五年级数学拓展专题 余数问题 PPT带答案
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【解答】：16755÷4余3 28696÷4余0 （3×0）÷3余0
（2）71427÷7余6 19÷7余5 （6×5）÷7余2
小结：被4整除数的特征看末两位，被7整除数的特征末三位数 与末三位之前的数的差是7的倍数的数
练习4
（12345×23456+34567×45678+56789）÷9的余 数分是析？:利用余数的可乘性和可加性
解答： 1999÷9 余 1
小结：各数位数字之和加起来是9的倍数就能被9整除。 连续的9个自然数也能被9整除。
练习2
1234567891011121314……20132014除以9的余数是 多少？
分析：任意连续9个自然数的数字和也是9的倍数，此题可9个自然数为一组，刚好是9 的倍数，看余几个数，只用计算余下来的数除以9的余数即可。
小结：余数具有可加性。
练习6
有一串数1,2,4,7,11,16,22,29……这串数的组成规律是第2个数 比第一个数多1，第3个数比第2个数多2，以此类推，这串数左起 第1992个数除以5的余数是多少？
【分析】：找规律，并尝试本题所描述的规律在余数中是否可以直接运用？
解答： 找规律余数分别为1、2、4、2、1、1、2、4… 5个一组，1992÷5余2，答案为2。
例题7
有一个整数，用它去除70，98，143得到的三个余数之 和是29，求这个数。
由于29÷3≈9.3，所以这个数大于9。 若这个数大于70，则70的余数为70大于29，所以这个数不大于70.
70+98+143－29＝ຫໍສະໝຸດ Baidu82=2×3×47
对于282，大于9且不大于70的因子只有47，所以这个数为47.
练习9
设的各位数之和为A,A的各位数之和为B,B的各位数之和为C,C的 各位数之和为D,那么D=?
（1）求D的范围
得到 得到 得到 得到
A<9×2009<99999 B<9×5=45<99 C<9×2=18,C=1,2,3……16,17 D≤9
（2）求D的性质
20092009 → 22009 → 5
【解答】：2012÷5余2 次方 1 2 3 4 5 6 … 余数 2 4 3 1 2 4 … 4个一组 2012÷4余0 ，答案为1。
小结：余数具有可乘性。
练习5
1997的100次方除以7，余数是几？
【分析】：本题用余数的可乘性找规律可求解， 1997的100次方相当于7的100 次方，每一次算出的余数×2再除以7的余数即为下一次的余数
例题1
甲乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲乙两数
分析：和倍问题。甲乙的和是1088，甲是乙的11倍还多32
解答： 甲÷乙=11……32 甲＋乙=1088 乙：（1088-32）÷（11+1）=88 甲：11x88＋32=1000
小结：除法包含整除和有余除，我们可以运用和差倍来解决有余除问题
例题2
1234567891011121314^19981999除以9的余数 是多少？
分析：复习9的整除特征：1、各个数位上数字之和是9的倍数，此数能被9整除 2.任意9个连续自然数之和为9的倍数，因此任意连续9个自然数的数字和也是9的倍 数，此题可9个自然数为一组，刚好是9的倍数，看余几个数，只用计算余下来的数 除以9的余数即可。
余数具有可加性特征，因为数比较大，所以可以分开求出除以11的余数，然后将余数相加再除以11即可
解答： 16755÷11余2 28696÷11余3 （2+3）÷11余5
例题4
（1）(16755x28696) ÷4的余数是几？（2）71427和19 的积被7除，余数是几？
分析:利用余数的可乘性，只用分别计算16755和28696除以4的余数，再将余 数相乘。判断两个数除以4的余数只用看末2位。
练习7
有一个整数，用它去除70，110，160所得3个余数之和 是50.求这个数。
50÷3≈16.7 所以这个数大于16
若这个数大于70，则去除70的余数为70，大于50.所以这个数不大于70
70＋110＋160－50=290=2×5×29 290中大于16且不大于70的因子只有29，58.
进行验算，29符合，58不符合。所以答案是29.
解答： 2014÷9余7
2008200920102011201220132014÷9余1 或（1+2+3+4+5+6+7）÷9余1
例题3
将自然数1—50从左至右依次排列成一个91位数，求这个数被11 除的余数？
分析：复习被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。 该题需要找规律，把这串数罗列出来： 123456789101112…………4041424344454647484950
解答： 12345÷9余6 23456÷9余2 34567÷9余7 45678÷9余3 56789÷9余8
（6×2+7×3+8）÷9余5
例题5
2012的2012次方除以5的余数是多少？
【分析】：本题用余数的可乘性找规律可求解， 2012的2012次方相当于2的 2012次方，每一次算出的余数×2再除以5的余数即为下一次的余数
例题9
有三个数相乘的积是一个五位数，积的后4位数是1031，第一位 数的各位数字之和是10，第二位数的各位数字之和是8，求这两 个三位数的和。
→(x+1+0+3+1)→(x+5)
→10×8→8
所以x+5＝8，8+9……
因为x≤9，所以x＝3 31031=7×11×13×31 →7×2×4×4 →7×4×2×4 →10×8 所以这两个数为7×13和11×31或者7×31和11×13 经验算7×13＝91为两位数不符，217和143符合 所以两个数的和为217＋143＝360
例题8
六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、 1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结 果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个 人的2倍，则丙手中卡片上的数是______．
1193 1258 1842 1866 1912 2494 对3余数 2 1 0 0 1 1
解答： 1997÷7余2 3个一组，余数分别为2、4、1 100÷3余1，答案为2。
例题6
有一串数，第一个是2，第二个是3，从第三个数起每一个数都等 于它前面两个数之和，请问第1994个数被7除的余数是？
【分析】：找规律，并尝试本题所描述的规律在余数中是否可以直接运用？
【解答】： 个数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20… 数： 2 3 5 8 13 21 34 余数：2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 0 1 1 2 3 5… 16个一组 1994÷16余10 ，答案为4。
20092009 → A → B → C → D
因为D≤9，所以D＝5
只有1193对3的余数为2，所以丙数为1193
练习8
15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中 的五箱。已知其中一个顾客购买的货物重量是另一个的2 倍，那么商店剩下的货物重量是多少千克？
15 16 18 19 20 31 对3余数 0 1 0 1 2 1
只有20对3的余数为2，所以剩下的货物重量为20千克.
练习1
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除 数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
分析：和倍问题。注意和包含了被除数，除数，商和余数
解答： 被÷除=商……余数
17 13 被＋除＋商＋余=2113
17 13 除：（2113-13-17-13）÷（17+1）=115 被：115x17＋13=1968
解答： 奇位和：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×4=205 偶位和：2+4+6+8+（1+2+3+4）×10+5=125 （205-125）÷11余3
被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。
练习3
（16755+28696）÷11的余数是几？
分析：复习被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。
（2）71427÷7余6 19÷7余5 （6×5）÷7余2
小结：被4整除数的特征看末两位，被7整除数的特征末三位数 与末三位之前的数的差是7的倍数的数
练习4
（12345×23456+34567×45678+56789）÷9的余 数分是析？:利用余数的可乘性和可加性
解答： 1999÷9 余 1
小结：各数位数字之和加起来是9的倍数就能被9整除。 连续的9个自然数也能被9整除。
练习2
1234567891011121314……20132014除以9的余数是 多少？
分析：任意连续9个自然数的数字和也是9的倍数，此题可9个自然数为一组，刚好是9 的倍数，看余几个数，只用计算余下来的数除以9的余数即可。
小结：余数具有可加性。
练习6
有一串数1,2,4,7,11,16,22,29……这串数的组成规律是第2个数 比第一个数多1，第3个数比第2个数多2，以此类推，这串数左起 第1992个数除以5的余数是多少？
【分析】：找规律，并尝试本题所描述的规律在余数中是否可以直接运用？
解答： 找规律余数分别为1、2、4、2、1、1、2、4… 5个一组，1992÷5余2，答案为2。
例题7
有一个整数，用它去除70，98，143得到的三个余数之 和是29，求这个数。
由于29÷3≈9.3，所以这个数大于9。 若这个数大于70，则70的余数为70大于29，所以这个数不大于70.
70+98+143－29＝ຫໍສະໝຸດ Baidu82=2×3×47
对于282，大于9且不大于70的因子只有47，所以这个数为47.
练习9
设的各位数之和为A,A的各位数之和为B,B的各位数之和为C,C的 各位数之和为D,那么D=?
（1）求D的范围
得到 得到 得到 得到
A<9×2009<99999 B<9×5=45<99 C<9×2=18,C=1,2,3……16,17 D≤9
（2）求D的性质
20092009 → 22009 → 5
【解答】：2012÷5余2 次方 1 2 3 4 5 6 … 余数 2 4 3 1 2 4 … 4个一组 2012÷4余0 ，答案为1。
小结：余数具有可乘性。
练习5
1997的100次方除以7，余数是几？
【分析】：本题用余数的可乘性找规律可求解， 1997的100次方相当于7的100 次方，每一次算出的余数×2再除以7的余数即为下一次的余数
例题1
甲乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲乙两数
分析：和倍问题。甲乙的和是1088，甲是乙的11倍还多32
解答： 甲÷乙=11……32 甲＋乙=1088 乙：（1088-32）÷（11+1）=88 甲：11x88＋32=1000
小结：除法包含整除和有余除，我们可以运用和差倍来解决有余除问题
例题2
1234567891011121314^19981999除以9的余数 是多少？
分析：复习9的整除特征：1、各个数位上数字之和是9的倍数，此数能被9整除 2.任意9个连续自然数之和为9的倍数，因此任意连续9个自然数的数字和也是9的倍 数，此题可9个自然数为一组，刚好是9的倍数，看余几个数，只用计算余下来的数 除以9的余数即可。
余数具有可加性特征，因为数比较大，所以可以分开求出除以11的余数，然后将余数相加再除以11即可
解答： 16755÷11余2 28696÷11余3 （2+3）÷11余5
例题4
（1）(16755x28696) ÷4的余数是几？（2）71427和19 的积被7除，余数是几？
分析:利用余数的可乘性，只用分别计算16755和28696除以4的余数，再将余 数相乘。判断两个数除以4的余数只用看末2位。
练习7
有一个整数，用它去除70，110，160所得3个余数之和 是50.求这个数。
50÷3≈16.7 所以这个数大于16
若这个数大于70，则去除70的余数为70，大于50.所以这个数不大于70
70＋110＋160－50=290=2×5×29 290中大于16且不大于70的因子只有29，58.
进行验算，29符合，58不符合。所以答案是29.
解答： 2014÷9余7
2008200920102011201220132014÷9余1 或（1+2+3+4+5+6+7）÷9余1
例题3
将自然数1—50从左至右依次排列成一个91位数，求这个数被11 除的余数？
分析：复习被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。 该题需要找规律，把这串数罗列出来： 123456789101112…………4041424344454647484950
解答： 12345÷9余6 23456÷9余2 34567÷9余7 45678÷9余3 56789÷9余8
（6×2+7×3+8）÷9余5
例题5
2012的2012次方除以5的余数是多少？
【分析】：本题用余数的可乘性找规律可求解， 2012的2012次方相当于2的 2012次方，每一次算出的余数×2再除以5的余数即为下一次的余数
例题9
有三个数相乘的积是一个五位数，积的后4位数是1031，第一位 数的各位数字之和是10，第二位数的各位数字之和是8，求这两 个三位数的和。
→(x+1+0+3+1)→(x+5)
→10×8→8
所以x+5＝8，8+9……
因为x≤9，所以x＝3 31031=7×11×13×31 →7×2×4×4 →7×4×2×4 →10×8 所以这两个数为7×13和11×31或者7×31和11×13 经验算7×13＝91为两位数不符，217和143符合 所以两个数的和为217＋143＝360
例题8
六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、 1912、2494六个数，甲取3张，乙取2张，丙取1张，结 果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个 人的2倍，则丙手中卡片上的数是______．
1193 1258 1842 1866 1912 2494 对3余数 2 1 0 0 1 1
解答： 1997÷7余2 3个一组，余数分别为2、4、1 100÷3余1，答案为2。
例题6
有一串数，第一个是2，第二个是3，从第三个数起每一个数都等 于它前面两个数之和，请问第1994个数被7除的余数是？
【分析】：找规律，并尝试本题所描述的规律在余数中是否可以直接运用？
【解答】： 个数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20… 数： 2 3 5 8 13 21 34 余数：2 3 5 1 6 0 6 6 5 4 2 6 1 0 1 1 2 3 5… 16个一组 1994÷16余10 ，答案为4。
20092009 → A → B → C → D
因为D≤9，所以D＝5
只有1193对3的余数为2，所以丙数为1193
练习8
15、16、18、19、20、31千克，两个顾客买走了其中 的五箱。已知其中一个顾客购买的货物重量是另一个的2 倍，那么商店剩下的货物重量是多少千克？
15 16 18 19 20 31 对3余数 0 1 0 1 2 1
只有20对3的余数为2，所以剩下的货物重量为20千克.
练习1
有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除 数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
分析：和倍问题。注意和包含了被除数，除数，商和余数
解答： 被÷除=商……余数
17 13 被＋除＋商＋余=2113
17 13 除：（2113-13-17-13）÷（17+1）=115 被：115x17＋13=1968
解答： 奇位和：1+3+5+7+9+（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×4=205 偶位和：2+4+6+8+（1+2+3+4）×10+5=125 （205-125）÷11余3
被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。
练习3
（16755+28696）÷11的余数是几？
分析：复习被11整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是11的倍数。