9数字信号处理中的有限字长效应

1
e(n)
2
2
0
其它
/2
me E[e(n)]
ep(e)de 0
/ 2
2 e
E((e(n) me )2 )
/2
[e
/ 2
me ]2
p(e)de
/ 2 1 e2de 2 22b
/ 2
12 12
28
一 A/D变换量化误差的统计分析
对于定点补码截尾情况，误差序列e(n)的概率密度函数
2 x
2 e
6.02b
10.79
10
log
10
2 x
（1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的字长有关； （2）与输入信号的平均功率有关。
31
一 A/D变换量化误差的统计分析
S N
10 log 10
2 x 2 e
6.02b
10.79
10
log10
2 x
结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约
3
9.1 引言
（2）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来 表示，则必然会引入量化误差。
对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤 波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化 特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都 有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单 位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化 误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其 原有的稳定性。
5
9.1 引言
(3) 运算中的量化误差:为限制位数而进行尾数处理以及为防止溢出 而压缩信号电平的有限字长效应。在定点制的乘法以及浮点制的加法 和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理， 比如采用“截尾”或“舍入”的处理方法,引入截尾误差或舍入误差。 其误差取决于所用的二进制的位数b、数的运算方式（定点制或浮点 制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。
14
截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。 舍入法是按最接近的值取b位值，即将第b+1位按逢1进位，
逢0不进位，然后略去后面的b+1位。
显然这两种处理方法所引起的误差是不同的。
15
对于正数x，三种码的表示法是相同的，量化影响也是相同的。一个b1
位正数x的十进制数值为：
b1
x ai 2i i 1
用Q[·]表示量化处理，加下标T后，表示截尾量化处理，有：
b
QT [x] ai 2i i 1
若以eT表示截尾误差，则有：
b1
eT QT [x] x ai 2i 0 i b 1
当被弃位为1时，最大截尾误差：
b1
eT max ai 2i (2b 2b1 ) 0 i b 1
由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加
性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠
加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。
30
一 A/D变换量化误差的统计分析
对于定点舍入情况，信噪比：
2 x
2 e
22b
2 x
/12
Fra Baidu bibliotek
12
22b
2 x
表示成分贝数为：
S N
10log10
量化误差
(1 2b ) x(n) (1 2b )
2
2
e(n) Q[x(n)] x(n) x (n) x(n)
24
9.3 A/D变换器中的量化效应
Ａ／Ｄ变换器的量化特性主要取决于所采用的数的表 示方式和量化方式，对于补码舍入处理，可知：
2
eR
(n)
2
,
2b
对于补码截尾处理，Ａ／Ｄ变换器的量化误差为：
7
9.1 引言
研究有限字长效应目的： （1）若数字信号处理是在通用计算机上,字长已经固定，进 行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要 采取改进措施。 （2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点实现, 涉及到硬件采用字长问题。 本节主要讨论定点制情况下的有限字长效应.
8
9.2 二进制数的表示及其对量化误差的影响
第9章 数字信号处理中的有限字长效应
9.1 引言 9.2 A/D变换的量化效应 9.4 数字滤波器系数量化效应 9.5 数字滤波器运算中的有限字长效应
1
9.1 引言
前面所讨论的数字信号与系统都是无限精度的,实际上无 论是用专用硬件还是用计算机软件来实现,其数字信号处理 系统的有关参数以及运算过程中的结果都是存储在有限字 长的存储单元中的.如果处理的是模拟信号,模拟量经过抽样 及模数变换后,也变成有限字长的数字信号.
me h(m) 0 m0
2 f
E( f
2 (n)
E
h(m)e(n m)
可以提高6dB。但是b受到输入信号的信噪比的限制；（2）输
入信号越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有 一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。 实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线性 A/D一般要求8位以上满足通信要求。
32
e(n)的统计特性
当输入信号超过A/D变换器的动态范围时，必须压缩输入信号幅 度，Ax(n),0<A<1,然后对其量化。此时的信噪比：
21
9.3 A/D变换器中的量化效应
A/D（模/数）变换器是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将
输入的模拟信号xa(t)转换为b位二进制数字信号, b 的数值可以是8，12，
20等。因此存在量化误差。 一个A/D变换器分为两部分：抽样器和量化器。
抽样器产生序列x(n)= xa(nT),无限精度，量化器对每个抽样序列x(n)进行
p[e(n)]
1
e(n) 0
0
其它
me
E[e(n)]
0 1 ede 2b
22
0,
量化噪声中含有直流分 量
2 e
E((e(n) me )2 )
0
e
2 2
1
de
2 12
22b 12
字长越长，量化间距越小，量化噪声的方差越小。
29
一 A/D变换量化误差的统计分析
26
一 A/D变换量化误差的统计分析
A/D变换器的统计模型如下图所示。图中的理想A/D变换 器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个
等效的噪声源e(n)。
x (n) x(n) e(n)
27
一 A/D变换量化误差的统计分析
对于定点舍入情况，误差序列e(n)的概率密度函数
p[e(n)]
定点制舍入误差为： / 2 eR / 2
18
定点制运算中的截尾误差和舍入误差。
（a）补码 （b）原码、反码
截尾处理的量化特性（q=Δ=2-b）
舍入处理的量化特性
一般来说舍入误差的影响要小，所以应用比较多。
19
2．浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。
表9-2 浮定点运算中的相对误差
20
截尾和舍入都产生了非线性关系。为了研究量化误差对 数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误 差的特性，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随 机变量，对每种误差求出概率密度函数。假设量化误差 在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布 的。
m0
f
(n)
y (n)
y(n)
e(n) * h(n)
h(m)e(n
m)
m0
34
二、白噪声通过线性系统
x(n)
xˆ(n) h(n)或H(z)
e(n)
yˆ(n) y(n) f (n)
对于补码截尾情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值
m f E[ f (n)] E[e(n) h(n)] h(m)E[e(n m)] m0
4
9.1 引言
数字序列值用有限长的二进制数表示 例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101…)2，
若限制用八位二进制数来表示，则为（0.10111010）2，而（0.10111010） 2=（0.7265625）10，那么， 引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.0025935，该误差称为量化误差。 这是在二进制数的存储方面。
6
9.1 引言
有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关： ①量化方式是截尾还是舍入； ②负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示； ③算术运算是用定点运算还是用浮点运算； ④采用什么类型的系统结构 (例如，对于数字滤波器来说，是采用
递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用 由低阶节组成的级联结构或并联结构)。
假定系统是理想的，线性移不变的。系统实现时带来的误差以 及
运算带来的 误差暂都不考虑，把他们看成是独立于量化噪声而
引起的误差。
y (n) x (n) h(n) x(n) h(n) e(n) h(n)
h(m)x(n m) h(m)e(n m) y(n) f (n)
m0
m0
y(n) x(n) * h(n) h(m)x(n m)
eT (n) 0
25
一 A/D变换量化误差的统计分析 对量化误差e(n)适合采用统计分析方法．
(1)e(n)是平稳随机序列； (2)e(n)与抽样信号x(n)是不相关的； (3)e(n)序列本身的任意两个值之间是不相关的， e(n) 是白噪
声序列； (4)e(n) 在其误差范围内为均匀等概分布的。
2
9.1 引言
数字系统中因有限字长的影响带来的误差来源 (1) A/D变换器中的量化误差:把模拟输入信号变为一组离散 电平时产生的量化效应.A/D变换包括取样和量化两个过 程,采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的 离散序列样值，即称之为“采样”信号,采样信号在时间上离散 化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数 字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的 数字序列值信号。
16
令 ，2表b 示最小码位所表示的数值，称为“量化宽度”或“量化步
阶”。因而定点正数的截尾误差是负数，满足
eT 0, x 0
对于负数，截尾误差与数的表示法有关。 ① 定点制原码负数的截尾误差：
0 eT , x 0
② 定点制补码负数的截尾误差：
eT 0, x 0
③ 定点制反码负数的截尾误差：
me h(m) me H (e j0 ) m0
2 f
E( f
2 (n)
2 e
2
|
2
H (e j ) | d
这些分析对于白噪声通过线性系统都是合适的。
35
二、白噪声通过线性系统
对于定点补码，舍入情况，噪声e(n)造成的输出噪声f(n)均值
m f E[ f (n)] E[e(n) h(n)] h(m)E[e(n m)] m0
数的表示方法有定点制和浮点制。 定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，在定点制中,小数点右边各位表
示数的分数部分,左边各位表示数的整数部分. 定点制加法运算不会增加字长,但若没有选择比例因子,会出现溢出问题.动态
范围小. 定点制乘法运算不会产生溢出,但尾数要增加一倍.
9
10
11
12
13
0 eT , x 0
17
（2）定点制舍入：舍入是按最接近的值取b位码，舍入后各数值按2b
的间距被量化，即两个数间最小非零差是Δ，舍入是选择靠得
最近的量化层标准值为舍入后的值，不论是正数、负数，原码、
补码、反码，误差总是在 eR表示舍入误差，则：
之 间 /。2 QR[·]表示舍入处理，
eR QR[x] x
S N
10
log10
(
A2
2 e
2 x
)
10
log10
(1
16
2 e
)
10
log
10
(
3 4
2
2b
)
6b 1.25(dB)
提高信噪比的办法，一是增大输入信号，但这受到A/D变换器动 态范围的限制；二是增加字长b，但受到输入信号xa(t)的信噪比 的限制。
33
二、白噪声通过线性系统
量化序列 x (n) x(通n过) 线e性(n系)统，
x(n) Axa (t) | t nT Axa (nT )
23
9.3 A/D变换器中的量化效应
设量化器输出抽样值表示成(b+1)位的补码定点小
数，二进制小数点后为b位．输入到量化器的精确抽样值
x(n)要舍入到最靠近的量化层标准值，以得到量化抽样 值 x (n) ，量化器对补码定点制输入信号的动态范围为：
截尾或舍入的量化处理， xˆ(n) ，Q[实x际(n上)]这两部分是同时完成的。
22
9.3 A/D变换器中的量化效应
分析A/D（模/数）变换器量化效应的目的在于选择合适的 字长，以满足信噪比指标。为了使抽样后不产生混叠失真，模拟 信号必须是限带的，A/D变换器前一般都加一个前置滤波器。此 外由于A/D变换器总是定点制的，必须使信号不超过A/D变换的 动态范围，为此模拟输入信号必须乘以一个比例因子,满足A/D变 换器动态范围的要求。