第四章《圆与方程》章末总复习

四章《圆与方程》章末总复习

1．圆的方程

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.

(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 2．点和圆的位置关系

设点P (x 0，y 0)及圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (1)(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点P 在圆外． (2)(x 0－a )2＋(y 0－b )2

设直线l 与圆C 的圆心之间的距离为d ，圆的半径为r ，则d >r →相离；d ＝r →相切；d

4．圆与圆的位置关系

设C 1与C 2的圆心距为d ，半径分别为r 1与r 2，则 位置关系 相离

外切

相交

内切

内含

图示

d 与r 1，r 2的关系 d >r 1＋r 2

d ＝r 1＋r 2

|r 1－r 2|

d ＝|r 1－r 2|

d <|r 1－r 2|

5.求圆的方程时常用的四个几何性质

6．与圆有关的最值问题的常见类型

(1)形如μ＝y －b

x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题． 7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法

运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法

运用根与系数的关系及弦长公式 |AB |＝1＋k 2|x A －x B | ＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].

注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 8．空间中两点的距离公式

空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.

类型一 求圆的方程

例1 根据条件求下列圆的方程．

(1)求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心在直线3x ＋10y ＋9＝0上的圆的方程；

(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程． 解 (1)由题意知，线段AB 的垂直平分线方程为 3x ＋2y －15＝0，

∴由⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝7，y ＝－3，

∴圆心C (7，－3)，半径为r ＝|AC |＝65. ∴所求圆的方程为(x －7)2＋(y ＋3)2＝65. (2)方法一 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心坐标为(a ，b )，半径为r ＝10， 圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为d ＝|a －b |2.

由半弦长，弦心距，半径组成直角三角形，得 d 2＋(422

)2＝r 2

，

即(a －b )22＋8＝10，∴(a －b )2＝4.

又∵b ＝2a ，

∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10

或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.

方法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10， ∵圆心C (a ，b )在直线y ＝2x 上，∴b ＝2a . 由圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42， 将y ＝x 代入(x －a )2＋(y －b )2＝10， 得2x 2－2(a ＋b )x ＋a 2＋b 2－10＝0.

设直线y ＝x 交圆C 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝42， ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16.

∵x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1x 2＝a 2＋b 2－10

2，

∴(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝16，即a －b ＝±2.

又∵b ＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－2，

b ＝－4.

∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.

反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式．

第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)． 第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F )． 第四步：代入圆的方程．

注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．

跟踪训练1 如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为________．

答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2

解析 取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .