回溯算法的一些例题

回溯算法搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。

回溯是搜索算法中的一种控制策略。

它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直至得到解或证明无解。

如迷宫问题：进入迷宫后，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进, 如果碰到死胡同，说明前进方向已无路可走，这时，首先看其它方向是否还有路可走，如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其它方向是否还有路可走；如果有路可走，则沿该方向再向前试探。

按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出路或从原路返回入口处无解为止。

递归回溯法算法框架 [ 一] procedure Try(k:integer);beginfor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果if 到目的地 then 输出解else Try(k+1);恢复：保存结果之前的状态 { 回溯一步 }end;end;递归回溯法算法框架 [ 二] procedure Try(k:integer);beginif 到目的地 then 输出解elsefor i:=1 to 算符种数 Doif 满足条件 thenbegin保存结果Try(k+1);end;end;例 1 ：素数环：把从 1 到 20 这 20 个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。

【算法分析】非常明显，这是一道回溯的题目。

从 1 开始，每个空位有 20 (19)种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。

第 20 个数还要判断和第 1 个数的和是否素数。

〖算法流程〗 1、数据初始化； 2 、递归填数：判断第 J 种可能是否合法；A、如果合法：填数；判断是否到达目标( 20 个已填完)：是，打印结果；不是，递归填下一个；B、如果不合法：选择下一种可能；【参考程序】program z74; 框架 [ 一 ]var a:array[0..20]of byte;b:array[0..20]of boolean;total:integer;function pd(x,y:byte):boolean;var k,i:byte;begink:=2; i:=x+y; pd:=false;while (k<=trunc(sqrt(i)))and(i mod k<>0) do inc(k);if k>trunc(sqrt(i)) then pd:=true;end;procedure print;var j:byte;begininc(total);write('<',total,'>:');for j:=1 to 20 do write(a[j],' ');writeln;end;procedure try(t:byte);var i:byte;beginfor i:=1 to 20 doif pd(a[t-1],i)and b[i] thenbegina[t]:=i; b[i]:=false;if t=20 then begin if pd(a[20],a[1]) then print;endelse try(t+1); b[i]:=true; end; end;BEGINfillchar(b,sizeof(b),#1);total:=0; try(1);write('total:',total);END.通过观察，我们可以发现实现回溯算法的特性：在解决过程中首先必须要先为问题定义一个解的空间．这个空间必须包含问题的一个解。

在搜索路的同时也就产生了新的解空间。

在搜索期间的任何时刻．仅保留从起始点到当前点的路径。

例 2 ：设有 n 个整数的集合｛ 1,2, ⋯,n ｝，从中取出任意 r 个数进行排列( r<n )，试列出所有的排列。

解法一：program it15; 框架 [ 一 ] type se=set of 1..100;VAR s:se;n,r,num:integer; b:array [1..100] of integer;PROCEDURE print;var i:integer; begin num:=num+1; for i:=1 to r do write(b[i]:3); writeln;end;PROCEDURE try(k:integer);VAR i:integer; begin for i:=1 to n do if i in s then begin b[k]:=i;s:=s-[i]; if k=r then printelse try(k+1); s:=s+[i]; end; end;BEGIN write('Input n,r:');readln(n,r); s:=[1..n];num:=0;try(1); writeln('number=',num);END.解法二： program it15; 框架 [ 二 ]type se=set of 1..100;VAR s:se; n,r,num,k:integer;b:array [1..100] of integer;PROCEDURE print; var i:integer;begin num:=num+1; for i:=1 to r do write(b[i]:3); writeln;end;PROCEDURE try(s:se;k:integer); VAR i:integer;begin if k>r then print else for i:=1 to n do if i in s then begin b[k]:=i;try(s-[i],k+1);end;end;BEGINwrite('Input n,r:');readln(n,r);s:=[1..n];num:=0;try(s,1);writeln('number=',num);readln;END.例 3、任何一个大于 1 的自然数 n, 总可以拆分成若干个小n 的自然数之和于当 n=7 共 14 种拆分方法：7=1+1+1+1+1+1+17=1+1+1+1+1+27=1+1+1+1+37=1+1+1+2+27=1+1+1+47=1+1+2+37=1+1+57=1+2+2+27=1+2+47=1+3+37=1+67=2+2+37=2+57=3+4total=14{ 参考程序 }program jjj;var a:array[0..100]of integer;n,t,total:integer;procedure print(t:integer);var i:integer;beginwrite(n,'=');for i:=1 to t-1 do write(a[i],'+');writeln(a[t]); total:=total+1;end;procedure try(s,t:integer);var i:integer;beginfor i:=1 to s doif (a[t-1]<=i)and(i<n) then begin a[t]:=i;s:=s-a[t]; if s=0 then print(t) else try(s,t+1);s:=s+a[t];end;end;beginreadln(n);try(n,1);writeln('total=',total);readln;end.例 4 、八皇后问题：要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃。

示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。

)放置第 i 个皇后的算法为： procedure Try(i) ； beginfor 第 i 个皇后的位置 =1 to 8 do ； if 安全 thenbegin放置第 i 个皇后；对放置皇后的位置进行标记； if i=8 then 输出else Try(i+1) ； { 放置第 i+1 个皇后 } 对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行； end； end；【算法分析】显然问题的键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在／斜线上的行列值之和相同；如果同在＼斜线上的行列值之差相同；如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值与列号之差的绝对值相同。

从下图可验证：对于一组布局我们可以用一个一维数组来表示：A:ARRAY [1..8] OF INTEGER;A[I] 的下标 I表示第 I 个皇后在棋盘的第 I 行， A[I] 的内容表示在第 I 行的第 A[I] 列，例如： A[3]=5 就表示第 3 个皇后在第 3 行的第 5 列。

在这种方式下，要表示两个皇后 I 和 J 不在同一列或斜线上的条件可以描述为： A[I]<>A[J] AND ABS(I-J)<>ABS(A[I]-A[J]){I 和 J 分别表示两个皇后的行号 }考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组 A[1..8] 表示皇后的放置：第 i 行皇后放在第 j 列，用 A[i] ＝ j 来表示，即下标是行数，内容是列数。

判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组b[1..8] 控制同一列只能有一个皇后，若两皇后在同一对角线上，则其行列坐标之和或行列坐标之差相等，故亦可建立标志数组 c[1..16] 、 d[-7..7] 控制同一对角线上只能有一个皇后。

从分析中，我们不难看出，搜索前进过程实际上是不断递归调用的过程，当递归返回时即为回溯的过程。

program ex1;var a:array[1..8] of byte; b:array[1..8] of boolean; c:array[1..16] of boolean;d:array[-7..7] of boolean; sum:byte;procedure pr; var i:byte;beginfor i:=1 to 8 do write(a[i]:4); inc(sum);writeln(' sum=',sum);end; procedure try(t:byte);var j:byte;beginfor j:=1 to 8 do{ 每个皇后都有 8 种可能位置 }if b[j] and c[t+j] and d[t-j] then { 寻找放置皇后的位置 } begin { 放置皇后 , 建立相应标志值 }a[t]:=j;{ 摆放皇后 }b[j]:=false;{ 宣布占领第 j 列}c[t+j]:=false;{ d[t-占领两个对角线 }if t=8 then pr {8 个皇后都放置好 , 输出 }elsetry(t+1);{继续递归放置下一个皇后 }b[j]:=true;{ c[t+j]:=tru递归返回即为回溯一步 , 当前皇后退出 } d[t-j]:=true;end;end;BEGIN fillchar(b,sizeof(b),#1);fillchar(c,sizeof(c),#1);fillchar(d,sizeof(d),#1);sum:=0;try(1);{ 从第 1 个皇后开始放置 } END.例 5 ：马的遍历中国象棋半张棋盘如图 4 （ a）所示。