§3.3 垂径定理优秀课件
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第三章 圆
§3.3 垂径定理
一、知识回顾
请同学们回顾一下等腰三角形有哪些性质？
两底角相等 “三线合一”
轴对称图形
如图在△OAB中，
OA=OB，若OM⊥AB，
O
则……
如果以O为圆心，腰长OA 为半径画圆，得到的图 形是否是轴对称图形呢？
A ＭB
二、探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂 足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能在图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
C
A M└
B
●O
D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
∵OA=OB， CD⊥AB ， ∴AM=BM. ∠AOC=∠BOC.
∴ ∠AOD=∠BOD.
∴
⌒ AC
⌒ =BC,
⌒⌒ AD =BD.
C
A MB
└
O
D
注意证法的 多样性！
二、探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂 足为M。
M
C
D
A
B
A
.
O
O.
└
A
E C
D
B
└.O
B
N
C A
M└
●O
条件
B ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
结论 ③AM=BM, ④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=⌒BD.
D
请你用文字语言
表述这一结论。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧。
C
A
M└
●O
符号语言：
B
∵CD是直径, CD⊥AB
注意三 种语言
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, ⌒AD=B⌒D. 的转化！
OD
径垂直于弦,并且平分弦
A
所对的弧.
知识应用 【例2】如图，一条公 路的转弯处是一段圆弧
（即图中⌒CD,点0是⌒CD所
在圆的圆心），其中
CD=600m，E为⌒CD上的一
点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路 的半径。
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的 半径为Rm,则OF=(R-90)m。
1题
2.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？ 为什么？
A C
└
O
MDB
四、反思小结
本节课你学到了哪些数学知识？掌握了哪些数学思想 方法？
1、垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常作弦心距，或作垂直于弦的 直径或连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
C
条件
A
●
B
M
●O
①CD是直径 可推得 ② AM=BM
结论
③CD⊥AB,百度文库④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
议一议：
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径）， 作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
如果这里少了“不是直径”，
是否也能得出结论？为什么？
B
垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直 C
D
强 ①条件中的“弦”可以是直径； 调：②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
O
C
DC
A
O E DC
D O
A
×
√
×
注意：定理中的两个条件：直径（半径）
与垂直于弦两者缺一不可！
【例1】在⊙O中，弦AB长为8厘米，O到AB的距 离为3厘米，求⊙O的半径。
●O
【即时练习】在⊙O中，半径OC⊥AB交AB于D， ⊙O的半径为5cm，OD=3cm，弦AB=________.
归纳小结：运用垂径定理时常常需要作弦心
距或连半径构造直角三角形。
想一想：
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M.
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
在Rt△OCF中,
∵ OC²=CF² +OF²
即 R²=300²+(R-90)².
解得：R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
C E
F
O
D
注意运用代数方 法解决几何问题
三、课堂检测 1.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦， CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O 的半径为____________．
§3.3 垂径定理
一、知识回顾
请同学们回顾一下等腰三角形有哪些性质？
两底角相等 “三线合一”
轴对称图形
如图在△OAB中，
OA=OB，若OM⊥AB，
O
则……
如果以O为圆心，腰长OA 为半径画圆，得到的图 形是否是轴对称图形呢？
A ＭB
二、探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂 足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能在图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
C
A M└
B
●O
D
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
∵OA=OB， CD⊥AB ， ∴AM=BM. ∠AOC=∠BOC.
∴ ∠AOD=∠BOD.
∴
⌒ AC
⌒ =BC,
⌒⌒ AD =BD.
C
A MB
└
O
D
注意证法的 多样性！
二、探究新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂 足为M。
M
C
D
A
B
A
.
O
O.
└
A
E C
D
B
└.O
B
N
C A
M└
●O
条件
B ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
结论 ③AM=BM, ④A⌒C=⌒BC, ⑤A⌒D=⌒BD.
D
请你用文字语言
表述这一结论。
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的弧。
C
A
M└
●O
符号语言：
B
∵CD是直径, CD⊥AB
注意三 种语言
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, ⌒AD=B⌒D. 的转化！
OD
径垂直于弦,并且平分弦
A
所对的弧.
知识应用 【例2】如图，一条公 路的转弯处是一段圆弧
（即图中⌒CD,点0是⌒CD所
在圆的圆心），其中
CD=600m，E为⌒CD上的一
点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路 的半径。
C E
F
O
D
解：连接OC，设弯路的 半径为Rm,则OF=(R-90)m。
1题
2.如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？ 为什么？
A C
└
O
MDB
四、反思小结
本节课你学到了哪些数学知识？掌握了哪些数学思想 方法？
1、垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常作弦心距，或作垂直于弦的 直径或连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
C
条件
A
●
B
M
●O
①CD是直径 可推得 ② AM=BM
结论
③CD⊥AB,百度文库④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
议一议：
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径）， 作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
如果这里少了“不是直径”，
是否也能得出结论？为什么？
B
垂径定理的逆定理： 平分弦（不是直径）的直 C
D
强 ①条件中的“弦”可以是直径； 调：②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
O
C
DC
A
O E DC
D O
A
×
√
×
注意：定理中的两个条件：直径（半径）
与垂直于弦两者缺一不可！
【例1】在⊙O中，弦AB长为8厘米，O到AB的距 离为3厘米，求⊙O的半径。
●O
【即时练习】在⊙O中，半径OC⊥AB交AB于D， ⊙O的半径为5cm，OD=3cm，弦AB=________.
归纳小结：运用垂径定理时常常需要作弦心
距或连半径构造直角三角形。
想一想：
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD，交AB于点M.
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
∵OE⊥CD
CF 1 CD 1 600 300
2
2
在Rt△OCF中,
∵ OC²=CF² +OF²
即 R²=300²+(R-90)².
解得：R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
C E
F
O
D
注意运用代数方 法解决几何问题
三、课堂检测 1.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦， CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙O 的半径为____________．