材料力学第八章

建立图示杆件的强度条件 解：①外力向形心 简化并分解
弯扭组合变形
②每个外力分量对应 M(x) x –Fl ③确定危险面 T(x) x –Fa 的内力方程和内力图
M ( x) ; T ( x)
⑤画危险面应力分布图，找危险点 M max T σ xD1 = τ D1 = W Wt
⎧σ 1 σ σ 2 2 ⎨ = ± ( ) +τ 2 ⎩σ 3 2
⑥建立强度条件
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ + 4τ
2
2
=
M W
2 max 2
+4
T2 Wt 2
σ r 3 = σ 1 − σ 3 = σ + 4τ
2
2
=
M2 W
2
+4
T2 W t2
=
M 2 +T 2 W
σ r3 =
M 2 +T 2 W
σ r4 =
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 2
P（zP， yP）
中性轴 yy
F ( zF , yF )
y F y0 z F z 0 1+ 2 + 2 = 0 iz iy
σ
' max
四、危险点 （距中性轴最远的点）
σ '' max
F Mz My = + + A Wz Wy F Mz My = − − A Wz Wy
五、（偏心拉、压问题的）截面核心： 压力作用区域。 当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。 ay
方向； (4) 根据第一强度理论，说明梁破坏时B、C两点处的裂 缝方向。
例2 手摇绞车如图所示，轴的直径d=30mm，材料为Q235钢，
[σ ] = 80 MPa , 试用第三强度理论求绞车的最大起吊重量F。
解：弯扭组合，扭矩和弯矩为：
F T = 0.18F , M = × 0.4 = 0.2 F 2 3
[
] = σ 2+3τ 2
=
M 2 + 0.75T 2 W
M 2 + 0.75T 2 W
=
M 2 + 0.75T 2 W
σ r4 =
弯扭组合问题的求解步骤： ①外力分析：外力向形心简化并分解。 ②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定 危 险面。 ③应力分析：建立强度条件。 应力分析：
= 350000 350 × 50 × 6 + 0 .2 × 0 .3 0 .2 × 0 .3 2
F
200 200
F
300
200 200
= 11 . 7 MPa
M 图（1） 图（2）
F
F σ 2 max = A 350000 = = 8.75MPa 0.2 × 0.2
§8. 4 弯曲与扭转的组合 (Combination of Bending and Torsion) 设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成 直角的刚臂，并受铅垂力F作用。整个结构位于水平面内。
yF y0 zF z0 + = 0 截面核心 1 + 2 2 iz iy
已知 ay， az 后 ， z
az
中性轴
F ( zF , yF )
y
1+
yFay i z2
zF az = 0 = 0 1+ 2 iy
可求 F力的一个作用点( z F , y F )
例3 图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求出两柱 内的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力 F M δ F σ 1max = A + W 1 z1
q yl 2
§8. 3 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心 一、拉(压)弯组合变形(Composite deformation of bending and tension or compression)：杆件同时受横向力和轴向力的作用而 F1 产生的变形。 F2 x x F F F Mz y y z z My My
例4 在xy平面内放置的折轴杆ABC受力如图，已知F=120kN， q=8kN/m，a=2m；在yz 平面内有Mx=qa2；杆直径d=150mm，
[σ]=140MPa,试按第四强度理论校核此杆的强度。
解：拉弯扭组合，截面A为危险截面
FN = F = 120kN 1 T = M x + q (0.8a ) 2 = 42.24kNm 2 M = 0.8qa 2 = 25.6kNm
My引起的应力： m x z z y l x m Fz F Fy F Fz Fy y
M yz
ϕ
③中性轴方程 σ = M ( z 0 cos ϕ + y 0 sin ϕ ) = 0 中性轴 Iy Iz
tanα = y0 I = z cotϕ z0 Iy
α F z ϕ z
F
D2
可见：只有当Iy = Iz 时，中性轴与外力才垂直。 D1
第八章 组合变形
§8. 1 §8. 2 概述 斜弯曲
§8. 3 拉(压)弯组合 ⋅ 偏心拉（压）⋅ 截面核心 §8. 4 弯曲与扭转的组合 §8. 5 应力状态与组合变形部分练习
§8. 1 概 述 一、组合变形（Composite deformation） ：在复杂外载作用 下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的 应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合 变形。 F1 M F F2 F z x y
2 y
2 z
tgβ =
fy fz
当ϕ = β 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，F过形心且与z轴成ϕ角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h z l 最大正应力 F Fz Fy y x
α F z ϕ z
D2 F 变形计算 Fy y
b
D1
fz
β
f fy
σ max = σ D 1
Mz My = + = −σ D 2 f = Wz Wy
πd 27 π W= = × 10 −6 m 3 32 32
σ r3 =
1 W M 2 + T 2 ≤ [σ ]
F≤
[σ ]W 0.18 + 0.2
2 2
= 788 N
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm, F=50kN,
[σ]=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。
解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T F A T A F σ=
②每个外力分量对应 M(x) x –Fl T(x) ③确定危险面 x –Fa 的内力方程和内力图
M ( x) ; T ( x)
⑤画危险面应力分布图，找危险点
M max Fl σ xD1 = = = 120 MPa W W T Fa τ D1 = = = 10 MPa Wt Wt
⑥建立强度条件
σ r 4 = σ + 3τ
F
hγ
F q
hγ
水坝
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理 ①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 应力分析： 度条件。
§8. 2 斜弯曲（Skew bending） 一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向 力）不共面。 二、斜弯曲的研究方法 ： 1. 分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正 交的平面弯曲。
σ r 3 = σ + 4τ =
2 2
M 2 +T 2 W M 2 + 0.75T 2 W
σ r 4 = σ 2 + 3τ 2 =
例4 如图所示实心圆截面折杆位于水平面内，受铅直载荷F作 用。已知：Wt=200 × 10-6m3， W=100 × 10-6m3， F=4kN， l=3m，a=0.5m，杆的许用应力为 [σ ] = 134 MPa。试用第四强度 理论校核AB的强度。 解： ①外力分析： 弯扭组合变形
z F
ϕ
Fz Fy y z y Fz F
x
Fy
2. 叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
x z z y Fz F Fy F
ϕ
Fz Fy y
解：1. 将外载沿横截面的形心主轴分解 Fy = F sin ϕ Fz = F cos ϕ 2. 研究两个平面弯曲 ① M z = F y (l − x ) 内 力 m
4 × 50 F = ×103 = 6.37MPa A π × 0.12
T 16 × 7000 = = 35.7 MPa 3 Wt π × 0.1
σ
τ=
τ
若用第四强度理论校核, 则
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2
= 6.37 2 +4×35 .7 2 =71 .7 MPa <[σ ]
故，安全。
σ r 4 = σ 2 + 3τ 2 = 62 .16 MPa < [σ ]
σ x − σ y 2 2 ⎧0.0145 F ⎧σ1 σ x + σ y ） + τ xy = ⎨ (MPa) ±（ ⎨ = 2 2 ⎩− 0.0018 F ⎩σ 3
= F (l − x ) sin ϕ = M sin ϕ M y =M cosϕ
x z
ϕ
F
Fz Fy y
z y
x
m l
Fz F
Fy
② 应 力
Mz σ′ = = cos ϕ Iy Iy M y M y ′′ = z = sin ϕ M z引起的应力： σ Iz Iz z y 合应力： σ = σ ′ + σ ′′ = M ( cos ϕ + sin ϕ ) Iy Iz
x
M y z0 M z y0 F = −( + + )= 0 A Iz Iy
y F y0 z F z0 F Fy F y0 Fz F z 0 F 对于偏心拉压问题 A + Ai 2 + Ai 2 = A (1 + i 2 + i 2 ) = 0 z y z y
zz
2 I z = Aiz2 , I y = Ai y
Fy y
拉 拉 z 压 压 z
压 拉 压 拉
y
y
中性轴 拉 拉 z 压 压 z 压 拉 压 拉
α F z ϕ z
D1 F Fy
D2
④最大正应力
y y 在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
y
σ t max = σ D 2 σ c max = σ D1
⑤变形计算
fz
β
f fy
f= f +f
Fz l 3 2 f y2 + f z2 = ( )2 + ( ) 3EI z 3EI y
fy fz = Iy Iz tanϕ
Fy l 3
当Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
tanβ =
例2 矩形截面木檩条如图，跨长l=3m,受集度为q=800N/m的 均布力作用， [σ]=12MPa，容许挠度为：l/200 ，E=9GPa， 试选择截面尺寸并校核刚度。 解：①外力分析—分解q b q y = q sin α = 800 × 0.447 = 358 N/m
(2) 材料为铸铁， [σt]=30MPa。
解：拉扭组合，由应力分布知危险点为杆表面上的点， 其应力状态如图： F 4F σ = N = 2 = 0.0127 F (MPa ) 正应力： A πd 切应力： τ =
T 16M = = 0.0051F (MPa) 3 Wt πd
单元体的主应力：
σ x − σ y 2 2 ⎧0.0145 F ⎧σ1 σ x + σ y ） + τ xy = ⎨ (MPa) ±（ ⎨ = 2 2 ⎩− 0.0018 F ⎩σ 3
h
q z = q cos α = 800 × 0 .894 = 715 N/m
y
q
z
α =26°34´
A l
q B
358 × 32 M z max = = = 403Nm 8 8 q z l 2 715 × 32 M y max = = = 804 Nm 8 8 Mz My σ max = + ≤ [σ ] Wz W y
由应力分布知，危险点在截面A最上边缘点，其应力
FN M σ= + = 84 .1MPa A W
T τ= = 63 .7 MPa Wt
2 2 按第四强度理论校核, 则 σ r 4 = σ + 3τ = 138 .7 MPa < [σ ]
故折杆强度足够，安全。
例5 圆杆受力如图，已知杆直径d=10mm，M=Fd/10，试求下 列两种情况下的许可载荷：(1) 材料为低碳钢， [σ]=160MPa;
2
2
=
M 2 + 0.75T 2 W
= 121 .24 MPa < [σ ]
满足强度要求。
§8. 5 应力状态和组合变形部分练习 例1 矩形截面铸铁梁受力如图，(1) 在梁表面A、B、C三点截取 单元体，用箭头表示单元体的应力状态； (2) 定性地画出A、B
、C三点的应力圆； (3) 在单元体上大致画出主平面和主应力
Hale Waihona Puke 二、应力分析： x z Mz F y My F MZ My
σ xF
M yz Mzy σ F σ xM = − =− xM = − Iy Iz A
z
y
F M z y M yz + σ x = −( + ) A Iz Iy
三、中性轴方程 (Equation of the neutral axis)
σ