八年级上数学整式地乘除与因式分解基本知识点

整式的乘除与因式分解基本知识点

一、整式的乘除：

1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a __________________210242333222=-++-+-x xy x y x xy xy y x

2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例如：________3=?a a ；________32=??a a a

3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a =

4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：10=a

例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则

y x 32? )5)(2(22xy y x - )2()3(22xy xy -? 2232)()(b a b a ?- 7、单项式除法法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

y x y x 2324÷ ()xy y x 6242-÷ ()()58103106?÷?

8、单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

)(c b a m ++ )532(2+--y x x )25(32b ab a ab +--

9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

)6)(2(-+x x )12)(32(+--y x y x ))((22b ab a b a +-+

10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，

再把所得的商相加.

()x x xy ÷+56； ()()a ab a 4482-÷-

()b a b a b a 2

3

2

4

54520÷- c c b c a 2

12122

2÷??

? ??-

11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2.

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

例如：（4a －1）（4a+1）=___________； （3a －2b ）（2b+3a ）=___________；

()()11-+mn mn = ； =--+-)3)(3(x x ；

12、整式乘法的完全平方公式：(a +b)2=a 2+2a b+b 2，(a -b)2=a 2-2a b+b 2.

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍. 例如：()____________522

=+b a ； ()_______________32

=-y x

()_____________22

=+-ab ； ()______________122

=--m

二、因式分解： 1、提公因式法：

4y xy - 32x x + x 2+12x 3+4x )1()1(-+-a n a m 2、公式法.：

（1）、平方差公式：))((22b a b a b a -+=-

12-x 2294b a - 22)(16z y x +- 22)2()2(b a b a --+

（2）、完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-

442+-m m 2269y xy x ++ 924162++x x 36)(12)(2++-+b a b a

3、分组分解法：1a b ab +++ ab －c ＋b －ac a 2－2ab ＋b 2－c 2

4、“十字相乘法”：即式子x 2+(p+q)x+pq 的因式分解. x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

x 2＋7x ＋6 （2）、x 2－5x －6 （3）、x 2－5x ＋6

整式的乘法

[同底数幂的乘法]a m ·a n =a m+n （m 、n 都是正整数） [幂的乘方](a m )n ＝a mn (m ，n 都是正整数) [积的乘方](ab)n ＝a n b n (n 是正整数)

[单项式乘以单项式]

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． [单项式乘以多项式]

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． [多项式乘以多项式]

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

平方差公式

[平方差公式] (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2

1. 公式的结构特征：

⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数.

⑵右边是这两个数的平方差，即完全相同的项与互为相反数的项的平方差（同号项2－异号项2）.

2. 公式的应用：

⑴公式中的字母a ，b 可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进行计算.

⑵公式中的是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.

⑶为了避免错误，初学时，可将结果用“括号”的平方差表示，再往括号填上这两个数.

如：(a+b)( a - b)= a2 －b2

↓↓↓↓↓↓

计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2

[完全平方公式]

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加（或减）它们的积的2倍.

公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式（首平方，尾平方，二倍乘积在中央）．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab

(a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab

(a+b)2- (a-b)2=4ab

[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

[同底数幂的除法]

a m÷a n=a m-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．

a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.

[单项式除以单项式]

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

[多项式除以单项式]

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

[因式分解]

把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）. [提公因式法]

ac ＋bc=（a ＋b ）c

[公式法]

[十字相乘法]

一、训练平台

1.下列各式中，计算正确的是( ) A.27×27=28

B.25×22=210

C.26+26=27

D.26+26=212

2.当x=23

时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( )

A.-239

B.-18

C.18

D.2

39 3.已知x-y=3，x-z=21，则(y-z)2+5(y-z)+4

25

的值等于( )

A.425

B.25

C.-25

D.0

4.设n 为正整数，若a 2n =5，则2a 6n -4的值为( ) A.26

B.246

C.242

D.不能确定

5.(a +b)(a -2b)= .

6.(2a +0.5b)2= .

7.(a +4b)(m+n)= .

8.计算.

(1)(2a -b 2)(b 2+2a )= ；(2)(5a -b)(-5a +b)= . 9.分解因式. (1)1-4m+4m 2；

(2)7x 3-7x.

10.先化简，再求值.

[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x ，其中x=3，y=-1.5. 二、探究平台

1.分解因式(a -b)(a 2-a b+b 2)-a b(b-a )为( ) A.(a -b)(a 2+b 2)

B.(a -b)2(a +b)

C.(a -b)3

D.-(a -b)3

2.下列计算正确的是( ) A.a 8÷a 2=a 4(a ≠0) B.a 3÷a 4=a (a ≠0) C.a 9÷a 6=a 3(a ≠0)

D.(a 2b)3=a 6b

3.下列各题是在有理数围分解因式，结果正确的是( ) A.x 4-0.1=(x 2+0.1)(x 2-0.1) B.-x 2-16=(-x+4)(-x-4) C.2x n +x 3n =x n (2+x 3)

D.

41-x 2=4

1

(1+2x)(1-2x) 4.分解因式：-a 2+4a b-4b 2= .

5.如果x 2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m 的值是 .

6.(3x 3+3x)÷(x 2+1)= .

7.1.22222×9-1.33332×4= .

8.计算.

(1)1234567892

123456789012345678911234567890

2?-；(2)20032002200220002002220022323-+-?-.

9.分解因式.

(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x 4-81x 2y 2.

10.112--x x +x(1+x

1)，其中x=2-1.

三、交流平台

1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a =2，b=0.8时的面积.

2.已知多项式x 3+kx+6有一个因式x+3，当k 为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.

3.如果x+y=0，试求x 3+x 2y+xy 2+y 3的值.

4.试说明无论m ，n 为任何有理数，多项式4m 2+12m+25+9n 2-24n 的值为非负数.

第十六章分式知识点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，

把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd

a d a c ac

÷=?=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn

7.负指数幂: a -p =

1

p a

a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2-

b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）

4

4

+-x x （2）

2

32+x x （3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）

3

1

+-x x （2）

4

2||2--x x （3）

6

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=??=

2．分式的变号法则：

b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

13132

21+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）

y

x y

x --+- （2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+

y x

，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x

11

+

. 【例4】已知：21=-x

x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241

-的值. 练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+

x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求

a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值. 5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2

,

21,

1

222--+--x x x x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分： （1）

3

22016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-?+； （3）

m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-

+-+-+--；

（6）

)

5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； （7）)12()2

1444

(222+-?--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

8

122x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z y x ==，求22232z

y x xz

yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1

)(1

(2

2a a a a --的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11

312-+

+=

--x N

x M x x ，试求N M ,的值. 练习：

1．计算

（1）)

1(23

2)1(21)1(252+-+

+--++a a a a a a ； （2）a b ab

b b a a ---

-222； （3）

b

a c c

b a

c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-2

2；

（5）)4)(4(b

a ab

b a b a ab b a +-+-+

-；

（6）2

12

1111x x x ++

++-； （7）

)

2)(1(1

)3)(1(2)3)(2(1--+

-----x x x x x x . 2．先化简后求值

（1）11

124212

22-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(

y

x

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值.

3．已知：

1

21)12)(1(45--

-=---x B

x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式

2

805

399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a （2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）24

2

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?. 练习：

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3

1|)5

1()5

13

1

(?-+-+-÷?-- （2）322231)()3(-----?n m n m （3）

2

3232222)()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）

2

1

222)]

()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.

第二讲 分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

x

x 311=-；（2）

0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程 （1）

4441=+++x x x x ； （2）5

6

9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

1167++=++x x x .

【例3】解下列方程组

??????

???=+=+=+)

3(4

111)2(3111)1(21

11x z z y y x 题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值围. 提示：03

2>-=

a

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程

)0(≠+=--d c d

c

x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程： （1）

021211=-++-x

x

x x ； （2）

3

4

23-=--x x x ；

（3）223

22=--+x x x ； （4）1

71372

22

2

--+

=--

+x x x

x x

x （5）2

1

23524245--+=--x x x x

（6）4

1

215111++

+=+++x x x x

（7）

6

8

11792--+

-+=--+-x x x x x x x x

2．解关于x 的方程： （1）b x

a

211+

=)2(a b ≠；

（2）)(11b a x

b

b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程2

22-=+-x x

x k 会产生增根，求k 的值.

4．当k 为何值时，关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法

例1．解方程：2

3

1+=

x x 二、化归法

例2．解方程：01

2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：871

78=----x

x x 四、分子对等法

例4．解方程：)(11b a x

b b x a a ≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程：4

17

425254=-+-x x x x

六、分离常数法

例6．解方程：

8

7

329821+++

++=+++++x x x x x x x x

七、分组通分法

例7．解方程：4

1

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程x

m

x x -=

--221无解，求m 的值。

例2．若关于x 的方程1

1122+=

-+-x x

x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例

3．若关于x 分式方程4

3

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程1

151221--=

+-+

-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。