积分变换第一章2-3节

ℱ
t
f
(t
)
d
t
1
jw
ℱ
[
f
(t )].
(6)
证 因为 d
t
f (t)d t f (t),
d t
ℱ[ f (t)]
jw
ℱ
t
f
(t)
d
t
得证.
实际上, 只要记住下面几个Fourier变换, 则 所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由
Fourier变换的性质导出.
d (t)
e jwt0
1
jw
pd
(w
)
e jwt0 1 e jwt0pd (w ) jw
例2 已知 ℱ 12pd (w) 1 求 ℱ 1d (w 1)
解
ℱ1d (w)
1
2p
f (t)
w0 1
ℱ 1
d (w 1)
f (t )e jw0t
1 ejt
2p
显然 ℱ e jt 2pd (w 1) 一般地 ℱ e jw0 t 2pd (w w0 ) e jw0 t 2pd (w w0 )
§1.2 Fourier变换
2. 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函
数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电 学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作 用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受 冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会
产生我们要介绍的单位脉冲函数.
2）象函数的位移性质
若 F(w) =ℱ f (t) w0 为实常数,则
ℱ 1F(w w0 ) f (t)e jw0t ℱ e jw t0 f (t) F(w w0 )
证 由傅氏变换的定义, 可知
ℱ [ f (t t0 )]
f
(t
t0 )e jwtd t
(令t t0 u)
f (u) e jw (umt0 )d u
量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处
理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.
对任意的f (t),若
d (t) f (t)d t lim
e 0ห้องสมุดไป่ตู้
de (t) f (t)d t
f (0)
其中d
e
(t
)
1
/e
0
0 t e
其它
de(t)
1/e
Oe
称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即
显然有 | F (w ) || F (w ) | .
§1.3 傅氏变换的性质
这一节介绍傅氏变换的几个重要性质,
为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积 分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不 再重述这些条件.
1.线性性质
设F1(w)= ℱ [f1(t)], F2(w)= ℱ [f2(t)], a, b是常数, 则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w) (1)
f (t0)
筛选性质
事实上
d (t) f (t)dt lim
e 0
de (t ) f (t)dt
lim
e 1 f (t)dt lim 1
e
f (t)dt
e e 0 0
e e 0 0
f(t)是连续函数， 按积分中值定理 知：
lim e 0
ef
(e e
)
= f (0)
（2）d (t) 函数为偶函数,即 d (t) d (t)
3.微分性质 如果f (t)在(, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则
ℱ[f '(t)]=j w ℱ[f (t)].
(4)
证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得
ℱ [ f (t)] f (t)e jwtd t
f (t ) e jwt
jw
f (t ) e jwtd t
由 1 2pd (w ), 得 ejw0t 2pd (w w0 ) 由 u(t) 1 pd (w )
jw
j tu(t )
d
dw
1
jw
pd
(w
)
1
jw 2
pd
(w )
tu(t) 1 jpd (w) w2
4. 积分性质
如果当t 时, g(t) t f (t)d t 0
对. 同理, d(tt0)和 e jwt0亦构成了一个傅氏变换对.
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | dt
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦 函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利 用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅 氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广
矩形脉冲的频谱图为
|F(w| E
O
2p
4p
6p w
振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数, 即
| F(w) || F(w) |
因为, F (w ) f (t)e jwtd t
f (t)coswt d t j f (t)sinwt d t
所以
2
2
| F(w) |
f (t)coswt d t f (t)sinwt d t
(
j(w
1
w0
)
pd
(w
w0
))
e j(w w0 )t0
(w
1
w0 )2
jpd '(w
w0 )
作业 习题二
第29页 第3,7题
作业 习题三
第39页 第10题
dt
st
e jwsds 2pd (w )
证法2：若F(w)=2pd (w), 由Fourier逆变换可得
f (t) 1
2pd
(w )ejwtdw
e
jwt
1
2p
w0
例2 证明ejw0t 和2pd (w w0 )构成一个傅氏变换对。
证：f (t ) 1 F (w )ejwtdw
2p
谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时
间函数的频谱.
例5 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图
f(t)
E
单个矩形脉冲的频谱
函数为:
F(w)
f (t )e jwtd t
/2
2
E
e jwtd t
/2
t
2
E
2
e jwt
2E sin w
jw
w
2
2
则振幅频谱 | F (w ) | 2E sin w w2
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)
进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电
流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
q(t
)
0, 1,
t 0; t 0.
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
d q(t)
q(t t) q(t)
i(t)
lim
dt
t 0
t
所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而 在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
F(w) =ℱ [ d (t)]
d
(t )e
jwt dt
e
jwt
1
t0
于是d t与常数1构成了一Fourier变换对.
d
(t) =ℱ1[1]
1
2p
e jwt dw
e jwt dw 2pd (t )
.例1 证明：1和2pd (w)构成Fourier变换对
证法1： ℱ[1]
e
jw
t
u(t )
u(t )eb t
ejw0t
sinw0t
1, 1 2pd (w ) 1 pd (w ) jw
1
b jw 2pd (w w0 ) jp [d (w w0 ) d (w w0 )]
例5
已知 ℱu(t)
1 pd (w ) jw
求ℱ
te jw0t u(t t0 )
解 由象原函数位移性质得
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0)
lim
t 0
q(0
t ) t
q(0)
lim
t 0
1 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数
能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流
强度, 引进一称为 (Dirac)的函数, 简单记成d-函
数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬
时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质
2 j
1 2j
2pd
(w
w0)
2pd
(w
w0 )
jp d (w w0 ) d (w w0 )
如图所示: sint
t
|F(w)|
p w0 O
p w0 w
在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函 数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为 频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频
证明 因为 ℱ d (t) 1
所以 ℱ d (t) jw ℱd (t) jw
一般地 ℱ d (n)(t) jw n
例4(练习) 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0), ejw0t ,以及tu(t)的Fourier变换.
解: 因 d (t ) 1, 由位移性质得 d (t t0 ) e jwt0
2p jw
1 pd (w )ejwt dw 1 e jwt dw
2p
2p jw
1
d
(w
)e jwt
dw
1
sinwt dw
2
2p w
1 1 sinwt dw
2 p0 w
因为 sinw dw p ,则
0w
2
p
2
,
t0
0
sin w t w
dw
0,
t0
jw ℱ[ f (t)]
推论
ℱ [f (n) (t)]=(j w )n ℱ [f (t)].
(5)
同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
ℱ[f (t)]=F (w), 则
d F(w) ℱ [ jtf (t)].
dw
一般地, 有
dn
dwn
F (w )
(
j)n
ℱ
[t n
f
(t )]
例3 证明 ℱ d (t) jw
lim
e 0
d
e
(t
)
d
(t )
工程上将d-函数称为单位脉冲函数, 可将d-函数
用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长
度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.
d(t)
1
O
t
d-函数有性质:
(1)
d (t)dt 1
d (t) f (t)d t f (0)
及
d (t t0 ) f (t)d t
义意义下, 同样可以说, 象函数F(w)和象原函数f(t)
亦构成一个傅氏变换对.
例3
证明单位阶跃函数u(t )
0,
1
t t
0; 0
的傅氏变换为
1
jw
pd(w ).
u(t)
|F(w)|
p
O
t
O
w
事实上,若F (w ) 1 pd (w ), jw
f (t) =ℱ 1 F(w)
1
[
1
pd (w )]e jwtdw
ℱ[u(t t0 )] e jwt0 又由微分性质得
1
jw
pd
(w
)
ℱ
[tu(t
t0 )]
j
d
dw
e
jw
t0
1 jw
pd
(w
)
t0e jwt0 (
1
jw
pd
(w
))
e
jw
t0
(
1
w2
jpd '(w ))
再由象函数位移性质得
ℱ
teiw0t u(t t0 )
t0e
j(w w0 )t0
（3） t
d (t)dt ut 其中,
u(t
)
1 0
称为单位阶跃函数.反之,有
d u(t) d t
dt
(4)若f (t)为无穷次可微的函数，则有
d '(t ) f (t)dt f '(0)
一般地，有
d
(n)(t)
f
(t )dt
(1)n
f
( n) (0)
t0 t0
d-函数的Fourier变换为:
e jwt0 f (u) e jwud u e jwt0 ℱ[ f (t )]
同理有
ℱ1[F (w mw0 )] f (t ) e jw0t
例1 求 ℱ u(t t0 )
解
因为
ℱ u(t) F (w)
1
jw
pd (w )
所以 ℱ u(t t0 ) e jwt0 F (w )
p
2
,
t0
f (t) 1 1
2p
0
sinwt w
dw
0, 1,
t0 t0
例4 求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换.
解 :F(w) ℱ[ f (t)]
e
jwt
sin w0 t
d
t
e e jw0t
jw0t
e jwtd t
2j
1 [e j(w w0 )t e j(w w0 )t ]d t
同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即
ℱ 1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t) (2)
2. 位移性质:
1）象原函数的位移性质
若 F(w) =ℱ f (t) t0 为实常数,则
ℱ f (t t0 ) e jw t0 F(w) ℱ 1 e jw t0 F(w) f (t t0 )
1
2p
2pd (w
w0 )ejwtdw
ejwt
w w0
ejw0t
即ejw0t 和2pd (w w0 )构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jwtd t 2pd (w )
e
j(w w0
)td t
2pd
(w
w0 )
d(t)
1
F(w)
1
O
t
O
w
可见, 单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换