电子科技大学《概率论》c4-3

随机变量不相关不一定相互独立!
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相关系数与矩
Apr-20
例4.3.4 设二维随机变量（X, Y）在矩形
G={(x, y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀
分布．记
0, U 1,
求ρUV .
分析 UV
X Y;
0, X 2Y;
X Y . V 1, X 2Y .
cov(U ,V ) D(U ) D(V ) y
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2.Cov( aX, bY )＝ ab Cov( X,Y ), a, b是常数；
3.Cov( X1+X2 , Y )＝ Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).
证2）Cov(aX,bY ) E{[aX aE(X )][bY bE(Y )]}
abE{[ X E( X )][Y E(Y )]}
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一.协方差
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定义4.3.1 若E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}存在， 称
Cov( X,Y )=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
为随机变量(X,Y)的协方差.
有 D(X)= Cov(X, X )； D(X士Y)=D(X)+D(Y)士2Cov(X,Y )
协方差的性质 1.Cov( X, Y )＝ Cov( Y, X ) ；
ρUV
D(U ) D(V )
D(U ) D(V )
1 2
3 4
1 2
3
3 16
1 4
3
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例4.3.5 某集装箱中放有100件产品, 其中
一、二、三等品分别为80、10、10件. 现从
中任取一件，记
1,
Xi
0,
抽到i等品; 其它.
(i 1,2,3)
求 X1 X 2
1 x2 1 x2
0,
1
dy
2
1 x2
,
同理
2 fY ( y)
1 y2
,
1 y 1;
0,
其它.
1 x 1; 其它
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已计算得 Cov(X, Y)=0.
可以验证 D( X ) 0 , D(Y )Fra Baidu bibliotek 0,
从而 XY 0.
当x2+y2≤1, f ( x, y) fX ( x) fY ( y),
2） |ρ|＝1
X与Y依概率为1 线性相
关，即
, ( 0), 使 P{Y X } 1.
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证明："" 必要性
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1时由1）有
D( X Y ) 0, E( X * Y *) 0.
由方差的性质 4）得
P{X Y E( X Y )} 1,
即 P{X Y 0} 1, 或者
2） |ρ|＝1
X与Y 依概率为1线性相
关. 即 存在 , , ( 0),
P{Y X } 1
证明
相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关
程度的数字特征.
练习 将一枚硬币重复抛掷n次, X, Y 分别表示
正面朝上和反面朝上的次数，则ρXY＝ －1
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注1 若随机变量X, Y 的相关系数ρXY存在,
定义4.3.5 设 X 为随机变量,若E[|X－E(X)|k] < +∞, 称
μk= E{[X－E(X)]k} k=1,2,3…..
为X的k 阶中心矩.
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称 βk =E[|X－E(X)|k] k=1,2,3…..为X 的k 阶绝对中心矩.
其中 D(X)=E{[X－E(X)]2}=E(X2) －[E(X)]2
1）若ρXY＝1， P{Y X } 1
中的α>0, 称 X, Y 正相关；
2）ρXY＝1，则α<0 称 X, Y 负相关；
3）ρXY＝0，称 X, Y 不相关.
注2 ρXY＝0 仅说明X, Y 之间没有线性关系，
但可以有其他非线性关系.
参见讲
义P114
例4.4.4
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D(X1) D( X2 )
D( X1) D( X2 )
2 3
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例4.3.6 设二维随机变量 (X, Y ) 的联合概
率密度为
f
(
x,
y)
6 xy, 0,
0 x 1, 0 y 2(1 x); 其它.
求: (X, Y )的协方差矩阵。
分析 计算(X, Y )的协方差矩阵, 本质上就 是计算X、Y 的方差和协方差.
需求
X1X2
cov( X1, X2 ) E( X1X2 ) E( X1)E( X2 )
D(X1) D( X2 )
D( X1) D( X2 )
关键是求E(X1X2)
求出X1X2分布律
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解 由已知可得
E( X1) 0 P{抽到非一等品}
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1 P{抽到一等品} 0.8
定理4.3.1 若随机变量X 与Y 相互独立，
则X 与Y 不相关，即有 ρXY＝0 .
注1 此定理的逆定理不成立, 即由ρXY＝0 不
能得到X 与Y 相互独立.
注2 若(X,Y)~N(μ1,σ21; μ2 , σ22; ρ) ,则
X, Y 相互独立 参见P116 例4.4.6
ρXY＝0 .
例4.3.3 例4.3.4
D( X1) 0.8(1 0.8) 0.16
同理 E( X2 ) 0.1 D( X2 ) 0.09
1, 抽到一等品同时抽到二等品;
X1 X2 0,
其它.
E(X1X2)=1×P{X1X2=1}＋0×P{X1X2=0} =1×0 ＋0×1=0
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X1X2
cov( X1, X2 ) E( X1X2 ) E( X1)E( X2 )
对称阵 3）C是非负定矩阵；
4）ci2j cii c jj , i, j 1,2,..., n
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四.矩
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定义4.3.4 设X为随机变量, 若E(|X|k) < +∞, 称
γk= E(Xk) k=1,2,3…..
为X的 k 阶原点矩.
称αk =E(|X|k), k=1,2,3…..为X的 k 阶绝 对原点矩.
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解 先计算 E(X), E(Y)
E(X )
xf ( x, y)dxdy
1
dx
2(1 x) 6 x2 ydy
00
1
12
x
2
(1
x)2dx
2
0
5
E(Y )
yf (x, y)dxdy
1
dx
2(1 x) 6 xy 2dy
00
1
16x(1
x)3dx
标准化随 机变量的
为随机变量X与Y 的相关系数.
协方差
注 1）ρXY是一无量纲的量.
2） XY
E[ X
E(X ) Y D( X )
E(Y )] D(Y )
E[X *Y *] Cov( X *,Y *)
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性质 设随机变量X,Y 的相关系数ρ存在，则
1） |ρ|1;
E(UV ) E(U )E(V )
G
D(U ) D(V )
O
x
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关键是求E(UV)
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可先求出UV分布律.
解 由已知可得
1/ 2, ( x, y)G;
f (x, y)
0,
其它.
E(U ) 0 P{ X Y } 1 P{ X Y } 3/ 4 E(U 2 )
PY －
D(Y ) X
D( X )
对 1 同理可证.
D(Y ) E( X ) E(Y ) 1.
D( X )
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"" 充分性
若 P{Y X } 1,
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E(Y ) E( X ) , D(Y ) 2D( X ),
Cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D(U) E(U 2) [E(U )]2 3 9 3 , 4 16 16
y
同理 E(V ) 1/ 2, D(V ) 1/ 4,
G
O
x
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UV 的分布律为
UV
0, 1,
X 2Y; X 2Y .
V
故 E(UV) E(V ) 1/ 2,
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cov(U,V ) E(UV ) E(U )E(V )
相互独立同 分布，且其方差为 2 0 ，令
Y
1 n
n
Xi
i 1
计算协方差 Cov(X1,Y ).
解 因 X1，X2， Xn相互独立，故
Cov(X1, Xi ) E(X1Xi ) E(X1)E(Xi ) 0, (i 2,3, ,n)
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Cov( X1,Y
)
1 n
n
Cov( X1, Xi
. . ... .
cn1
cn2
...
cnn
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其中有 Cov( X,Y )=E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
D(X)= cov(X,X )
例4.3.6
三、协方差矩阵的性质
1）cii D( Xi ), i 1,2,...,n;
2）cij c ji , i, j 1,2,...,n;
E{[ X E( X )][X E(X )]}
D( X ).
XY
cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
1.
2
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例4.3.3 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内
服从均匀分布
f
(
x,
y)
1
,
x2 y2 1;
0, 其它.
fX
(x)
abCov( X ,Y ).
常用计算公式 cov( X,Y )＝E(XY) －E(X)E(Y)
例4.3.1
例4.3.2
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二、相关系数
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定义4.3.2 设二维随机变量X,Y 的D(X)>0,
D(Y)>0 , 称
XY
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
00
1
24x(1
x)4dx
4
0
5
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得到
D( X ) E( X 2) [E( X )]2 1 ( 2 )2 1
4
0
5
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为计算方差, 再计算 E(X 2), E(Y 2)
E( X 2) x2 f ( x, y)dxdy
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1
dx
2(1x)6x3 ydy
1
12
x
3
(1
x)2dx
1
00
0
5
E(Y 2) y2 f ( x, y)dxdy
1
dx
2(1 x ) 6 xy 3dy
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§4.3 协方差.相关系数与矩
当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个 方面.
本节介绍的协方差、相关系数就是描述
随机变量之间相互关系的数字特征.
D(X＋Y)=D(X)＋D(Y)+2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]} D(X－Y)=D(X)＋D(Y)－2E{[X－E(X)][Y－E(Y)]}
i0
k
C
i k
i
k
i
i0 k
同理 k 1ki Cki 1ki k
i0
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数学期望 线性性质
随机变量的矩是数！！！
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例4.3.1 (X,Y)在以原点为圆心的单位圆内
服从均匀分布
f
(
x,
y)
1 ,
0,
求Cov(X, Y) .
x2 y2 1; 其它.
解 因E( X ) x fX ( x)dx 11 2x
1 x2 dx 0,
故 Cov(X, Y)=E (XY)－E (X) E(Y) = E (XY）
xy dxdy
x2 y2 1
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1
0102
r3
sin cos
ddr
0.
例4.3.2 设随机变量 X1, X 2 , X n , (n 1)
i 1
)
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1 n
Cov(
X1,
X1)
1 n
n
Cov(
i2
X1,
Xi
)
1
2
n D( X1) n .
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定理证明
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1） | |1 证明：0 D(X Y ) D(X) D(Y ) 2cov(X,Y )
2 2XY 2(1 XY )
1 XY 0, XY 1.
注意到 μ2=D(X), γ1=E(X), γ2=E(X2)
2 2 1 更一般的, 因μ1=0, 可得 k与k的关系：
k E( X k ) E{[ X E( X ) E( X )]k }
E{[( X 1) 1]k }
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k
Cki i E[( X 1 )ki ]
例4.3.5
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定义4.3.3 设n 维随机变量(X1,X2,…,Xn) 的协
方差
Cij = Cov( Xi , Xj )
均存在, 称矩阵 C (cij ) 为(X1, X2 ,…, Xn)
的协方差矩阵.
c11 c12 ... c1n
C c21
c22
...
c2n