值的回归，再没有其他的回归元。在这个意义 上， 我们说 AR 模型是“让数据自己说话”， 所以称为自回归。
13.1.2 移动平均（MA）模型 如果随机时间序列 可表示为
13.时间序列分析(下)
的随机特性。 在下面的讨论中， 我们假设随机时间序列 零均值的。否则，可作零均值化处理。 不失一般性， 今后我们不妨假定平稳时间序列 为零，即 。若
这一章我们介绍几种线性随机模型来描述平稳时间序列
是
的均值
，可作零均值化处理把它转化
为零。所谓零均值化，即若原序列 ，则有
的均值为μ ，可作变换 的均值就为零了。
否则的话，过程可能会漂移到离固定参照点很远，因而不是 平稳的（参考漂移随机游走的例子 。这里 ， 于是 。 如果 ， 则过程将持续向上漂移） 。
如果 是有限的，则必然有 （13-12） 这个条件不足以保证过程的平稳性，因为 AR（p）过程是平 稳的还有其他的必要条件。对于式（13-10） ，我们可以直接应用 OLS 法估计参数 ， ， 的值。
（13-3）
2.自回归阶数p未知的情况
构造自回归模型的一个问题就是识别随机过程自 回归的阶数。尽管有关自回归过程的一些信息可从样 本自相关函数的振荡行为中获得，但是从偏自相关函 数可以获得更多的信息。 为了理解偏自相关函数以及如何使用它，我们先 考察 p 阶自回归过程的协方差和自相关函数。
偏自相关函数
如果我们考虑这样的模型： （13-2） 我们就说 遵循一个二阶自回归(second-order
autoregressive）或AR（2）随机过程。就是说，时
期t的Y值依赖于它在先前两个时期的值和时期t的随
机误差项。
一般，我们有： （13-3） 这时， 是一个 p 阶自回归（pth order autoregressive） ，
，这时

随机时间序列模型（time series modeling）是指仅 用它的过去值及随机扰动项所建立起来的模型，其一 般形式为: Xt=F(Xt-1, Xt-2, …, t)

建立具体的时间序列模型，需解决如下三个问题：
(1)模型的具体形式 (2)时序变量的滞后期
(3)随机扰动项的结构
（1）一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均 过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以 及随机扰动项来解释。 （2）如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时 间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的 行为来预测未来。 这也正是随机时间序列分析模型的优势所在。
38 48-38=10 48 60-48=12 60
因此，如果我们必须将一个时间序列差分 d 次，把它变 为平稳的，然后用 ARMA(p,q)作为它的模型，那么，我们就 说那个原始的时间序列是 ARIMA(p,d,q)， 也就是说它是一个 自 回 归 求 积 移 动 平 均 (autoregressive integrated moving average)时间序列。其中 p 指自回归项数，d 指序列称为平稳 之前必须取其差分的次数，而 q 指移动平均项数。
将公式（13-24）代入公式（13-22） ，得到 （13-27） 利用等式（13-26）消去 ，得到
整理得： （13-28）
利用这些方差，我们可得到自相关函数 式（13-24）和（13-26）有
。由公
（13-29） （13-30） 由公式（13-25）我们得到，对k>2 (13-31) 利用这个公式，可以算出k>2的自相关函数。
d 阶差分而变为平稳的时间序列有可能不是混合的， 即或是完全自回归或是完全移动平均的。如果这个平稳 的时间序列是 AR（p） ，我们称原始序列 个平稳的时间序列是 MA（q） ，则称 移动平均过程 IMA（0,d,q） 。 为（p,d）阶
综合自回归过程，并记之为 ARI（p,d,0） 。同样，如果这 为（d,q）阶综合
自相关函数ACF(k)给出了Xt与Xt-1的总体 相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间 完全不同的隐含关系。 例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间 有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间 的相关性带来的: